Im mathematischen Feld der Graph-Theorie sind ein Pfad von Hamiltonian (oder nachweisbarer Pfad) ein Pfad in einem ungeleiteten Graphen, der jeden Scheitelpunkt genau einmal besucht. Ein Hamiltonian Zyklus (oder Stromkreis von Hamiltonian) ist ein Pfad von Hamiltonian, der ein Zyklus ist. Die Bestimmung, ob solche Pfade und Zyklen in Graphen bestehen, ist das Pfad-Problem von Hamiltonian, das NP-complete ist.

Pfade von Hamiltonian und Zyklen werden nach William Rowan Hamilton genannt, der das Spiel von Icosian, jetzt auch bekannt als das Rätsel von Hamilton erfunden hat, das Entdeckung eines Zyklus von Hamiltonian in den Rand-Graphen des Dodekaeders einschließt. Hamilton hat dieses Problem mit der Icosian Rechnung, einer algebraischen Struktur behoben, die auf Wurzeln der Einheit mit vielen Ähnlichkeiten zum quaternions (auch gestützt ist, erfunden von Hamilton). Diese Lösung verallgemeinert zu willkürlichen Graphen nicht. Jedoch, trotz des nennet nach Hamilton, waren Zyklen von Hamiltonian in Polyedern auch ein Jahr früher von Thomas Kirkman studiert worden.

Definitionen

Ein Hamiltonian Pfad oder nachweisbarer Pfad sind ein Pfad, der jeden Scheitelpunkt genau einmal besucht. Ein Graph, der einen Pfad von Hamiltonian enthält, wird einen nachweisbaren Graphen genannt. Ein Graph wird Hamiltonian-verbunden, wenn für jedes Paar von Scheitelpunkten es einen Pfad von Hamiltonian zwischen den zwei Scheitelpunkten gibt.

Ein Hamiltonian Zyklus, Stromkreis von Hamiltonian, Scheitelpunkt-Tour oder Graph-Zyklus sind ein Zyklus, der jeden Scheitelpunkt genau einmal besucht

(außer dem Scheitelpunkt, der beide der Anfang und Ende ist, und so zweimal besucht wird). Ein Graph, der einen Zyklus von Hamiltonian enthält, wird einen Graphen von Hamiltonian genannt.

Ähnliche Begriffe können für geleitete Graphen definiert werden, wo jeder Rand (Kreisbogen) eines Pfads oder Zyklus nur in einer einzelnen Richtung verfolgt werden kann (d. h. die Scheitelpunkte werden mit Pfeilen verbunden, und die Ränder haben "Schwanz zum Kopf" verfolgt).

Eine Hamiltonian Zergliederung ist eine Rand-Zergliederung eines Graphen in Stromkreise von Hamiltonian. Das ist eines der bekannten, aber ungelösten Probleme.

Beispiele

• ein ganzer Graph mit mehr als zwei Scheitelpunkten ist Hamiltonian
• jeder Zyklus-Graph ist Hamiltonian
• jedes Turnier hat eine ungerade Zahl von Pfaden von Hamiltonian
• jeder platonische Festkörper, betrachtet als ein Graph, ist Hamiltonian
• jedes Prisma ist Hamiltonian
• Deltoidal hexecontahedron ist einziger non-hamiltonian Archimedean Doppel-
• Jedes Antiprisma ist Hamiltonian
• Ein maximaler planarer Graph ohne Trennen von Dreiecken ist Hamiltonian.

Eigenschaften

Jeder Hamiltonian Zyklus kann zu einem Pfad von Hamiltonian durch das Entfernen von einem seiner Ränder umgewandelt werden, aber ein Pfad von Hamiltonian kann zum Zyklus von Hamiltonian nur erweitert werden, wenn seine Endpunkte angrenzend sind.

Der Liniengraph eines Graphen von Hamiltonian ist Hamiltonian. Der Liniengraph eines Graphen von Eulerian ist Hamiltonian.

Ein Turnier (mit mehr als 2 Scheitelpunkten) ist Hamiltonian, wenn, und nur wenn es stark verbunden wird.

Das Problem, einen Zyklus von Hamiltonian zu finden, kann als die Basis eines Nullkenntnisse-Beweises verwendet werden.

Die Zahl von verschiedenen Zyklen von Hamiltonian in einem ganzen ungeleiteten Graphen auf n Scheitelpunkten ist, und in einem ganzen geleiteten Graphen auf n Scheitelpunkten ist.

Bondy-Chvátal Lehrsatz

Die beste Scheitelpunkt-Grad-Charakterisierung von Graphen von Hamiltonian wurde 1972 durch den Bondy-Chvátal Lehrsatz zur Verfügung gestellt, der frühere Ergebnisse durch G. A. Dirac (1952) und Erz von Øystein verallgemeinert. Tatsächlich sind sowohl die Lehrsätze von Dirac als auch Erzes weniger stark als, was aus dem Lehrsatz von Pósa (1962) abgeleitet werden kann. Dirac und die grundsätzlich staatlichen Lehrsätze von Erz, dass ein Graph Hamiltonian ist, wenn es genug Ränder hat. Zuerst müssen wir den Verschluss eines Graphen definieren.

In Anbetracht eines Graphen G mit n Scheitelpunkten wird die Verschluss-Kl. (G) von G durch das wiederholte Hinzufügen eines neuen Randes uv das Anschließen eines nichtangrenzenden Paares von Scheitelpunkten u und v damit einzigartig gebaut, bis keine Paare mehr mit diesem Eigentum gefunden werden können.

Bondy-Chvátal Lehrsatz

:A-Graph ist Hamiltonian, wenn, und nur wenn sein Verschluss Hamiltonian ist.

Da ganze Graphen Hamiltonian sind, sind alle Graphen, deren Verschluss abgeschlossen ist, Hamiltonian, der der Inhalt der folgenden früheren Lehrsätze durch Dirac und Ore ist.

Dirac (1952)

Der einfache Graph von:A mit n Scheitelpunkten ist Hamiltonian, wenn jeder Scheitelpunkt Grad oder größer hat.

Erz (1960)

Der:A-Graph mit n Scheitelpunkten (n  3) ist Hamiltonian, wenn, für jedes Paar von nichtangrenzenden Scheitelpunkten, die Summe ihrer Grade n oder größer ist (sieh den Lehrsatz von Erz).

Die folgenden Lehrsätze können als geleitete Versionen betrachtet werden:

Ghouila-Houiri (1960)

:A hat stark in Verbindung gestanden der einfache geleitete Graph mit n Scheitelpunkten ist Hamiltonian, wenn ein Scheitelpunkt einen vollen Grad hat, der kleiner ist als n.

Meyniel (1973)

:A hat stark in Verbindung gestanden der einfache geleitete Graph mit n Scheitelpunkten ist Hamiltonian, wenn die Summe von vollen Graden von ungefähr zwei verschiedenen nichtangrenzenden Scheitelpunkten kleiner ist als.

Die Zahl von Scheitelpunkten muss verdoppelt werden, weil jeder ungeleitete Rand zwei geleiteten Kreisbogen entspricht und so der Grad eines Scheitelpunkts im geleiteten Graphen zweimal der Grad im ungeleiteten Graphen ist.

Siehe auch

• Die Vermutung von Barnette, ein offenes Problem auf Hamiltonicity von polyedrischen zweiteiligen Kubikgraphen
• Pfad von Eulerian, ein Pfad durch alle Ränder in einem Graphen
• Der Lehrsatz von Grinberg, der eine notwendige Bedingung für planare Graphen gibt, um einen Zyklus von Hamiltonian zu haben
• Die Tour des Ritters, ein Zyklus von Hamiltonian im Graphen des Ritters
• Pfad-Problem von Hamiltonian, das rechenbetonte Problem, Pfade von Hamiltonian zu finden
• Graph von Hypohamiltonian, ein non-Hamiltonian Graph, in dem jeder Scheitelpunkt-gelöschte Subgraph Hamiltonian ist
• LCF Notation für Hamiltonian Kubikgraphen.
• Lovász vermuten, dass mit dem Scheitelpunkt transitive Graphen Hamiltonian sind
• Graph von Pancyclic, Graphen mit Zyklen aller Längen einschließlich eines Zyklus von Hamiltonian
• Schlange im Kasten, der längste veranlasste Pfad in einem Hyperwürfel
• Steinhaus-Johnson-Trotter Algorithmus, für einen Pfad von Hamiltonian in einem permutohedron zu finden
• Die Vermutung von Tait (jetzt bekannt falsch), dass 3-regelmäßige polyedrische Graphen Hamiltonian sind
• Handlungsreisender-Problem

Referenzen

• DeLeon, Melisse, "Eine Studie von genügend Bedingungen für Hamiltonian Zyklen". Abteilung der Mathematik und Informatik, Saal-Universität von Seton
• Graham, Ronald L., Handbuch von Combinatorics, MIT Presse, 1995. Internationale Standardbuchnummer 978-0-262-57170-8.
• Hamilton, William Rowan, "Vermerk, ein neues System von Wurzeln der Einheit respektierend". Philosophische Zeitschrift, 12 1856
• Hamilton, William Rowan, "Rechnung der Icosian Rechnung". Verhandlungen der Königlichen irischen Akademie, 6 1858
• Erz, O "Ein Zeichen auf Hamiltonian Stromkreisen." Amerikanische Mathematische Monatliche 67, 55, 1960.
• Peterson, Ivars, "Der Mathematische Tourist". 1988. W. H. Freeman und Gesellschaft, New York
• Pósa, L. Ein Lehrsatz bezüglich hamilton Linien. Madjar Tud. Akad. Matte. Kutato Interne Nummer. Kozl. 7 (1962), 225-226.
• Chuzo Iwamoto und Godfried Toussaint, "Entdeckung von Hamiltonian Stromkreisen in Maßnahmen von Kurven von Jordan sind NP-complete," Informationsverarbeitungsbriefe, Vol. 52, 1994, Seiten 183-189.

Links

• Tour von Euler und Zyklen von Hamilton