Geradlinige Interpolation ist eine Methode der Kurve-Anprobe mit geradlinigen Polynomen. Lerp ist eine Abkürzung für die geradlinige Interpolation, die auch als ein Verb verwendet werden kann.

Geradlinige Interpolation zwischen zwei bekannten Punkten

Wenn die zwei bekannten Punkte durch die Koordinaten gegeben werden, und der geradlinige interpolant ist die Gerade zwischen diesen Punkten. Für einen Wert x im Zwischenraum wird der Wert y entlang der Gerade von der Gleichung gegeben

der geometrisch von der Zahl rechts abgeleitet werden kann. Es ist ein spezieller Fall der polynomischen Interpolation mit n = 1.

Das Lösen dieser Gleichung für y, der der unbekannte Wert an x ist, gibt

der die Formel für die geradlinige Interpolation im Zwischenraum ist. Außerhalb dieses Zwischenraums ist die Formel zur geradlinigen Extrapolation identisch.

Diese Formel kann auch als ein gewogener Mittelwert verstanden werden. Die Gewichte sind umgekehrt mit der Entfernung von den Endpunkten bis den unbekannten Punkt verbunden; der nähere Punkt hat mehr Einfluss als der weitere Punkt. So sind die Gewichte und, die normalisierte Entfernungen zwischen dem unbekannten Punkt und jedem der Endpunkte sind.

Interpolation einer Datei

Die geradlinige Interpolation auf einer Reihe von Datenpunkten (x, y), (x, y)..., (x, y) wird als die Verkettung von geradlinigem interpolants zwischen jedem Paar von Datenpunkten definiert. Das läuft auf eine dauernde Kurve mit einer diskontinuierlichen Ableitung (im Allgemeinen) so der differentiability Klasse hinaus.

Geradlinige Interpolation als Annäherung

Geradlinige Interpolation wird häufig verwendet, um einem Wert etwas Funktion f das Verwenden zwei bekannter Werte dieser Funktion an anderen Punkten näher zu kommen. Der Fehler dieser Annäherung wird als definiert

wo p das geradlinige über definierte Interpolationspolynom anzeigt

Es kann mit dem Lehrsatz von Rolle bewiesen werden, dass, wenn f eine dauernde zweite Ableitung hat, der Fehler durch begrenzt wird

Wie Sie sehen, wird die Annäherung zwischen zwei Punkten auf einer gegebenen Funktion schlechter mit der zweiten Ableitung der Funktion, der näher gekommen wird. Das ist ebenso intuitiv richtig: Je "kurvenreicher" die Funktion ist, desto schlechter die Annäherungen mit der einfachen geradlinigen Interpolation gemacht haben.

Anwendungen

Geradlinige Interpolation wird häufig verwendet, um die Lücken in einem Tisch zu schließen. Nehmen Sie an, dass man einen Tisch hat, der die Bevölkerung von einem Land 1970, 1980, 1990 und 2000 verzeichnet, und dass ein die Bevölkerung 1994 hat schätzen wollen. Geradlinige Interpolation ist eine leichte Weise, das zu tun.

Die grundlegende Operation der geradlinigen Interpolation zwischen zwei Werten wird in der Computergrafik so allgemein verwendet, dass es manchmal einen lerp im Jargon dieses Feldes genannt wird. Der Begriff kann als ein Verb oder Substantiv für die Operation gebraucht werden. z.B "der Algorithmus von Bresenham lerps zusätzlich zwischen den zwei Endpunkten der Linie."

Operationen von Lerp werden in die Hardware aller modernen Computergrafik-Verarbeiter eingebaut. Sie werden häufig als Bausteine für kompliziertere Operationen verwendet: Zum Beispiel kann eine bilineare Interpolation in zwei lerps vollbracht werden. Weil diese Operation preiswert ist, ist es auch eine gute Weise, genaue Nachschlagetabellen mit schnellem lookup für glatte Funktionen durchzuführen, ohne zu viele Tabelleneinträge zu haben.

Erweiterungen

Genauigkeit

Wenn eine C-Funktion zum Beispiel ungenügend ist, wenn der Prozess, der die Datenpunkte erzeugt hat, bekannt ist, sind glatter als C, es ist üblich, geradlinige Interpolation durch die Fugenbrett-Interpolation oder sogar polynomische Interpolation in einigen Fällen zu ersetzen.

Multivariate

Geradlinige Interpolation, wie beschrieben, ist hier für Datenpunkte in einer Raumdimension. Für zwei Raumdimensionen wird die Erweiterung der geradlinigen Interpolation bilineare Interpolation, und in drei Dimensionen, trilinear Interpolation genannt. Bemerken Sie aber, dass diese interpolants nicht mehr geradlinige Funktionen der Raumkoordinaten, eher Produkte von geradlinigen Funktionen sind; das wird durch das klar nichtlineare Beispiel der bilinearen Interpolation in der Zahl unten illustriert. Andere Erweiterungen der geradlinigen Interpolation können auf andere Arten des Ineinandergreifens wie dreieckiges und vierflächiges Ineinandergreifen einschließlich Oberflächen von Bézier angewandt werden. Diese können als tatsächlich höhere dimensionale piecewise geradlinige Funktion definiert werden (sieh die zweite Zahl unten).

Geschichte

Geradlinige Interpolation ist seit der Altertümlichkeit verwendet worden, für die Lücken in Tischen häufig mit astronomischen Daten zu schließen. Es wird geglaubt, dass es von babylonischen Astronomen und Mathematikern in Seleucid Mesopotamia (letzte drei Jahrhunderte v. Chr.), und vom griechischen Astronomen und Mathematiker, Hipparchus (das 2. Jahrhundert v. Chr.) verwendet wurde. Eine Beschreibung der geradlinigen Interpolation kann in Almagest (das 2. Jahrhundert n.Chr.) von Ptolemy gefunden werden.

Siehe auch

• Bilineare Interpolation
• Fugenbrett-Interpolation
• Polynomische Interpolation
• der Algorithmus von de Casteljau
• Erste Ordnung hält
• .

Links

• Gleichungen der Gerade an der Knoten-Kürzung
• Das Einführen geradliniger Interpolation in Microsoft Excel