In der Mathematik ist ein Hauptbündel ein mathematischer Gegenstand, der einige der wesentlichen Eigenschaften des Kartesianischen Produktes X &times formalisiert; G eines Raums X mit einer Gruppe G. Ebenso als mit dem Kartesianischen Produkt wird ein Hauptbündel P mit ausgestattet

1. Eine Handlung von G auf P, der (x, g) h = (x, gh) für einen Produktraum analog ist.
2. Ein Vorsprung auf X. Für einen Produktraum ist das gerade der Vorsprung auf den ersten Faktor, (x, g)  x.

Verschieden von einem Produktraum haben Hauptbündel an einer bevorzugten Wahl des Identitätsquerschnitts Mangel; sie haben kein bevorzugtes Analogon (x, e). Ebenfalls gibt es nicht allgemein einen Vorsprung auf G Generalisierung des Vorsprungs auf den zweiten Faktor, X × G → G, der für das Kartesianische Produkt besteht. Sie können auch eine komplizierte Topologie haben, die sie davon abhält, als ein Produktraum begriffen zu werden, selbst wenn mehrere willkürliche Wahlen gemacht werden zu versuchen, solch eine Struktur durch das Definieren davon auf kleineren Stücken des Raums zu definieren.

Ein allgemeines Beispiel eines Hauptbündels ist das Rahmenbündel FE eines Vektoren stopfen E, der aus allen bestellten Basen des jedem Punkt beigefügten Vektorraums besteht. Die Gruppe G ist in diesem Fall die allgemeine geradlinige Gruppe, die auf die übliche Weise auf bestellten Basen handelt. Da es keine bevorzugte Weise gibt, eine bestellte Basis eines Vektorraums zu wählen, hat ein Rahmenbündel an einer kanonischen Wahl des Identitätsquerschnitts Mangel.

Hauptbündel haben wichtige Anwendungen in der Topologie und Differenzialgeometrie. Sie haben auch Anwendung in der Physik gefunden, wo sie einen Teil des foundational Fachwerks von Maß-Theorien bilden. Hauptbündel stellen ein Vereinheitlichen-Fachwerk für die Theorie von Faser-Bündeln im Sinn zur Verfügung, dass alle Faser-Bündel mit der Struktur-Gruppe G ein einzigartiges HauptG-Bündel bestimmen, von dem das ursprüngliche Bündel wieder aufgebaut werden kann.

Formelle Definition

Ein HauptG-Bündel, wo G jede topologische Gruppe anzeigt, ist ein Faser-Bündel π: P  X zusammen mit einer dauernden richtigen Handlung P × G  P solch, dass G die Fasern von P bewahrt und frei und transitiv auf ihnen handelt. Das deutet an, dass die Faser des Bündels homeomorphic zur Gruppe G selbst ist. Oft verlangt man, dass der Grundraum X Hausdorff und vielleicht parakompakt ist.

Da die Gruppenhandlung die Fasern von π bewahrt: P  X und handelt transitiv, hieraus folgt dass die Bahnen der G-Handlung genau diese Fasern und der Bahn-Raum sind, ist P/G homeomorphic zum Grundraum X. Weil die Handlung frei ist, haben die Fasern die Struktur von G-torsors. Ein G-torsor ist ein Raum, der homeomorphic zu G ist, aber an einer Gruppenstruktur Mangel hat, da es keine bevorzugte Wahl eines Identitätselements gibt.

Eine gleichwertige Definition eines HauptG-Bündels ist als ein G-Bündel π: P  X mit der Faser G, wo die Struktur-Gruppe der Faser durch die linke Multiplikation folgt. Da die richtige Multiplikation durch G auf der Faser mit der Handlung der Struktur-Gruppe pendelt, dort besteht ein invariant Begriff der richtigen Multiplikation durch G auf P. Die Fasern von π werden dann richtiger G-torsors für diese Handlung.

Die Definitionen sind oben für willkürliche topologische Räume. Man kann auch HauptG-Bündel in der Kategorie von glatten Sammelleitungen definieren. Hier π: P  X ist erforderlich, eine glatte Karte zwischen glatten Sammelleitungen zu sein, G ist erforderlich, eine Lüge-Gruppe zu sein, und die entsprechende Handlung auf P sollte glatt sein.

Beispiele

Das archetypische Beispiel eines glatten Hauptbündels ist das Rahmenbündel einer glatten mannigfaltigen M, häufig angezeigtes FM oder GL (M). Hier ist die Faser über einen Punkt x in der M der Satz aller Rahmen (d. h. bestellte Basen) für den Tangente-Raum TM. Die allgemeine geradlinige Gruppe handelt GL (n, R) frei und transitiv auf diesen Rahmen. Diese Fasern können zusammen auf eine natürliche Weise geklebt werden, um einen hauptsächlichen GL zu erhalten (n, R) - machen sich über die M davon.

Schwankungen auf dem obengenannten Beispiel schließen das orthonormale Rahmenbündel einer Sammelleitung von Riemannian ein. Hier sind die Rahmen erforderlich, in Bezug auf das metrische orthonormal zu sein. Die Struktur-Gruppe ist die orthogonale Gruppe O (n). Das Beispiel arbeitet auch für Bündel außer dem Tangente-Bündel; wenn E ein Vektor-Bündel der Reihe k über die M ist, dann ist das Bündel von Rahmen von E ein hauptsächlicher GL (k, R) - Bündel, manchmal hat F (E) angezeigt.

Ein normaler (regelmäßiger) Bedeckungsraum p: C  X ist ein Hauptbündel, wo die Struktur-Gruppe den Fasern von p über die monodromy Handlung folgt. Insbesondere der universale Deckel X ist ein Hauptbündel mehr als X mit der Struktur-Gruppe (da der universale Deckel einfach verbunden wird und so trivial ist).

Lassen Sie G eine Lüge-Gruppe sein und H eine geschlossene Untergruppe (nicht notwendigerweise normal) sein zu lassen. Dann ist G ein HauptH-Bündel über den (linken) coset RaumG/H. Hier ist die Handlung von H auf G gerade richtige Multiplikation. Die Fasern sind der linke cosets von H (in diesem Fall es gibt eine ausgezeichnete Faser, diejenige, die die Identität enthält, die zu H natürlich isomorph ist).

Denken Sie den Vorsprung π: S  S gegeben durch z  z. Dieses HauptZ-Bündel ist das verbundene Bündel des Streifens von Möbius. Außer dem trivialen Bündel ist das das einzige HauptZ-Bündel über S.

Projektive Räume stellen einige interessantere Beispiele von Hauptbündeln zur Verfügung. Rufen Sie zurück, dass der N-Bereich S ein zweifacher Bedeckungsraum von echtem projektivem Raum-RP ist. Die natürliche Handlung von O (1) auf S gibt es die Struktur eines Rektors O (1) - macht sich über RP davon. Ebenfalls ist S ein Rektor U (1) - machen sich über das komplizierte projektive Raum-BEDIENUNGSFELD davon, und S ist hauptsächlicher Sp (1) - machen sich über den quaternionic projektiven Raum-HP davon. Wir haben dann eine Reihe von Hauptbündeln für jeden positiven n:

Hier S (V) zeigt den Einheitsbereich in V (ausgestattet mit dem Euklidischen metrischen) an. Für alle diese Beispiele der n = geben 1 Fälle die so genannten Bündel von Hopf.

Grundlegende Eigenschaften

Trivializations und böse Abteilungen

Eine der wichtigsten Fragen bezüglich jedes Faser-Bündels ist, ob es trivial, d. h. zu einem Produktbündel isomorph ist. Für Hauptbündel gibt es eine günstige Charakterisierung der Bedeutungslosigkeit:

:Proposition. Ein Hauptbündel ist trivial, wenn, und nur wenn es eine globale böse Abteilung zulässt.

Dasselbe ist für andere Faser-Bündel nicht wahr. Zum Beispiel haben Vektor-Bündel immer eine Nullabteilung, ob sie trivial sind oder nicht und Bereich-Bündel viele globale Abteilungen zulassen können, ohne trivial zu sein.

Dieselbe Tatsache gilt für lokalen trivializations von Hauptbündeln. Lässt π: P  X, ein HauptG-Bündel sein. Ein offener Satz U in X lässt einen lokalen trivialization zu, wenn, und nur wenn dort eine lokale Abteilung auf U besteht. In Anbetracht eines lokalen trivialization kann man eine verbundene lokale Abteilung durch definieren

wo e die Identität in G ist. Umgekehrt in Anbetracht eines Abschnitts s definiert man einen trivialization Φ durch

Der einfache transitivity der G Handlung auf den Fasern von P versichert, dass diese Karte eine Bijektion ist, ist es auch ein homeomorphism. Die lokalen durch lokale Abteilungen definierten trivializations sind G-equivariant im folgenden Sinn. Wenn wir in der Form dann schreiben, befriedigt die Karte

Equivariant trivializations bewahren deshalb die G-torsor Struktur der Fasern. In Bezug auf den verbundenen lokalen Abschnitt s wird die Karte φ durch gegeben

Die lokale Version des bösen Abteilungslehrsatzes stellt dann fest, dass die equivariant lokalen trivializations eines Hauptbündels in der isomorphen Ähnlichkeit mit lokalen Abteilungen sind.

In Anbetracht eines equivariant lokalen trivialization ({U}, {Φ}) P haben wir lokale Abteilungen s auf jedem U. Auf Übergreifen müssen diese durch die Handlung der Struktur-Gruppe G verbunden sein. Tatsächlich wird die Beziehung durch die Übergang-Funktionen zur Verfügung gestellt

Für jeden x in U ∩ U haben wir

Charakterisierung von glatten Hauptbündeln

Wenn π: P  X ist ein glattes HauptG-Bündel dann G Taten frei und richtig auf P, so dass der Bahn-Raum P/G diffeomorphic zum Grundraum X ist. Es stellt sich heraus, dass diese Eigenschaften völlig glatte Hauptbündel charakterisieren. D. h. wenn P eine glatte Sammelleitung, G eine Lüge-Gruppe und μ ist: P × G  P eine glatte, freie und richtige richtige Handlung dann

• P/G ist eine glatte Sammelleitung,
• der natürliche Vorsprung π: P  ist P/G ein glattes Untertauchen und
• P ist ein glattes HauptG-Bündel über P/G.

Gebrauch des Begriffs

Die Verminderung der Struktur-Gruppe

In Anbetracht einer Untergruppe H G kann man das Bündel denken, dessen Fasern homeomorphic zum coset Raum sind. Wenn das neue Bündel eine globale Abteilung zulässt, dann sagt man, dass die Abteilung die Verminderung der Struktur-Gruppe von G bis H ist. Der Grund für diesen Namen besteht darin, dass das (fiberwise) umgekehrte Image der Werte dieser Abteilung ein Subbündel von P bildet, der ein HauptH-Bündel ist. Wenn H die Identität ist, dann ist eine Abteilung von P selbst die Verminderung der Struktur-Gruppe zur Identität. Die Verminderungen der Struktur-Gruppe bestehen nicht im Allgemeinen.

Viele topologische Fragen über die Struktur einer Sammelleitung oder die Struktur von Bündeln darüber, die zu einem HauptG-Bündel vereinigt werden, können als Fragen über die Annehmbarkeit der Verminderung der Struktur-Gruppe (von G bis H) umformuliert werden. Zum Beispiel:

• Eine 2n-dimensional echte Sammelleitung lässt eine fast komplizierte Struktur zu, wenn das Rahmenbündel auf der Sammelleitung, deren Fasern sind, auf die Gruppe reduziert werden kann.
• Eine n-dimensional echte Sammelleitung lässt ein k-plane Feld zu, wenn das Rahmenbündel auf die Struktur-Gruppe reduziert werden kann.
• Eine Sammelleitung ist orientable, wenn, und nur wenn sein Rahmenbündel auf die spezielle orthogonale Gruppe reduziert werden kann.
• Eine Sammelleitung hat Drehungsstruktur, wenn, und nur wenn sein Rahmenbündel weiter von auf die Drehungsgruppe reduziert werden kann, die zu als ein doppelter Deckel kartografisch darstellt.

Auch Zeichen: Eine N-Dimensional-Sammelleitung lässt n Vektorfelder zu, die an jedem Punkt linear unabhängig sind, wenn, und nur wenn sein Rahmenbündel eine globale Abteilung zulässt. In diesem Fall wird die Sammelleitung parallelizable genannt.

Verbundene Vektor-Bündel und Rahmen

Wenn P ein HauptG-Bündel ist und V eine geradlinige Darstellung von G ist, dann kann man ein Vektor-Bündel mit der Faser V, als der Quotient des Produktes P×V durch die diagonale Handlung von G bauen. Das ist ein spezieller Fall des verbundenen Bündel-Aufbaus, und E wird ein verbundenes Vektor-Bündel zu P genannt. Wenn die Darstellung von G auf V treu ist, so dass G eine Untergruppe der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (V) ist, dann ist E ein G-Bündel, und P stellt die Verminderung der Struktur-Gruppe des Rahmenbündels von E von GL (V) zu G zur Verfügung. Das ist der Sinn, in dem Hauptbündel eine abstrakte Formulierung der Theorie von Rahmenbündeln zur Verfügung stellen.

Klassifikation von Hauptbündeln

Jede topologische Gruppe G lässt einen Klassifizieren-Raum BG zu: Der Quotient von einigen schwach contractible Raum-EG, d. h. ein topologischer Raum, für den alle seine homotopy Gruppen durch eine freie Handlung von G trivial sind. Der Klassifizieren-Raum hat das Eigentum, dass jedes G Hauptbündel über eine Parakompaktsammelleitung B zu einem Hemmnis des Hauptbündels isomorph ist. Tatsächlich ist mehr wahr, weil sich der Satz von Isomorphismus-Klassen von HauptG-Bündeln über die Basis B mit dem Satz von homotopy Klassen von Karten B  BG identifiziert.

Siehe auch

• Verbundenes Bündel
• Vektor-Bündel
• G-Struktur
• Maß-Theorie
• Verbindung (Hauptbündel)

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