Der Lehrsatz von Bézout ist eine Behauptung in der algebraischen Geometrie bezüglich der Zahl von allgemeinen Punkten oder Kreuzungspunkten, von zwei Flugzeug algebraische Kurven. Der Lehrsatz behauptet, dass die Zahl von allgemeinen Punkten von zwei solchen Kurven X und Y dem Produkt ihrer Grade gleich ist. Diese Behauptung muss auf mehrere wichtige Weisen, durch das Betrachten von Punkten an der Unendlichkeit, das Erlauben komplizierter Koordinaten (oder mehr allgemein, Koordinaten vom algebraischen Verschluss des Boden-Feldes), das Zuweisen einer passenden Vielfältigkeit jedem Kreuzungspunkt qualifiziert werden, und eines degenerierten Falls ausschließend, wenn X und Y einen allgemeinen Bestandteil haben. Ein einfacherer spezieller Fall ist dass wenn X und

Y sind sowohl echte oder komplizierte nicht zu vereinfachende Kurven, X hat Grad M als auch Y haben Grad n dann die Zahl von Kreuzungspunkten überschreitet mn nicht.

Mehr allgemein ist die Zahl von Punkten in der Kreuzung von 3 algebraischen Oberflächen im projektiven Raum, Vielfältigkeit, das Produkt der Grade der Gleichungen der Oberflächen und so weiter aufzählend.

Strenge Behauptung

Nehmen Sie an, dass X und Y zwei Flugzeug projektive über Feld F definierte Kurven sind, die keinen allgemeinen Bestandteil haben (diese Bedingung ist wahr, wenn sowohl X als auch Y durch verschiedene nicht zu vereinfachende Polynome definiert werden, insbesondere hält es für ein Paar von "allgemeinen" Kurven). Dann ist die Gesamtzahl von Kreuzungspunkten X und Y mit Koordinaten in einem algebraisch geschlossenen Feld E, das F enthält, der mit ihrer Vielfältigkeit aufgezählt ist, dem Produkt der Grade X und Y gleich.

Geschichte

Der Lehrsatz von Bezout wurde im Wesentlichen von Isaac Newton in seinem Beweis des Lemmas 28 des Bands 1 seines Principia festgesetzt, wo er behauptet, dass zwei Kurven mehrere Kreuzungspunkte durch das Produkt ihrer Grade geben ließen. Der Lehrsatz wurde später 1779 im Théorie générale des équations algébriques von Étienne Bézout veröffentlicht. Bézout, der über modernes algebraisches System für Gleichungen in mehreren Variablen nicht verfügt hat, hat einen Beweis gegeben, der auf Manipulationen mit beschwerlichen algebraischen Ausdrücken gestützt ist. Aus dem modernen Gesichtspunkt war die Behandlung von Bézout ziemlich heuristisch, seitdem er die genauen Bedingungen für den Lehrsatz nicht formuliert hat, um zu halten. Das hat zu einem Gefühl geführt, das von bestimmten Autoren ausgedrückt ist, dass sein Beweis weder richtig war noch der erste zu gebende Beweis.

Kreuzungsvielfältigkeit

Der feinste Teil des Lehrsatzes von Bézout und seiner Generalisation zum Fall von k algebraischen Hyperoberflächen im k-dimensional projektiven Raum ist das Verfahren, die richtige Kreuzungsvielfältigkeit zuzuteilen. Wenn P ein allgemeiner Punkt von zwei Flugzeug algebraische Kurven X und Y ist, der ein nichtsingulärer Punkt von ihnen beiden ist und außerdem die Tangente-Linien zu X und Y an P dann verschieden sind, ist die Kreuzungsvielfältigkeit diejenige. Das entspricht dem Fall "transversal Kreuzung". Wenn die Kurven X und Y eine allgemeine Tangente an P dann haben, ist die Vielfältigkeit mindestens zwei. Sieh Kreuzungszahl für die Definition im Allgemeinen.

Beispiele

• Zwei verschiedene nichtparallele Linien treffen sich immer in genau einem Punkt. Zwei parallele Linien schneiden sich an einem einzigartigen Punkt, der an der Unendlichkeit liegt. Um zu sehen, wie das algebraisch im projektiven Raum arbeitet, werden die Linien x+2y=3 und x+2y=5 durch die homogenen Gleichungen x+2y-3z=0 und x+2y-5z=0 vertreten. Das Lösen, wir bekommen x =-2y und z=0, entsprechend dem Punkt (-2:1:0) in homogenen Koordinaten. Da die Z-Koordinate 0 ist, liegt dieser Punkt auf der Linie an der Unendlichkeit.
• Der spezielle Fall, wo eine der Kurven eine Linie ist, kann aus dem Hauptsatz der Algebra abgeleitet werden. In diesem Fall stellt der Lehrsatz fest, dass eine algebraische Kurve des Grads n eine gegebene Linie in N-Punkten durchschneidet, die Vielfältigkeit aufzählend. Zum Beispiel hat die Parabel, die durch y - x = 0 definiert ist, Grad 2; die Linie y − Axt = 0 hat Grad 1, und sie treffen sich in genau zwei Punkten, wenn ein  0 und im Ursprung anlegt (schneiden Sie sich mit der Vielfältigkeit zwei), wenn = 0.
• Zwei konische Abteilungen schneiden sich allgemein in vier Punkten, von denen einige zusammenfallen können. Um für alle Kreuzungspunkte richtig verantwortlich zu sein, kann es notwendig sein, komplizierte Koordinaten zu erlauben und die Punkte auf der unendlichen Linie im projektiven Flugzeug einzuschließen. Zum Beispiel:

:*Two-Kreise schneiden sich nie in mehr als zwei Punkten im Flugzeug, während der Lehrsatz von Bézout vier voraussagt. Die Diskrepanz kommt aus der Tatsache, dass jeder Kreis dieselben zwei komplizierten Punkte auf der Linie an der Unendlichkeit durchführt. Das Schreiben des Kreises

::

:in homogene Koordinaten, wir bekommen

:from, der es klar ist, dass die zwei Punkte (1:i:0) und (1:-i:0) auf jedem Kreis liegen. Wenn sich zwei Kreise überhaupt im echten Flugzeug nicht treffen (zum Beispiel, weil sie konzentrisch sind), treffen sie sich an diesen zwei Punkten auf der Linie an der Unendlichkeit und zwei anderen komplizierten Punkten, die an der Unendlichkeit nicht liegen.

Konischer:*Any sollte die Linie an der Unendlichkeit an zwei Punkten gemäß dem Lehrsatz entsprechen. Eine Hyperbel entspricht es an zwei echten Punkten entsprechend den zwei Richtungen der Asymptoten. Eine Ellipse entspricht es an zwei komplizierten Punkten, die zu einander---im Fall von einem Kreis, die Punkte (1:i:0) und (1:-i:0) verbunden sind. Eine Parabel entspricht es an nur einem Punkt, aber es ist ein Punkt von tangency und zählt deshalb zweimal.

:*The im Anschluss an Bilder zeigen Beispiele, in denen der Kreis x+y-1=0 eine andere Ellipse in weniger Kreuzungspunkten entspricht, weil mindestens ein von ihnen Vielfältigkeit haben, die größer ist als 1:

Skizze des Beweises

Schreiben Sie die Gleichungen für X und Y in homogenen Koordinaten als

wo a und b homogene Polynome des Grads i in x und y sind. Die Punkte der Kreuzung X und Y entsprechen den Lösungen des Gleichungssystems. Bilden Sie die Matrix von Sylvester; im Fall m=4, n=3 das ist

a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 & 0 \\

0 & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 \\

0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\

b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 & 0 & 0 \\

0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 & 0 \\

0 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 \\

0 & 0 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \\

\end {pmatrix}. </Mathematik>

Die Determinante von S, das Endergebnis der zwei Polynome, ist 0 genau, wenn die zwei Gleichungen eine allgemeine Lösung in z haben. Die Begriffe von |S, zum Beispiel (a) (b), haben alle Grad mn, so ist |S ein homogenes Polynom des Grads mn in x und y (rufen Sie zurück, dass a und b selbst Polynome sind). Durch den Hauptsatz der Algebra kann das factored in mn geradlinige Faktoren sein, also gibt es mn Lösungen des Gleichungssystems. Die geradlinigen Faktoren entsprechen den Linien, die sich dem Ursprung mit den Punkten der Kreuzung der Kurven anschließen.

Siehe auch

• AF+BG Lehrsatz

Referenzen

• Alternative Übersetzung früher (der 2.) Ausgabe des Principia des Newtons.
• (Generalisation des Lehrsatzes)

Links

• Der Lehrsatz von Bezout an MathPages