Entfernung ist eine numerische Beschreibung dessen, wie weit einzeln Gegenstände sind. In der Physik oder täglichen Diskussion kann sich Entfernung auf eine physische Länge oder eine Bewertung beziehen, die auf anderen Kriterien (z.B "zwei Grafschaften über") gestützt ist. In der Mathematik ist eine Entfernungsfunktion oder metrisch eine Generalisation des Konzepts der physischen Entfernung. Ein metrischer ist eine Funktion, die sich gemäß einem spezifischen Regelwerk benimmt, und eine konkrete Weise zur Verfügung stellt zu beschreiben, was es für Elemente von einem Raum bedeutet, "in der Nähe von" oder "weit weg von" einander zu sein.

In den meisten Fällen, "ist Entfernung von bis B" mit der "Entfernung zwischen B und" austauschbar.

Mathematik

Geometrie

In der neutralen Geometrie, der Entfernung zwischen (x). und (x) ist die Länge des Liniensegmentes zwischen ihnen:

:

In der analytischen Geometrie kann die Entfernung zwischen zwei Punkten des xy-plane mit der Entfernungsformel gefunden werden. Durch die Entfernung zwischen (x, y) und (x, y) wird gegeben:

:

Ähnlich gegeben Punkte (x, y, z) und (x, y, z) im drei-Räume-, ist die Entfernung zwischen ihnen:

:

Diese Formeln werden durch das Konstruieren eines rechtwinkligen Dreieckes mit einem Bein auf der Hypotenuse von einem anderen leicht abgeleitet (mit dem anderen Bein, das zum Flugzeug orthogonal ist, das das 1. Dreieck enthält), und Verwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes.

In der Studie der komplizierten Geometrie nennen wir diesen (allgemeinsten) Typ der Entfernung Euklidische Entfernung, weil es aus dem Pythagoreischen Lehrsatz abgeleitet wird, der in der Nicht-euklidischen Geometrie nicht hält. Diese Entfernungsformel kann auch in die Formel der Kreisbogen-Länge ausgebreitet werden.

Entfernung im Euklidischen Raum

Im Euklidischen Raum R wird die Entfernung zwischen zwei Punkten gewöhnlich durch die Euklidische Entfernung (2-Normen-Entfernung) gegeben. Andere Entfernungen, die auf anderen Normen gestützt sind, werden manchmal stattdessen verwendet.

Für einen Punkt (x, x..., x) und einen Punkt (y, y..., y), wird die Entfernung von Minkowski des Auftrags p (P-Norm-Entfernung) als definiert:

p braucht keine ganze Zahl zu sein, aber es kann nicht weniger als 1 sein, weil sonst die Dreieck-Ungleichheit nicht hält.

Die 2-Normen-Entfernung ist die Euklidische Entfernung, eine Generalisation des Pythagoreischen Lehrsatzes zu mehr als zwei Koordinaten. Es ist, was erhalten würde, wenn die Entfernung zwischen zwei Punkten mit einem Lineal gemessen würde: die "intuitive" Idee von der Entfernung.

Die 1-Norm-Entfernung wird die Taxi-Norm oder Entfernung von Manhattan bunter genannt, weil es die Entfernung ist, die ein Auto in einer Stadt steuern würde, die in Quadratblöcken angelegt ist (wenn es keine Einbahnstraßen gibt).

Die Unendlichkeitsnorm-Entfernung wird auch Entfernung von Tschebyscheff genannt. Im 2. ist es die minimale Zahl von Bewegungskönigen verlangen, um zwischen zwei Quadraten auf einem Schachbrett zu reisen.

Die P-Norm wird für Werte von p außer 1, 2, und Unendlichkeit selten verwendet, aber sieh Superellipse.

Im physischen Raum ist die Euklidische Entfernung in einem Weg die natürlichste, weil in diesem Fall sich die Länge eines starren Körpers mit der Folge nicht ändert.

Abweichende Formulierung der Entfernung

Die Euklidische Entfernung zwischen zwei Punkten im Raum (und) kann in einer abweichenden Form geschrieben werden, wo die Entfernung der minimale Wert eines Integrals ist:

:

D = \int_0^T \sqrt {\\ist ({\\teilweiser \vec {r} (t) \over \partial t }\\Recht) ^2} \, dt abgereist

</Mathematik>

Hier ist die Schussbahn (Pfad) zwischen den zwei Punkten. Der Wert des Integrals (D) vertritt die Länge dieser Schussbahn. Die Entfernung ist der minimale Wert dieses Integrals und wird wenn erhalten, wo die optimale Schussbahn ist. Im vertrauten Euklidischen Fall (das obengenannte Integral) ist diese optimale Schussbahn einfach eine Gerade. Es ist weithin bekannt, dass der kürzeste Pfad zwischen zwei Punkten eine Gerade ist. Geraden können durch das Lösen der Euler-Lagrange Gleichungen für das obengenannte funktionelle formell erhalten werden. In nicht-euklidischen Sammelleitungen (gebogene Räume), wo die Natur des Raums durch einen metrischen vertreten wird, hat der integrand, zum modifizierten dazu sein, wo Summierungstagung von Einstein verwendet worden ist.

Generalisation zu hoch-dimensionalen Gegenständen

Die Euklidische Entfernung zwischen zwei Gegenständen kann auch zum Fall verallgemeinert werden, wo die Gegenstände nicht mehr Punkte sind, aber hoch-dimensionale Sammelleitungen wie Raumkurven sind, so zusätzlich zur Unterhaltung über die Entfernung zwischen zwei Punkten kann man Konzepte der Entfernung zwischen zwei Schnuren besprechen. Da die neuen Gegenstände, die befasst werden, Gegenstände (nicht Punkte mehr) zusätzliche Konzepte wie Nichtdehnbarkeit erweitert werden, werden Krümmungseinschränkungen und nichtlokale Wechselwirkungen, die Nichtüberfahrt geltend machen, zentral zum Begriff der Entfernung. Die Entfernung zwischen den zwei Sammelleitungen ist die Skalarmenge, die sich aus Minderung der verallgemeinerten funktionellen Entfernung ergibt, der eine Transformation zwischen den zwei Sammelleitungen vertritt:

:

\mathcal {D} = \int_0^L\int_0^T \left \{\sqrt {\\hat ({\\teilweiser \vec {r} (s, t) \over \partial t }\\Recht) ^2} + \lambda \left [\sqrt {\\link ({\\teilweiser \vec {r} (s, t) \over \partial s }\\Recht) ^2} - 1\right] \right\} \, ds \, dt verlassen

</Mathematik>

Das obengenannte doppelte Integral ist die verallgemeinerte zwischen zwei plymer Angleichung funktionelle Entfernung. ist ein Raumparameter und ist Pseudozeit. Das bedeutet, dass das die Angleichung des Polymers/Schnur in der Zeit ist und entlang der Schnur-Länge dadurch parametrisiert wird. Ähnlich ist die Schussbahn eines unendlich kleinen Segmentes der Schnur während der Transformation der kompletten Schnur von der Angleichung bis Angleichung. Der Begriff mit cofactor ist ein Vermehrer von Lagrange, und seine Rolle soll sicherstellen, dass die Länge des Polymers dasselbe während der Transformation bleibt. Wenn zwei getrennte Polymer inextensible sind, dann ist die Transformation der minimalen Entfernung zwischen ihnen nicht mehr mit rein linearer Bewegung sogar auf einem Euklidischen metrischen verbunden. Es gibt eine potenzielle Anwendung solcher verallgemeinerter Entfernung zum Problem des Proteins, das sich faltet

Diese verallgemeinerte Entfernung ist der Handlung von Nambu-Goto in der Schnur-Theorie analog, jedoch gibt es keine genaue Ähnlichkeit, weil die Euklidische Entfernung im 3-Räume-inequivalent zur Raum-Zeit-für die klassische relativistische Schnur minimierten Entfernung ist.

Algebraische Entfernung

Die algebraische Entfernung ist ein metrischer, der häufig in der Computervision verwendet ist, die durch kleinste Quadratbewertung minimiert werden kann. http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/FISHER/ALGDIST/alg.htmhttp://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/FISHER/CIRCLEFIT/fit2dcircle/node3.html Für Kurven oder Oberflächen, die durch die Gleichung (solcher als ein konischer in homogenen Koordinaten) gegeben sind, ist die algebraische Entfernung vom Punkt bis die Kurve einfach.

Es kann als eine "anfängliche Annahme" für die geometrische Entfernung dienen, um Bewertungen der Kurve durch genauere Methoden, solcher als nichtlinear kleinste Quadrate zu raffinieren.

Allgemeiner Fall

In der Mathematik, in der besonderen Geometrie, einer Entfernungsfunktion auf einem gegebenen Satz ist M eine Funktion d: M×M  R, wo R den Satz von reellen Zahlen anzeigt, der die folgenden Bedingungen befriedigt:

• d (x, y)  0, und d (x, y) = 0 wenn und nur wenn x = y. (Entfernung ist zwischen zwei verschiedenen Punkten positiv, und ist Null genau von einem Punkt bis sich.)
• Es ist symmetrisch: d (x, y) = d (y, x). (Die Entfernung zwischen x und y ist dasselbe in jeder Richtung.)
• Es befriedigt die Dreieck-Ungleichheit: d (x, z)  d (x, y) + d (y, z). (Die Entfernung zwischen zwei Punkten ist die kürzeste Entfernung entlang jedem Pfad).

Solch eine Entfernungsfunktion ist als ein metrischer bekannt. Zusammen mit dem Satz setzt es einen metrischen Raum zusammen.

Zum Beispiel ist die übliche Definition der Entfernung zwischen zwei reellen Zahlen x und y: d (x, y) = |x  y. Diese Definition befriedigt die drei Bedingungen oben, und entspricht der Standardtopologie der echten Linie. Aber die Entfernung auf einem gegebenen Satz ist eine definitorische Wahl. Eine andere mögliche Wahl ist zu definieren: d (x, y) = 0 wenn x = y, und 1 sonst. Das definiert auch einen metrischen, aber gibt eine völlig verschiedene Topologie, die "getrennte Topologie"; mit dieser Definition können Zahlen nicht willkürlich nah sein.

Entfernungen zwischen Sätzen und zwischen einem Punkt und einem Satz

Verschiedene Entfernungsdefinitionen sind zwischen Gegenständen möglich. Zum Beispiel zwischen Himmelskörpern sollte man nicht die Boden-Boden-Entfernung und das Zentrum zum Achsabstand verwechseln. Wenn der erstere viel weniger ist als die Letzteren bezüglich einer LÖWE, neigt das erste dazu (Höhe), sonst, z.B für die Erdmondentfernung, die Letzteren angesetzt zu werden.

Es gibt zwei allgemeine Definitionen für die Entfernung zwischen zwei nichtleeren Teilmengen eines gegebenen Satzes:

• Eine Version der Entfernung zwischen zwei nichtleeren Sätzen ist der infimum der Entfernungen zwischen irgendwelchen zwei ihrer jeweiligen Punkte, der die tägliche Bedeutung des Wortes ist. Das ist ein symmetrischer vormetrischer. Auf einer Sammlung von Sätzen, von denen etwas Berührung oder auf einander übergreifen, trennt sie "sich" nicht, weil die Entfernung zwischen zwei verschiedenen, aber rührenden oder überlappenden Sätzen Null ist. Auch es ist nicht hemimetric, d. h. die Dreieck-Ungleichheit hält nicht, außer in speziellen Fällen. Deshalb nur in speziellen Fällen macht diese Entfernung eine Sammlung von Sätzen einen metrischen Raum.
• Die Hausdorff Entfernung ist die größeren von zwei Werten, ein, das Supremum für einen Punkt seiend, der sich über einen Satz vom infimum für einen zweiten Punkt erstreckt, der sich über den anderen Satz, von der Entfernung zwischen den Punkten und dem anderen Wert erstreckt, der ebenfalls wird definiert, aber mit den Rollen der zwei getauschten Sätze. Diese Entfernung macht den Satz von nichtleeren Kompaktteilmengen eines metrischen Raums selbst einen metrischen Raum.

Die Entfernung zwischen einem Punkt und einem Satz ist der infimum der Entfernungen zwischen dem Punkt und denjenigen im Satz. Das entspricht der Entfernung gemäß der zuerst erwähnten Definition oben der Entfernung zwischen Sätzen vom Satz, der nur diesen Punkt zum anderen Satz enthält.

In Bezug darauf kann die Definition der Entfernung von Hausdorff vereinfacht werden: Es sind die größeren von zwei Werten, ein, das Supremum für einen Punkt seiend, der sich über einen Satz, der Entfernung zwischen dem Punkt und dem Satz und dem anderen Wert erstreckt, der ebenfalls wird definiert, aber mit den Rollen der zwei getauschten Sätze.

Graph-Theorie

In der Graph-Theorie ist die Entfernung zwischen zwei Scheitelpunkten die Länge des kürzesten Pfads zwischen jenen Scheitelpunkten.

Entfernung gegen die geleitete Entfernung und Versetzung

Entfernung kann nicht negativ sein, und Entfernung ist nie Abnahmen gereist. Entfernung ist eine Skalarmenge oder ein Umfang, wohingegen Versetzung eine Vektor-Menge sowohl mit dem Umfang als auch mit der Richtung ist.

Die Entfernung, die durch ein Fahrzeug (zum Beispiel wie registriert, durch einen Kilometerzähler), Person, Tier oder Gegenstand entlang einem gekrümmten Pfad von einem Punkt zu einem Punkt B bedeckt ist, sollte von der Entfernung der Gerade von bis B bemerkenswert sein. Zum Beispiel was für die Entfernung, die während einer Hin- und Rückfahrt von bis B und zurück zu A bedeckt ist, ist die Versetzung Null als Anfang, und Endpunkte fallen zusammen. Im Allgemeinen ist die Entfernung der Gerade nicht gleich Entfernung ist abgesehen von der Reise in einer Gerade gereist.

Geleitete Entfernung

Geleitete Entfernungen sind Entfernungen mit einer Richtung oder Sinn. Sie können entlang Geraden und entlang gekrümmten Linien bestimmt werden. Eine geleitete Entfernung entlang einer Gerade von bis B ist ein Vektor, der sich irgendwelchen zwei Punkten bei einem n-dimensional Euklidischen Vektorraum anschließt. Eine geleitete Entfernung entlang einer gekrümmten Linie ist nicht ein Vektor und wird durch ein Segment dieser gekrümmten Linie vertreten, die durch Endpunkte A und B mit etwas spezifischer Information definiert ist, die den Sinn (oder Richtung) einer idealen oder echten Bewegung von einem Endpunkt des Segmentes zum anderen anzeigt (sieh Zahl). Zum Beispiel gerade die zwei Endpunkte weil etikettierend, kann A und B den Sinn anzeigen, wenn die bestellte Folge (A, B) angenommen wird, der andeutet, dass A der Startpunkt ist.

Eine Versetzung (sieh oben), ist eine spezielle Art der geleiteten in der Mechanik definierten Entfernung. Eine geleitete Entfernung wird Versetzung genannt, wenn es die Entfernung entlang einer Gerade (minimale Entfernung) von A und B ist, und wenn A und B Positionen sind, die durch dieselbe Partikel in zwei verschiedenen Momenten der Zeit besetzt sind. Das bezieht Bewegung der Partikel ein. versetzen Sie ist eine Vektor-Menge.

Eine andere Art der geleiteten Entfernung ist dass zwischen zwei verschiedenen Partikeln oder Punkt-Massen zu einem festgelegten Zeitpunkt. Zum Beispiel kann die Entfernung vom Zentrum des Ernstes der Erde A und dem Zentrum des Ernstes des Monds B (der Bewegung von bis B nicht ausschließlich einbezieht).Shortest Pfad-Länge der Versetzung gleich sein oder kann dem nicht gleich sein. Die Entfernung vom Startpunkt ist immer dem Umfang der Versetzung gleich.

Für dieselbe Partikel ist Entfernung gereist ist immer größer oder gleich dem Umfang der Versetzung. Kürzeste Pfad-Länge ist immer Versetzung nicht notwendig. Diplacement kann zunehmen oder abnehmen, aber Entfernung ist nie Abnahmen gereist.

Andere "Entfernungen"

• E-Statistiken oder Energiestatistik, sind Funktionen von Entfernungen zwischen statistischen Beobachtungen.
• Entfernung von Mahalanobis wird in der Statistik verwendet.
• Entfernung von Hamming und Entfernung von Lee werden im Codieren der Theorie verwendet.
• Entfernung von Levenshtein
• Entfernung von Tschebyscheff
• Canberra Entfernung

Kreisförmige Entfernung ist die durch ein Rad gereiste Entfernung. Der Kreisumfang des Rades ist 2&pi; &times; Radius und das Annehmen den Radius, 1, dann jede Revolution des Rades zu sein, sind von der Entfernung 2&pi gleichwertig; radians. In der Technik &omega; = 2&pi;&fnof; wird häufig, wo &fnof verwendet; ist die Frequenz.

Siehe auch

• Taxi-Geometrie
• Astronomische Einheiten der Länge
• Kosmische Entfernungsleiter
• Entfernungsmaßnahmen (Kosmologie)
• Entfernung von Comoving
• Entfernungsgeometrie
• Entfernung (Graph-Theorie)
• Der Algorithmus von Dijkstra
• Entfernungsbasierte Straßenausgangszahlen
• Entfernungsmessen-Ausrüstung (DME)
• Techniktoleranz
• Entfernung des großen Kreises
• Länge
• Meilenstein
• Metrisch (Mathematik)
• Metrischer Raum
• Größenordnungen (Länge)
• Richtige Länge
• Entfernungsmatrix
• Entfernung von Hamming
• Lee-Entfernung
• Proxemics - physische Entfernung zwischen Leuten
• Meridian-Kreisbogen

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