In der abstrakten Algebra ist ein innerer automorphism eine Funktion

der informell eine bestimmte Operation einschließt, die, dann eine andere Operation (gezeigt als x unten) wird anwendet, und dann die anfängliche Operation durchgeführt zu werden, die wird umkehrt. Manchmal ändern sich die anfängliche Handlung und seine nachfolgende Umkehrung das Gesamtergebnis ("erheben Regenschirm, gehen Sie durch den Regen spazieren, niedrigerer Regenschirm" hat ein verschiedenes Ergebnis gerade "Spaziergang durch den Regen"), und manchmal tun sie nicht ("nehmen verlassenen Handschuh weg, nehmen richtigen Handschuh weg, ziehen linken Handschuh an" hat dieselbe Wirkung, wie gerade "richtigen Handschuh" wegnehmen).

Mehr formell ist ein innerer automorphism einer Gruppe G eine Funktion:

: ƒ: G → G

definiert durch

: (X) ƒ = axa, für den ganzen x in G,

wo eines gegebenen zu sein, Element von G befestigt hat.

Die Operation axa wird Konjugation genannt (sieh auch conjugacy Klasse).

Tatsächlich

:axa = x

zum Ausspruch gleichwertig

:ax = xa.

Deshalb sind die Existenz und Zahl von inneren automorphisms, die nicht die kartografisch darstellende Identität sind, eine Art Maß des Misserfolgs des Ersatzgesetzes in der Gruppe.

Notation

Der Ausdruck axa wird häufig exponential durch x angezeigt. Diese Notation wird verwendet, weil wir die Regel haben (x

Eigenschaften

Jeder innere automorphism ist tatsächlich ein automorphism der Gruppe G, d. h. es ist eine bijektive Karte von G bis G, und es ist ein Homomorphismus; die Bedeutung (xy) = xy.

Innere und automorphism Außengruppen

Die Zusammensetzung von zwei inneren automorphisms ist wieder ein innerer automorphism (wie oben erwähnt: (X) ist =x, und mit dieser Operation, der Sammlung des ganzen inneren automorphisms von G selbst eine Gruppe, die innere automorphism Gruppe von G hat Gasthof (G) angezeigt.

Gasthof (G) ist eine normale Untergruppe der vollen automorphism Gruppe Aut (G) von G. Die Quotient-Gruppe

:Aut (G) das//Inn (G)

ist als die automorphism Außengruppe (G) bekannt. Die automorphism Außengruppenmaßnahmen, gewissermaßen, wie viele automorphisms von G nicht inner sind. Jeder nichtinnere automorphism gibt ein nichttriviales Element (G) nach, aber verschiedener nichtinnerer automorphisms kann dasselbe Element (G) nachgeben.

man das Element in G mit den inneren automorphism (x) ƒ = x im Gasthof (G) als oben vereinigt, erhält man einen Isomorphismus zwischen der Quotient-Gruppe G/Z (G) (wo Z (G) das Zentrum von G) und der inneren automorphism Gruppe ist:

:G/Z (G) = Gasthof (G).

Das ist eine Folge des ersten Isomorphismus-Lehrsatzes, weil Z (G) genau der Satz jener Elemente von G ist, die die Identität geben, die als entsprechender innerer automorphism kartografisch darstellt (Konjugation ändert nichts).

Nichtinnerer automorphisms von begrenzten P-Gruppen

Ein Ergebnis von Wolfgang Gaschütz sagt dass, wenn G eine begrenzte non-abelian P-Gruppe ist, dann hat G einen automorphism der P-Macht-Ordnung, die nicht inner ist.

Es ist ein offenes Problem, ob jede non-abelian P-Gruppe G einen automorphism des Auftrags p hat.

Die letzte Frage hat positive Antwort, wann auch immer G eine der folgenden Bedingungen hat:

1. G ist nilpotent der Klasse 2
2. G ist eine regelmäßige P-Gruppe
3. Der centralizer C (Z ((G))) in G des Zentrums der Untergruppe von Frattini (G) G ist (G) nicht gleich
4. G/Z (G) ist eine mächtige P-Gruppe

Typen von Gruppen

Hieraus folgt dass der Gruppengasthof (G) inneren automorphisms selbst trivial ist (d. h. nur aus dem Identitätselement besteht), wenn, und nur wenn G abelian ist.

Gasthof (G) kann nur eine zyklische Gruppe sein, wenn es durch ein grundlegendes Ergebnis auf dem Zentrum einer Gruppe trivial ist.

Am entgegengesetzten Ende des Spektrums ist es möglich, dass die inneren automorphisms die komplette automorphism Gruppe erschöpfen; eine Gruppe, deren automorphisms alle inner sind, wird abgeschlossen genannt.

Wenn die innere automorphism Gruppe einer vollkommenen Gruppe G einfach ist, dann wird G quasieinfach genannt.

Ringfall

In Anbetracht eines Rings R und einer Einheit u in R ist die Karte (x) ƒ = uxu ein Ring automorphism von R. Der Ring automorphisms dieser Form wird inneren automorphisms von R genannt. Sie bilden eine normale Untergruppe der automorphism Gruppe von R.

Lügen Sie Algebra-Fall

Ein automorphism einer Lüge-Algebra wird einen inneren automorphism genannt, wenn es von der Form Ad ist, wo Ad die Adjoint-Karte ist und g ein Element einer Lüge-Gruppe ist, deren Liegen, ist Algebra. Der Begriff von innerem automorphism für Lüge-Algebra ist mit dem Begriff für Gruppen im Sinn vereinbar, dass ein innerer automorphism einer Lüge-Gruppe einen einzigartigen inneren automorphism der entsprechenden Lüge-Algebra veranlasst.

Erweiterung

Wenn G als die Gruppe von Einheiten eines Rings A entsteht, dann kann ein innerer automorphism auf G zu einem projectivity auf dem projektiven Raum über durch die umkehrende Ringgeometrie erweitert werden. Insbesondere der innere automorphisms der klassischen geradlinigen Gruppen kann so erweitert werden.