Die Gleichung von Klein-Gordon (Gleichung von Klein-Fock-Gordon oder manchmal Gleichung von Klein-Gordon-Fock) ist eine relativistische Version der Gleichung von Schrödinger.

Es ist die Gleichung der Bewegung eines Quant-Skalars oder Pseudoskalarfeldes, eines Feldes, dessen Quanten spinless Partikeln sind. Es kann als eine Gleichung von Schrödinger für einen Quant-Staat nicht aufrichtig interpretiert werden, weil es die zweite Ordnung rechtzeitig ist, und weil es keine positive bestimmte erhaltene Wahrscheinlichkeitsdichte zulässt. Und doch, mit der passenden Interpretation beschreibt es wirklich den Quant-Umfang, für eine Punkt-Partikel in verschiedenen Plätzen, dem relativistischen wavefunction zu finden, aber die Partikel pflanzt sich sowohl vorwärts als auch umgekehrt rechtzeitig fort. Jede Lösung der Gleichung von Dirac ist automatisch eine Lösung der Gleichung von Klein-Gordon, aber das gegenteilige ist nicht wahr.

Behauptung

Die Gleichung von Klein-Gordon ist

::

Es wird meistenteils in natürlichen Einheiten geschrieben:

::

Die Form wird durch das Verlangen dass Flugzeug-Welle-Lösungen der Gleichung bestimmt:

::

\psi = e^ {-i\omega t + ich k\cdot x} = e^ {ich k_\mu x^\\mu }\

</Mathematik>

folgen Sie der Energieschwung-Beziehung der speziellen Relativität:

::

Verschieden von der Gleichung von Schrödinger gibt es zwei Werte für jeden k, einen positiven und einen negativen. Nur durch das Trennen der positiven und negativen Frequenzteile tut die Gleichung beschreiben einen relativistischen wavefunction. Für den zeitunabhängigen Fall wird die Gleichung von Klein-Gordon

:

\left [\nabla^2 - \frac {m^2 c^2} {\\hbar^2} \right] \psi (\mathbf {r}) = 0

</Mathematik>

der die homogene geschirmte Gleichung von Poisson ist.

Geschichte

Die Gleichung wurde nach den Physikern Oskar Klein und Walter Gordon genannt, der 1926 vorgeschlagen hat, dass sie relativistische Elektronen beschreibt. Andere Autoren, die ähnliche Ansprüche in diesem demselben Jahr erheben, waren Vladimir Fock, Johann Kudar, Théophile de Donder und Frans-H. van den Dungen und Louis de Broglie. Obwohl es sich herausgestellt hat, dass die Gleichung von Dirac das spinnende Elektron beschreibt, beschreibt die Gleichung von Klein-Gordon richtig den spinless pion. Der pion ist eine zerlegbare Partikel; keine spinless elementaren Partikeln sind noch gefunden worden, obwohl Higgs boson theoretisiert wird, um als eine Drehungsnull boson gemäß dem Standardmodell zu bestehen.

Die Gleichung von Klein-Gordon wurde zuerst als eine Quant-Wellengleichung von Schrödinger in seiner Suche nach einer Gleichung betrachtet, die Wellen von de Broglie beschreibt. Die Gleichung wird in seinen Notizbüchern von Ende 1925 gefunden, und er scheint, ein Manuskript vorbereitet zu haben, das es auf das Wasserstoffatom anwendet. Und doch, ohne die Drehung des Elektrons in Betracht zu ziehen, sagt die Gleichung von Klein-Gordon die Feinstruktur des Wasserstoffatoms falsch, einschließlich des Überschätzens des gesamten Umfangs des zerreißenden Musters durch einen Faktor für das n-te Energieniveau voraus. Das Dirac-Ergebnis wird jedoch leicht wieder erlangt, wenn die Augenhöhlenschwung-Quantenzahl durch die winkelige Gesamtschwung-Quantenzahl ersetzt wird.

Im Januar 1926 hat Schrödinger für die Veröffentlichung stattdessen seine Gleichung, eine nichtrelativistische Annäherung vorgelegt, die die Energieniveaus von Bohr von Wasserstoff ohne Feinstruktur voraussagt.

1927, kurz nachdem die Gleichung von Schrödinger eingeführt wurde, hat Vladimir Fock einen Artikel über seine Generalisation für den Fall von magnetischen Feldern geschrieben, wo Kräfte von der Geschwindigkeit abhängig waren, und unabhängig diese Gleichung abgeleitet haben. Sowohl Klein als auch Fock haben Kaluzas Methode und Kleins verwendet. Fock hat auch die Maß-Theorie für die Wellengleichung bestimmt. Die Gleichung von Klein-Gordon für eine freie Partikel hat eine einfache Flugzeug-Welle-Lösung.

Abstammung

Die nichtrelativistische Gleichung für die Energie einer freien Partikel ist

:Indem

wir das quanteln, bekommen wir die nichtrelativistische Gleichung von Schrödinger für eine freie Partikel,

:

\frac {\\mathbf {p} ^2} {2 M} \psi = ich \hbar \frac {\\teilweise} {\\teilweiser t }\\psi

</Mathematik>wo:

ist der Schwung-Maschinenbediener (der del Maschinenbediener seiend).

Die Gleichung von Schrödinger leidet darunter, relativistisch kovariant nicht zu sein, bedeutend, dass sie die spezielle Relativität von Einstein nicht in Betracht zieht.

Es ist natürlich zu versuchen, die Identität von der speziellen Relativität zu verwenden

:

\sqrt {\\mathbf {p} ^2 c^2 + m^2 c^4} = E

</Mathematik>

für die Energie; dann gerade gibt das Einfügen des Quants mechanischer Schwung-Maschinenbediener, die Gleichung nach

:

Das ist jedoch ein beschwerlicher Ausdruck, um damit zu arbeiten, weil der Differenzialoperator nicht bewertet werden kann, während unter der Quadratwurzel unterzeichnen. Außerdem ist diese Gleichung, weil es steht, nichtlokal.

Klein und Gordon haben stattdessen mit dem Quadrat der obengenannten Identität begonnen, d. h.

:

\mathbf {p} ^2 c^2 + m^2 c^4 = E^2

</Mathematik>

der, wenn gequantelt, gibt

:

der zu vereinfacht

:

Umordnen von Begriffen gibt nach

:

Seitdem die ganze Verweisung auf imaginäre Zahlen von dieser Gleichung beseitigt worden ist, kann sie auf Felder angewandt werden, die geschätzt sowie diejenigen echt sind, die komplizierte Werte haben.

Mit dem Gegenstück des metrischen Minkowskis bekommen wir

:</Mathematik>

in der kovarianten Notation. Das wird häufig als abgekürzt

:

(\Box + \mu^2) \psi = 0,

</Mathematik>wo:und:

Dieser Maschinenbediener wird den Maschinenbediener von D'Alembert genannt. Heute wird diese Form als die relativistische Feldgleichung für einen Skalar (d. h. Drehung 0) Partikel interpretiert. Außerdem ist jede Lösung der Gleichung von Dirac (für eine Partikel "spinnen eine Hälfte"), automatisch eine Lösung der Gleichung von Klein-Gordon, obwohl nicht alle Lösungen der Gleichung von Klein-Gordon Lösungen der Gleichung von Dirac sind. Es ist beachtenswert, dass die Gleichung von Klein-Gordon der Gleichung von Proca sehr ähnlich ist.

Relativistische freie Partikel-Lösung

Die Gleichung von Klein-Gordon für eine freie Partikel kann als geschrieben werden

:

\mathbf {\\nabla} ^2\psi-\frac {1} {c^2 }\\frac {\\partial^2} {\\teilweiser t^2 }\\psi

\frac {m^2c^2} {\\hbar^2 }\\psi

</Mathematik>

mit derselben Lösung wie im nichtrelativistischen Fall:

:

\psi (\mathbf {r}, t) = e^ {ich (\mathbf {k }\\cdot\mathbf {r}-\omega t) }\

</Mathematik>

außer mit der Einschränkung, die als die Streuungsbeziehung bekannt ist:

:

- K^2 +\frac {\\omega^2} {c^2} = \frac {m^2c^2} {\\hbar^2}.

</Mathematik>

Ebenso mit der nichtrelativistischen Partikel haben wir für die Energie und den Schwung:

:

\langle\mathbf {p }\\rangle =\left\langle \psi \left |-i\hbar\mathbf {\\nabla }\\Recht |\psi\right\rangle = \hbar\mathbf {k},

</Mathematik>:

\langle E\rangle =\left\langle \psi \left|i\hbar\frac {\\teilweise} {\\teilweiser t }\\Recht |\psi\right\rangle = \hbar\omega.

</Mathematik>

Außer dass jetzt, wenn wir für k und ω und Ersatz in die Einschränkungsgleichung lösen, wir die Beziehung zwischen Energie und Schwung für relativistische massive Partikeln wieder erlangen:

:

\langle E \rangle^2=m^2c^4 +\langle \mathbf {p} \rangle^2c^2.

</Mathematik>

Für massless Partikeln können wir M = 0 in den obengenannten Gleichungen setzen. Wir erlangen dann die Beziehung zwischen Energie und Schwung für massless Partikeln wieder:

:

\langle E \rangle =\langle | \mathbf {p} | \rangle c.

</Mathematik>

Handlung

Die Gleichung von Klein-Gordon kann auch aus der folgenden Handlung abgeleitet werden

:

wo das Feld von Klein-Gordon ist und seine Masse ist. Der Komplex, der dessen verbunden ist, wird geschrieben, Wenn das Skalarfeld genommen wird, um, dann reellwertig

zu sein

Davon können wir den Betonungsenergie-Tensor des Skalarfeldes ableiten. Es ist

:

Elektromagnetische Wechselwirkung

Es gibt eine einfache Weise, jedes Feld mit Elektromagnetismus in einem Maß invariant Weg aufeinander wirken zu lassen: Ersetzen Sie die abgeleiteten Maschinenbediener durch das Maß kovariante abgeleitete Maschinenbediener. Die Gleichung von Klein Gordon wird:

::

D_\mu D^\\mu \phi = - (\partial_t - d. h. A_0) ^2 \phi + (\partial_i - d. h. A_i) ^2 \phi = M^2 \phi

\</Mathematik>

in natürlichen Einheiten, wo A das Vektor-Potenzial ist. Während es möglich ist, viele höhere Ordnungsbegriffe, zum Beispiel, hinzuzufügen

::

D_\mu D^\\mu\phi + ein F^ {\\mu\nu} D_\mu \phi D_\nu (D_\alpha D^\\Alpha \phi) =0

\</Mathematik>

diese Begriffe sind nicht renormalizable in 3+1 Dimensionen.

Die Feldgleichung für ein beladenes Skalarfeld multipliziert durch mich, was bedeutet, dass das Feld kompliziert sein muss. In der Größenordnung von einem zu beladenden Feld muss es zwei Bestandteile haben, die in einander, die echten und imaginären Teile rotieren können.

Die Handlung für einen beladenen Skalar ist die kovariante Version der unbeladenen Handlung:

::

S = \int_x (\partial_\mu \phi^* + d. h. A_\mu \phi^*) (\partial_\nu \phi - d. h. A_\nu\phi) \eta^ {\\mu\nu} = \int_x |D \phi |^2

\</Mathematik>

Gravitationswechselwirkung

In der allgemeinen Relativität schließen wir die Wirkung des Ernstes ein, und die Gleichung von Klein-Gordon wird

:

oder gleichwertig

:

\begin {Reihe} {rl }\

0 & = - g^ {\\mu \nu} \nabla_ {\\mu} \nabla_ {\\nu} \psi + \dfrac {m^2 c^2} {\\hbar^2} \psi \\

& = - g^ {\\mu \nu} \partial_ {\\mu} \partial_ {\\nu} \psi

+ g^ {\\mu \nu} \Gamma^ {\\Sigma} {} _ {\\mu \nu} \partial_ {\\Sigma} \psi

+ \dfrac {m^2 c^2} {\\hbar^2} \psi

\end {ordnen }\

</Mathematik>

wo das Gegenstück des metrischen Tensor ist, der das potenzielle Gravitationsfeld ist, ist die Determinante des metrischen Tensor,

ist die kovariante Ableitung und ist das Symbol von Christoffel, das das Gravitationskraft-Feld ist.

Siehe auch

• Gleichung von Dirac
• Rarita-Schwinger Gleichung
• Quant-Feldtheorie
• Skalarfeldtheorie

Links

• Geradlinige Gleichung von Klein-Gordon an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.
• Nichtlineare Gleichung von Klein-Gordon an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.