In der Topologie und den verwandten Zweigen der Mathematik, eines Raums von Hausdorff, hat Raum getrennt, oder T Raum ist ein topologischer Raum, in dem verschiedene Punkte zusammenhanglose Nachbarschaft haben. Der vielen Trennungsaxiome, die einem topologischen Raum auferlegt werden können, ist die "Bedingung von Hausdorff" (T) am häufigsten verwendet und besprochen. Es bezieht die Einzigartigkeit von Grenzen von Folgen, Netzen und Filtern ein. Intuitiv wird die Bedingung durch das Wortspiel illustriert, dass ein Raum Hausdorff ist, wenn irgendwelche zwei Punkte von" von einander durch offene Sätze "aufgenommen werden können.

Räume von Hausdorff werden für Felix Hausdorff, einen der Gründer der Topologie genannt. Die ursprüngliche Definition von Hausdorff eines topologischen Raums (1914) hat die Bedingung von Hausdorff als ein Axiom eingeschlossen.

Definitionen

Punkte x und y in einem topologischen Raum X können durch die Nachbarschaft getrennt werden, wenn dort eine Nachbarschaft U von x und einer Nachbarschaft V von solchen y besteht, dass U und V zusammenhanglos sind.

X ist ein Raum von Hausdorff, wenn irgendwelche zwei verschiedenen Punkte X durch die Nachbarschaft getrennt werden können. Diese Bedingung ist das dritte Trennungsaxiom (nach T und T), der ist, warum Räume von Hausdorff auch T Räume genannt werden. Der Name hat sich getrennt Raum wird auch verwendet.

Ein zusammenhängender aber schwächerer, Begriff ist der eines vorregelmäßigen Raums. X ist ein vorregelmäßiger Raum, wenn irgendwelche zwei topologisch unterscheidbaren Punkte durch die Nachbarschaft getrennt werden können. Vorregelmäßige Räume werden auch R Räume genannt.

Die Beziehung zwischen diesen zwei Bedingungen ist wie folgt. Ein topologischer Raum ist Hausdorff, wenn, und nur wenn es beide vorregelmäßig ist (d. h. topologisch unterscheidbare Punkte werden getrennt), und Kolmogorov (d. h. verschiedene Punkte sind topologisch unterscheidbar). Ein topologischer Raum ist vorregelmäßig, wenn, und nur wenn sein Quotient von Kolmogorov Hausdorff ist.

Gleichwertigkeiten

Für einen topologischen Raum X ist der folgende gleichwertig:

• X ist ein Raum von Hausdorff.
• Grenzen von Netzen in X sind einzigartig.
• Grenzen von Filtern auf X sind einzigartig.
• Jeder Singleton-Satz ist der Kreuzung der ganzen geschlossenen Nachbarschaft x. gleich (Eine geschlossene Nachbarschaft von x ist ein geschlossener Satz, der einen offenen Satz enthält, der x. enthält)

• Die Diagonale Δ = {(x, x) x  X} wird als eine Teilmenge des Produktraums X &times geschlossen; X.

Beispiele und Gegenbeispiele

Fast alle in der Analyse gestoßenen Räume sind Hausdorff; am wichtigsten sind die reellen Zahlen (unter der metrischen Standardtopologie auf reellen Zahlen) ein Raum von Hausdorff. Mehr allgemein sind alle metrischen Räume Hausdorff. Tatsächlich haben viele Räume des Gebrauches in der Analyse, wie topologische Gruppen und topologische Sammelleitungen, die Bedingung von Hausdorff ausführlich hat in ihren Definitionen festgesetzt.

Ein einfaches Beispiel einer Topologie, die T ist, aber nicht Hausdorff ist, ist die cofinite auf einem unendlichen Satz definierte Topologie.

Pseudometrische Räume sind normalerweise nicht Hausdorff, aber sie sind vorregelmäßig, und ihr Gebrauch in der Analyse ist gewöhnlich nur im Aufbau von Maß-Räumen von Hausdorff. Tatsächlich, wenn Analytiker auf einen non-Hausdorff Raum stoßen, ist es noch wahrscheinlich mindestens vorregelmäßig, und dann ersetzen sie es einfach durch seinen Quotienten von Kolmogorov, der Hausdorff ist.

Im Gegensatz wird auf nichtvorregelmäßige Räume viel öfter in der abstrakten Algebra und algebraischen Geometrie, insbesondere als die Topologie von Zariski auf einer algebraischen Vielfalt oder dem Spektrum eines Rings gestoßen. Sie entstehen auch in der Mustertheorie der intuitionistic Logik: Jede ganze Algebra von Heyting ist die Algebra von offenen Sätzen von einem topologischen Raum, aber dieses Raumbedürfnis nicht, viel weniger Hausdorff vorregelmäßig sein.

Während die Existenz von einzigartigen Grenzen für konvergente Netze und Filter andeutet, dass ein Raum Hausdorff ist, gibt es non-Hausdorff T1 Räume, in denen jede konvergente Folge eine einzigartige Grenze hat.

Eigenschaften

Subräume und Produkte von Räumen von Hausdorff sind Hausdorff, aber Quotient-Räume von Räumen von Hausdorff brauchen nicht Hausdorff zu sein. Tatsächlich kann jeder topologische Raum als der Quotient von einem Raum von Hausdorff begriffen werden.

Räume von Hausdorff sind T, bedeutend, dass der ganze Singleton geschlossen wird. Ähnlich sind vorregelmäßige Räume R.

Ein anderes nettes Eigentum von Räumen von Hausdorff besteht darin, dass Kompaktsätze immer geschlossen werden. Das kann in non-Hausdorff Räumen wie Raum von Sierpiński scheitern.

Die Definition eines Raums von Hausdorff sagt, dass Punkte durch die Nachbarschaft getrennt werden können. Es stellt sich heraus, dass das etwas einbezieht, was anscheinend stärker ist: In einem Raum von Hausdorff kann jedes Paar von zusammenhanglosen Kompaktsätzen auch durch die Nachbarschaft getrennt werden, mit anderen Worten gibt es eine Nachbarschaft eines Satzes und eine Nachbarschaft vom anderen, solch, dass die zwei Nachbarschaft zusammenhanglos ist. Das ist ein Beispiel der allgemeinen Regel, dass sich Kompaktsätze häufig wie Punkte benehmen.

Kompaktheitsbedingungen zusammen mit der Vorregelmäßigkeit beziehen häufig stärkere Trennungsaxiome ein. Zum Beispiel ist jeder lokal kompakte vorregelmäßige Raum völlig regelmäßig. Vorregelmäßige Kompakträume sind normal, bedeutend, dass sie das Lemma von Urysohn und den Erweiterungslehrsatz von Tietze befriedigen und Teilungen des Einheitsuntergebenen zu lokal begrenzten offenen Deckel haben. Die Hausdorff Versionen dieser Behauptungen sind: Jeder lokal kompakte Raum von Hausdorff ist Tychonoff, und jeder Kompaktraum von Hausdorff ist normaler Hausdorff.

Die folgenden Ergebnisse sind einige technische Eigenschaften bezüglich Karten (dauernd und sonst) zu und von Räumen von Hausdorff.

Lässt f: X  Y, eine dauernde Funktion sein und Y anzunehmen, sind Hausdorff. Dann ist der Graph von f eine geschlossene Teilmenge X × Y.

Lässt f: X  Y, eine Funktion sein und zu lassen, sein Kern zu sein, der als ein Subraum X &times betrachtet ist; X.

• Wenn f dauernd ist und Y Hausdorff dann ker (f) ist, wird geschlossen.
• Wenn f eine offene Surjektion ist und ker (f) dann Y geschlossen wird, ist Hausdorff.
• Wenn f eine dauernde, offene Surjektion ist (d. h. eine offene Quotient-Karte) dann Y Hausdorff ist, wenn, und nur wenn ker (f) geschlossen wird.

Wenn f, g: X  Y sind dauernde Karten, und Y ist Hausdorff dann der Equalizer wird in X geschlossen. Hieraus folgt dass, wenn Y Hausdorff und f und g ist, sich über eine dichte Teilmenge X dann f = g einigen. Mit anderen Worten werden dauernde Funktionen in Räume von Hausdorff durch ihre Werte auf dichten Teilmengen bestimmt.

Lässt f: X  Y, eine geschlossene solche Surjektion sein, dass f (y) für den ganzen y  Y kompakt ist. Dann, wenn X Hausdorff ist, so ist Y.

Lässt f: X  Y, eine Quotient-Karte mit X ein Kompaktraum von Hausdorff sein. Dann ist der folgende gleichwertiger

• Y ist Hausdorff
• f ist eine geschlossene Karte
• ker (f) wird geschlossen

Vorregelmäßigkeit gegen die Regelmäßigkeit

Alle regelmäßigen Räume sind vorregelmäßig, wie alle Räume von Hausdorff sind. Es gibt viele Ergebnisse für topologische Räume, die sowohl für regelmäßigen als auch für Räume von Hausdorff halten.

Den größten Teil der Zeit halten diese Ergebnisse für alle vorregelmäßigen Räume; sie wurden für den Stammkunden und die Räume von Hausdorff getrennt verzeichnet, weil die Idee von vorregelmäßigen Räumen später gekommen ist.

Andererseits gelten jene Ergebnisse, die aufrichtig über die Regelmäßigkeit allgemein sind, für nichtregelmäßige Räume von Hausdorff nicht auch.

Es gibt viele Situationen, wo eine andere Bedingung von topologischen Räumen (wie Parakompaktheit oder lokale Kompaktheit) Regelmäßigkeit einbeziehen wird, wenn Vorregelmäßigkeit zufrieden ist.

Solche Bedingungen kommen häufig in zwei Versionen: eine regelmäßige Version und eine Version von Hausdorff.

Obwohl Hausdorff Räume nicht allgemein regelmäßig sind, (sagt) ein Raum von Hausdorff, der auch ist, lokal kompakt wird regelmäßig sein, weil jeder Raum von Hausdorff vorregelmäßig ist.

So aus einem bestimmten Gesichtspunkt ist es wirklich Vorregelmäßigkeit, aber nicht Regelmäßigkeit, dass Sachen in diesen Situationen.

Jedoch werden Definitionen gewöhnlich noch in Bezug auf die Regelmäßigkeit ausgedrückt, da diese Bedingung besser bekannt ist als Vorregelmäßigkeit.

Sieh Geschichte der Trennungsaxiome für mehr auf diesem Problem.

Varianten

Die Begriffe "Hausdorff", "getrennt" und "vorregelmäßig" können auch auf solche Varianten auf topologischen Räumen als gleichförmige Räume, Räume von Cauchy und Konvergenz-Räume angewandt werden.

Die Eigenschaft, die das Konzept in allen diesen Beispielen vereinigt, ist, dass Grenzen von Netzen und Filtern (wenn sie bestehen) (für getrennte Räume) einzigartig oder bis zu topologischem indistinguishability (für vorregelmäßige Räume) einzigartig sind.

Da es sich erweist, sind gleichförmige Räume, und mehr allgemein Räume von Cauchy, immer vorregelmäßig, so nimmt die Bedingung von Hausdorff in diesen Fällen zur T Bedingung ab.

Das sind auch die Räume, in denen Vollständigkeit Sinn hat, und Hausdorffness ein natürlicher Begleiter zur Vollständigkeit in diesen Fällen ist.

Spezifisch ist ein Raum abgeschlossen, wenn, und nur wenn jedes Netz von Cauchy mindestens eine Grenze hat, während ein Raum Hausdorff ist, wenn, und nur wenn jedes Netz von Cauchy höchstens eine Grenze hat (da nur Netze von Cauchy Grenzen an erster Stelle haben können).

Algebra von Funktionen

Die Algebra von dauernden (echt oder kompliziert) Funktionen auf einem Raum von Hausdorff sind ein auswechselbarer C*-algebra, und umgekehrt durch den Banach-Steinlehrsatz kann man die Topologie des Raums von den algebraischen Eigenschaften seiner Algebra von dauernden Funktionen wieder erlangen. Das führt zu Nichtersatzgeometrie, wo man als nichtauswechselbar C*-algebras als das Darstellen von Algebra von Funktionen auf einem Nichtersatzraum betrachtet.

Akademischer Humor

Im Mathematik-Institut für an der Universität Bonns, in dem Felix Hausdorff geforscht hat und gelesen hat, gibt es ein bestimmtes Zimmer hat den Hausdorff-Raum (Deutsch für den Raum von Hausdorff) benannt.

Siehe auch

• Schwacher Hausdorff Raum

Referenzen

• Arkhangelskii, A.V. L.S. Pontryagin, Allgemeine Topologie I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. Internationale Standardbuchnummer 3-540-18178-4
• Bourbaki; Elemente der Mathematik: Allgemeine Topologie, Addison-Wesley (1966).