In der Euklidischen Geometrie ist eine Übersetzung eine Funktion, die jeden Punkt eine unveränderliche Entfernung in einer angegebenen Richtung bewegt. Eine Übersetzung kann als eine starre Bewegung beschrieben werden: Andere starre Bewegungen schließen Folgen und Nachdenken ein. Eine Übersetzung kann auch als die Hinzufügung eines unveränderlichen Vektoren zu jedem Punkt, oder als Verschiebung des Ursprungs des Koordinatensystems interpretiert werden. Ein Übersetzungsmaschinenbediener ist ein solcher Maschinenbediener dass

Wenn v ein fester Vektor ist, dann wird die Übersetzung T als T (p) = p + v arbeiten.

Wenn T eine Übersetzung ist, dann ist das Image einer Teilmenge unter der Funktion T das Übersetzen durch T. Das Übersetzen durch T wird häufig + v geschrieben.

In einem Euklidischen Raum ist jede Übersetzung eine Isometrie. Der Satz aller Übersetzungen bildet die Übersetzungsgruppe T, der zum Raum selbst und einer normalen Untergruppe der Euklidischen Gruppe E (n) isomorph ist. Die Quotient-Gruppe von E (n) durch T ist zur orthogonalen Gruppe O (n) isomorph:

:E (n) / T  O (n).

Matrixdarstellung

Da eine Übersetzung eine affine Transformation, aber nicht eine geradlinige Transformation ist, werden homogene Koordinaten normalerweise verwendet, um den Übersetzungsmaschinenbediener durch eine Matrix zu vertreten und so sie geradlinig zu machen. So schreiben wir den 3-dimensionalen Vektoren w = (w, w, w) das Verwenden 4 homogener Koordinaten als w = (w, w, w, 1).

Um einen Gegenstand durch einen Vektoren v zu übersetzen, würde jeder homogene Vektor p (geschrieben in homogenen Koordinaten) mit dieser Übersetzungsmatrix multipliziert werden müssen:

:

\begin {bmatrix }\

1 & 0 & 0 & v_x \\

0 & 1 & 0 & v_y \\

0 & 0 & 1 & v_z \\

0 & 0 & 0 & 1

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

Wie gezeigt, unten wird die Multiplikation das erwartete Ergebnis geben:

: \begin {bmatrix }\1 & 0 & 0 & v_x \\

0 & 1 & 0 & v_y \\

0 & 0 & 1 & v_z \\

0 & 0 & 0 & 1\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

p_x \\p_y \\p_z \\1

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

p_x + v_x \\p_y + v_y \\p_z + v_z \\1

\end {bmatrix }\

\mathbf {p} + \mathbf {v} </Mathematik>

Das Gegenteil einer Übersetzungsmatrix kann durch das Umkehren der Richtung des Vektoren erhalten werden:

:

Ähnlich wird das Produkt der Übersetzung matrices durch das Hinzufügen der Vektoren gegeben:

:

Weil die Hinzufügung von Vektoren auswechselbar ist, ist die Multiplikation der Übersetzung matrices deshalb auch (verschieden von der Multiplikation von willkürlichem matrices) auswechselbar.

Übersetzungen in der Physik

In der Physik ist Übersetzung (Übersetzungsbewegung) Bewegung, die die Position eines Gegenstands im Vergleich mit der Folge ändert. Zum Beispiel, gemäß Whittaker:

Eine Übersetzung ist die Operation, die die Positionen aller Punkte (x, y, z) von einem Gegenstand gemäß der Formel ändert

:

wo derselbe Vektor für jeden Punkt des Gegenstands ist. Der für alle Punkte des Gegenstands übliche Übersetzungsvektor beschreibt einen besonderen Typ der Versetzung des Gegenstands, gewöhnlich genannt eine geradlinige Versetzung, um es von Versetzungen zu unterscheiden, die Folge, genannt winkelige Versetzungen einschließen.

Eine Übersetzung des Raums (oder Zeit) sollte mit einer Übersetzung eines Gegenstands nicht verwirrt sein. Solche Übersetzungen haben keine festen Punkte.

Siehe auch

• Übersetzungssymmetrie
• Transformationsmatrix
• Folge-Matrix
• Schuppen (der Geometrie)
• Advektion

Links

• Übersetzung Verwandelt Sich an der Knoten-Kürzung
• Geometrische Übersetzung (interaktiver Zeichentrickfilm) an der Mathematik macht Spaß
• 2. Übersetzung und das Verstehen der 3D-Übersetzung von Roger Germundsson, Des Wolfram-Demonstrationsprojektes verstehend.