In der Mathematik, für eine gegebene komplizierte Matrix von Hermitian und Nichtnullvektoren, den Quotienten von Rayleigh, wird als definiert:

:

Für echten matrices und Vektoren nimmt die Bedingung, Hermitian zu sein, zu diesem ab, symmetrisch zu sein, und die verbundenen stellen zum üblichen um stellen um. Bemerken Sie das für jeden echten Skalar. Rufen Sie zurück, dass Hermitian (oder echt symmetrisch) Matrix echten eigenvalues hat. Es kann gezeigt werden, dass, für eine gegebene Matrix, der Quotient von Rayleigh seinen minimalen Wert erreicht (der kleinste eigenvalue), wenn (der entsprechende Eigenvektor) ist. Ähnlich und. Der Rayleigh Quotient wird im Lehrsatz der Minute-max verwendet, um genaue Werte des ganzen eigenvalues zu bekommen. Es wird auch in eigenvalue Algorithmen verwendet, um eine eigenvalue Annäherung von einer Eigenvektor-Annäherung zu erhalten. Spezifisch ist das die Basis für die Quotient-Wiederholung von Rayleigh.

Die Reihe des Quotienten von Rayleigh wird eine numerische Reihe genannt.

Spezieller Fall der Kovarianz matrices

Eine Kovarianz-Matrix M kann als das Produkt vertreten werden. Seine eigenvalues sind positiv:

::::

Die Eigenvektoren sind zu einander orthogonal:

:::::

: (verschiedener eigenvalues, im Falle der Vielfältigkeit, kann die Basis orthogonalized sein).

Der Rayleigh Quotient kann als eine Funktion des eigenvalues durch das Zerlegen jedes Vektoren auf der Grundlage von Eigenvektoren ausgedrückt werden:

:, wo die Koordinate von auf orthogonal geplantem x ist

::

der, durch orthogonality der Eigenvektoren, wird:

:</Mathematik>

In der letzten Darstellung können wir sehen, dass der Quotient von Rayleigh die Summe der karierten Kosinus der Winkel ist, die durch den Vektoren x und jeden Eigenvektoren gebildet sind, der durch entsprechenden eigenvalues beschwert ist.

Wenn ein Vektor maximiert, dann maximiert jeder Vektor (dafür) ihn auch, man kann auf das Problem von Lagrange der Maximierung unter der Einschränkung das reduzieren.

Da alle eigenvalues nichtnegativ sind, ist das Problem konvex, und das Maximum kommt an den Rändern des Gebiets nämlich vor, wenn und (wenn die eigenvalues im abnehmenden Umfang bestellt werden).

Wechselweise kann dieses Ergebnis durch die Methode von Vermehrern von Lagrange erreicht werden. Das Problem ist, die kritischen Punkte der Funktion zu finden

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unterwerfen Sie der Einschränkung

D. h. die kritischen Punkte von zu finden

:

wo ein Vermehrer von Lagrange ist. Die stationären Punkte dessen kommen an vor

:::

und

Deshalb sind die Eigenvektoren der M die kritischen Punkte des Rayleigh Quotienten, und ihre entsprechenden eigenvalues sind die stationären Werte von R.

Dieses Eigentum ist die Basis für die Hauptteilanalyse und kanonische Korrelation.

Verwenden Sie in der Sturm-Liouville Theorie

Sturm-Liouville Theorie betrifft die Handlung des geradlinigen Maschinenbedieners

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auf dem durch definierten Skalarprodukt-Raum

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Funktionen, die einige angegebene Grenzbedingungen an a und b befriedigen. In diesem Fall ist der Quotient von Rayleigh

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Das wird manchmal in einer gleichwertigen Form präsentiert, die durch das Trennen des Integrals im Zähler und das Verwenden der Integration durch Teile erhalten ist:

:::

Generalisation

Für ein gegebenes Paar von echtem symmetrischem positiv-bestimmtem matrices und einen gegebenen Nichtnullvektoren wird der verallgemeinerte Quotient von Rayleigh als definiert:

:

Der Verallgemeinerte Rayleigh Quotient kann auf den Rayleigh Quotienten durch die Transformation reduziert werden, wo die Zergliederung von Cholesky der Matrix ist.

Siehe auch

• Feld von Werten

Weiterführende Literatur

• Shi Yu, Léon-Charles Tranchevent, Baronet-Maure, Yves Moreau, Kernbasierte Datenfusion für die Maschine, die Erfährt: Methoden und Anwendungen in Bioinformatics und Textbergwerk, Ch. 2, Springer, 2011.