In der Trigonometrie ist das Gesetz von Tangenten eine Erklärung über die Beziehung zwischen den Tangenten von zwei Winkeln eines Dreiecks und den Längen der Gegenseiten.

In der Abbildung 1, a, b und c sind die Längen der drei Seiten des Dreiecks, und α β und γ sind die Winkel gegenüber jenen drei jeweiligen Seiten. Das Gesetz von Tangenten setzt das fest

Das Gesetz von Tangenten, obwohl, nicht wie allgemein bekannt, wie das Gesetz von Sinus oder das Gesetz von Kosinus, ist zum Gesetz von Sinus gleichwertig, und kann jedenfalls verwendet werden, wo zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, oder zwei Winkel und eine Seite, bekannt sind.

Das Gesetz von Tangenten für kugelförmige Dreiecke wurde im 13. Jahrhundert durch den persischen Al-Lärm des Mathematikers Nasir al-Tusi (1201-74) beschrieben, wer auch das Gesetz von Sinus für Flugzeug-Dreiecke in seiner fünfbändigen Arbeitsabhandlung auf dem Vierseit präsentiert hat.

Beweis

Um das Gesetz von Tangenten zu beweisen, können wir mit dem Gesetz von Sinus anfangen:

:

Lassen Sie

so dass

Hieraus folgt dass

Mit der trigonometrischen Identität, der Faktor-Formel für Sinus spezifisch

wir bekommen

Als eine Alternative zum Verwenden der Identität für die Summe oder den Unterschied von zwei Sinus kann man die trigonometrische Identität zitieren

(sieh Tangente Formel halbumbiegen).

Anwendung

Das Gesetz von Tangenten kann verwendet werden, um die fehlende Seite und Winkel eines Dreiecks zu schätzen, in dem zwei Seiten und der beiliegende Winkel gegeben werden. Von

\frac {a-b} {a+b} \cot [\frac {\\Gamma} {2}] </Mathematik> kann man rechnen; zusammen damit trägt und; die restliche Seite kann dann mit dem Gesetz von Sinus geschätzt werden. In der Zeit bevor waren Taschenrechner, diese Methode verfügbar

einer Anwendung des Gesetzes von Kosinus vorzuziehend, weil dieses letzte Gesetz einen zusätzlichen lookups in einem Logarithmus-Tisch nötig gemacht hat, um die Quadratwurzel zu schätzen. In modernen Zeiten kann das Gesetz von Tangenten bessere numerische Eigenschaften haben als das Gesetz von Kosinus: Wenn klein ist, und und fast gleich sind, dann führt eine Anwendung des Gesetzes von Kosinus zu einer Subtraktion von fast gleichen Werten, die einen Verlust von positiven Ziffern einbezieht.

Siehe auch

• Gesetz von Sinus
• Gesetz von Kosinus
• Die Formel von Mollweide
• Halbseitenformel

Zeichen