In der Mathematik, einem multiplicative umgekehrten oder gegenseitigem für eine Nummer x, die durch 1/x oder x angezeigt ist, ist eine Zahl, die, wenn multipliziert, mit x die multiplicative Identität, 1 nachgibt. Das multiplicative Gegenteil eines Bruchteils a/b ist b/a. Für das multiplicative Gegenteil einer reellen Zahl, teilen Sie sich 1 durch die Zahl. Zum Beispiel ist das Gegenstück 5 ein fünfter (1/5 oder 0.2), und das Gegenstück 0.25 ist 1, der durch 0.25, oder 4 geteilt ist. Die gegenseitige Funktion, die Funktion f (x), der x zu 1/x kartografisch darstellt, ist eines der einfachsten Beispiele einer Funktion, die selbstumgekehrt ist.

Der gegenseitige Begriff war in der üblichen Anwendung mindestens schon zu Lebzeiten von die dritte Ausgabe von Encyclopædia Britannica (1797), um zwei Zahlen zu beschreiben, deren Produkt 1 ist; geometrische Mengen im umgekehrten Verhältnis werden als reciprocall in einer 1570-Übersetzung der Elemente von Euklid beschrieben.

Im Ausdruck multiplicative Gegenteil wird der Qualifikator multiplicative häufig weggelassen und dann stillschweigend (im Gegensatz zum zusätzlichen Gegenteil) verstanden. Gegenteile von Multiplicative können über viele mathematische Gebiete sowie Zahlen definiert werden. In diesen Fällen kann es das ab  ba zufällig; dann deutet "Gegenteil" normalerweise an, dass ein Element sowohl ein linkes als auch richtiges Gegenteil ist.

Praktische Anwendungen

Das multiplicative Gegenteil hat unzählige Anwendungen in Algorithmen der Informatik, besonders diejenigen, die mit der Zahlentheorie verbunden sind, da sich viele solche Algorithmen schwer auf die Theorie der Modularithmetik verlassen. Als ein einfaches Beispiel, denken Sie das genaue Abteilungsproblem, wo Sie eine Liste von sonderbaren wort-großen Zahlen jeder haben, der durch k teilbar ist, und Sie sie alle durch k teilen möchten. Eine Lösung ist wie folgt:

1. Verwenden Sie den verlängerten Euklidischen Algorithmus, um k, das multiplicative Modulgegenteil von k mod 2 zu schätzen, wo w die Zahl von Bit kurzum ist. Dieses Gegenteil wird bestehen, da die Zahlen seltsam sind und das Modul keine sonderbaren Faktoren hat.
2. Für jede Zahl in der Liste, multiplizieren Sie es mit k und nehmen Sie das am wenigsten bedeutende Wort des Ergebnisses.

Auf vielen Maschinen, besonders diejenigen ohne Hardware-Unterstützung für die Abteilung, ist Abteilung eine langsamere Operation als Multiplikation, so kann diese Annäherung eine beträchtliche Beschleunigung nachgeben. Der erste Schritt ist relativ langsam, aber muss nur einmal getan werden.

Beispiele und Gegenbeispiele

Im Feld von reellen Zahlen hat Null kein Gegenstück, weil keine reelle Zahl, die mit 0 multipliziert ist, 1 erzeugt. Mit Ausnahme von der Null sind Gegenstücke jeder komplexen Zahl kompliziert, Gegenstücke jeder reellen Zahl sind echt, und Gegenstücke jeder rationalen Zahl sind vernünftig. Die imaginären Einheiten, ±, sind die einzigen komplexen Zahlen mit dem zusätzlichen dem multiplicative Gegenteil gleichen Gegenteil. Zum Beispiel sind Zusatz und multiplicative Gegenteile dessen − = − und 1/= − beziehungsweise.

Um dem Gegenstück von x, mit nur die Multiplikation und Subtraktion näher zu kommen, kann man eine Nummer y erraten, und dann wiederholt y durch 2y &minus ersetzen; xy. Sobald die Änderung in y wird (und bleibt) genug klein, ist y eine Annäherung des Gegenstücks von x.

In der konstruktiven Mathematik, für eine reelle Zahl x, um ein Gegenstück zu haben, ist es das x  0 nicht genügend. Dort muss stattdessen eine rationale Zahl r solch dass 0 &lt gegeben werden; r < |x. In Bezug auf den Annäherungsalgorithmus im vorherigen Paragrafen ist das erforderlich, um zu beweisen, dass die Änderung in y schließlich willkürlich klein werden wird.

In der Modularithmetik, dem multiplicative Modulgegenteil, auch definiert zu sein: Es ist die solche Nummer x dass Axt  1 (mod n). Dieses multiplicative Gegenteil besteht, wenn, und nur wenn a und n coprime sind. Zum Beispiel ist das Gegenteil von 3 modulo 11 4 weil 4 · 3  1 (mod 11). Der verlängerte Euklidische Algorithmus kann verwendet werden, um es zu schätzen.

Die sedenions sind eine Algebra, in der jedes Nichtnullelement ein multiplicative Gegenteil hat, aber der dennoch Teiler der Null, d. h. Nichtnullelemente x, y solch dass xy = 0 hat.

Eine Quadratmatrix hat ein Gegenteil, wenn, und nur wenn seine Determinante ein Gegenteil im mitwirkenden Ring hat. Die geradlinige Karte, die die Matrix in Bezug auf eine Basis hat, ist dann die gegenseitige Funktion der Karte, die als Matrix in derselben Basis hat. So sind die zwei verschiedenen Begriffe des Gegenteils einer Funktion stark in diesem Fall verbunden, während sie im allgemeinen Fall (sieh unten) sorgfältig bemerkenswert sein müssen.

Die trigonometrischen Funktionen sind durch die gegenseitige Identität verbunden: Der Kotangens ist das Gegenstück der Tangente; die Sekante ist das Gegenstück des Kosinus; der cosecant ist das Gegenstück des Sinus.

Es ist wichtig, das Gegenstück einer Funktion &fnof zu unterscheiden; im multiplicative Sinn, der durch 1/&fnof gegeben ist; von der gegenseitigen oder umgekehrten Funktion in Bezug auf die Zusammensetzung, die durch &fnof angezeigt ist; und definiert durch ƒ ƒ = id. Nur für geradlinige Karten sind sie stark verbunden (sieh oben), während sie für alle anderen Fälle völlig verschieden sind. Der gegen das Gegenteil gegenseitige Fachsprache-Unterschied ist nicht genügend, um diese Unterscheidung zu machen, da viele Autoren die entgegengesetzte Namengeben-Tagung wahrscheinlich aus historischen Gründen bevorzugen (zum Beispiel in Französisch, wird die umgekehrte Funktion vorzugsweise genannt).

Ein Ring, in dem jedes Nichtnullelement ein multiplicative Gegenteil hat, ist ein Abteilungsring; ebenfalls ist eine Algebra, in der das hält, eine Abteilungsalgebra.

Pseudozufällige Zahl-Generation

Die Vergrößerung des gegenseitigen 1/q in jeder Basis kann auch als eine Quelle von pseudozufälligen Zahlen handeln, wenn q eine "passende" sichere Blüte, eine Blüte der Form 2 Punkte + 1 ist, wo p auch eine Blüte ist. Eine Folge von pseudozufälligen Zahlen der Länge q − 1 wird durch die Vergrößerung erzeugt.

Gegenstücke von irrationalen Zahlen

Jede Zahl-Ausschließen-Null hat ein Gegenstück, und Gegenstücke von bestimmten irrationalen Zahlen können sich häufig nützlich aus mit der fraglichen irrationalen Zahl verbundenen Gründen erweisen. Beispiele davon sind das Gegenstück von e, der speziell ist, weil keine andere positive Zahl eine niedrigere Zahl, wenn gestellt, zur Macht von sich und dem Gegenstück des goldenen Verhältnisses erzeugen kann, das, ungefähr 0.6180339887 seiend, genau ein weniger ist als das goldene Verhältnis und der Reihe nach die Einzigartigkeit der Zahl illustriert.

Es gibt eine unendliche Zahl von vernunftwidrigen gegenseitigen Paaren, die sich durch eine ganze Zahl unterscheiden (das Geben der neugierigen Wirkung, dass die Paare ihren unendlichen mantissa teilen). Diese Paare können gefunden werden, indem sie n +  (n+1) für jede ganze Zahl n vereinfachen, und das Gegenstück nehmen.

Weitere Bemerkungen

Wenn die Multiplikation assoziativ ist, kann ein Element x mit einem multiplicative Gegenteil kein Nullteiler (Bedeutung für einen y, xy = 0 weder mit x noch mit y gleich der Null) sein. Um das zu sehen, ist es genügend, die Gleichung xy = 0 durch das Gegenteil von x (links) zu multiplizieren, und dann das Verwenden associativity zu vereinfachen. Ohne associativity stellen die sedenions ein Gegenbeispiel zur Verfügung.

Das gegenteilige hält nicht: Wie man versichert, hat ein Element, das nicht ein Nullteiler ist, kein multiplicative Gegenteil.

Innerhalb von Z stellen alle ganzen Zahlen außer 1, 0, 1 Beispiele zur Verfügung; sie sind nicht Nullteiler, noch sie haben Gegenteile in Z.

Wenn der Ring oder die Algebra jedoch begrenzt sind, dann haben alle Elemente, die nicht Nullteiler sind, wirklich (verlassen und Recht) Gegenteil. Da zuerst dass die Karte &fnof bemerken; (x) = muss Axt injective sein: ƒ (x) = ƒ (y) bezieht x = y ein:

Axt &= ja &\\Viererkabel \rArr & \quad Axt ja = 0 \\

& &\\Viererkabel \rArr &\\Viererkabel (x-y) = 0 \\

& &\\Viererkabel \rArr &\\Viererkabel x-y = 0 \\

& &\\Viererkabel \rArr &\\Viererkabel x = y.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die verschiedene Element-Karte zu verschiedenen Elementen, so besteht das Image aus derselben begrenzten Zahl der Elemente und der Karte, ist notwendigerweise surjective. Spezifisch muss ƒ (nämlich Multiplikation durch a) ein Element x zu 1, Axt = 1 kartografisch darstellen, so dass x ein Gegenteil für a ist.

Das multiplicative Gegenteil eines Bruchteils ist einfach

Siehe auch

• Abteilung (Mathematik)
• Bruchteil (Mathematik)
• Gruppe (Mathematik)
• Ring (Mathematik)
• Abteilungsalgebra
• Exponentialzerfall
• Einheitsbruchteile - Gegenstücke von ganzen Zahlen
• Hyperbel
• Das Wiederholen der Dezimalzahl

Referenzen

• Maximal Periodische Gegenstücke, Matthews R.A.J. Meldung des Instituts für die Mathematik und seine Anwendungen vol 28 Seiten 147-148 1992