In der Mathematik, in der besonderen abstrakten Algebra, ist eine abgestufte Algebra eine Algebra über ein Feld (oder, mehr allgemein über einen Ersatzring) mit einer Extraschicht der Struktur, die als ein schrittweiser Übergang bekannt ist (oder sortierend).

Das Sortieren ist eine Zergliederung der direkten Summe der Algebra in Module, die durch einen monoid mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind, solch, dass das Produkt von zwei Elementen, die zwei summands des Sortierens gehören, auf ein Element auf den durch die Summe der Indizes mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen summand hinausläuft. Der monoid ist häufig der Satz der natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Hinzufügung, aber es kann jeder monoid sein. Zum Beispiel sortiert eine begrenzte Gruppe seine eigene Gruppenalgebra.

Der Begriff abgestufter Ring wird manchmal für das analoge Sortieren eines Rings gebraucht. Ein abgestufter Ring konnte auch als eine abgestufte Z-Algebra angesehen werden.

Der Begriff eines abgestuften Moduls ist die Generalisation von abgestuften Vektorräumen.

Abgestufter Ring

Ein abgestufter Ring A ist ein Ring, der eine Zergliederung der direkten Summe in (abelian) zusätzliche Gruppen hat

:

solch, dass die Ringmultiplikation befriedigt

:

und so

:

Elemente dessen sind als homogene Elemente des Grads n bekannt. Ein Ideal oder andere Teilmenge  A sind wenn für jedes Element ein , die homogenen Teile homogen, auch enthalten in zu sein

Wenn ich ein homogenes Ideal in A bin, dann auch ein abgestufter Ring bin, und Zergliederung habe

:

Jeder (nichtabgestufte) Ring A kann ein schrittweiser Übergang durch das Lassen = A, und = 0 für i> 0 gegeben werden. Das wird den trivialen schrittweisen Übergang auf A genannt.

Abgestuftes Modul

Die entsprechende Idee in der Modul-Theorie ist die eines abgestuften Moduls, nämlich ein linkes Modul M über einen abgestuften Ring Ein solcher dass auch

:

und

:

Abgestufte Module können über nichtabgestufte Ringe durch das Geben des trivialen schrittweisen Übergangs dem Ring betrachtet werden. Das erlaubt, eine Folge von Modulen als ein einzelnes abgestuftes Modul zu betrachten. Das wird in der homological Algebra verwendet, um zu Kettenkomplexen einige Modul-Aufbauten wie direkte Summe oder Tensor-Produkt zu erweitern.

Abgestufte Algebra

Eine Algebra über einen Ring R ist eine abgestufte Algebra, wenn sie als ein Ring sortiert wird.

Im üblichen Fall, wo der Ring R nicht sortiert wird (insbesondere, wenn R ein Feld ist) wird er das triviale Sortieren gegeben (jedes Element von "R" ist vom Rang 0). So sind RA und der A R Module.

Im Fall, wo der Ring R auch ein abgestufter Ring dann ist, verlangt man das

:und:

Beispiele von abgestuften Algebra sind in der Mathematik üblich:

• Polynomische Ringe. Die homogenen Elemente des Grads n sind genau die homogenen Polynome des Grads n.
• Das Tensor-Algebra-Fernsehen eines Vektorraums V. Die homogenen Elemente des Grads n sind der Tensor der Reihe n, des Fernsehens.
• Die Außenalgebra ΛV und symmetrische Algebra SV sind auch sortierte Algebra.
• Die cohomology klingeln H in jeder cohomology Theorie wird auch sortiert, die direkte Summe des H seiend.

Abgestufte Algebra werden sehr in der Ersatzalgebra und algebraischen Geometrie, homological Algebra und algebraische Topologie verwendet. Ein Beispiel ist die nahe Beziehung zwischen homogenen Polynomen und projektiven Varianten.

G-graded Ringe und Algebra

Über Definitionen sind zum Gradings-Ring mit jedem monoid G als ein Index-Satz verallgemeinert worden. Ein G-Graded-Ring' A ist ein Ring mit einer Zergliederung der direkten Summe

:

solch dass

:

Der Begriff des "abgestuften Rings" wird jetzt dasselbe Ding wie ein N-Graded-Ring, wo N der monoid von natürlichen Zahlen unter der Hinzufügung ist. Die Definitionen für abgestufte Module und Algebra können auch erweitert werden diese Weise, das Indexieren zu ersetzen, hat N mit jedem monoid G gesetzt.

Bemerkungen:

• Wenn wir nicht verlangen, dass der Ring ein Identitätselement hat, können Halbgruppen monoids ersetzen.

Beispiele:

• Eine Gruppe sortiert natürlich den entsprechenden Gruppenring; ähnlich werden Monoid-Ringe durch den entsprechenden monoid sortiert.
• Eine Superalgebra ist ein anderer Begriff für eine Z-graded Algebra. Beispiele schließen Algebra von Clifford ein. Hier sind die homogenen Elemente entweder des Grads 0 (sogar) oder 1 (seltsam).

Anticommutativity

Einige abgestufte Ringe (oder Algebra) sind mit einer Antiersatzstruktur ausgestattet. Dieser Begriff verlangt, dass der Gebrauch eines Halbrings den schrittweisen Übergang aber nicht einen monoid liefert. Spezifisch besteht ein unterzeichneter Halbring aus einem Paar (Γ, ε), wo Γ ein Halbring und ε ist: Γ  Z/2Z ist ein Homomorphismus des Zusatzes monoids. Ein Antiersatz-Γ-Graded-Ring ist ein Ring Ein abgestufter in Bezug auf die zusätzliche Struktur auf solchem Γ dass:

:xy = (-1) yx, für alle homogenen Elemente x und y.

Beispiele

• Eine Außenalgebra ist ein Beispiel einer Antiersatzalgebra, die in Bezug auf die Struktur sortiert ist (Z, ε), wo ε der Homomorphismus ist, der durch ε (sogar) = 0, ε gegeben ist (seltsam) = 1.
• Eine Superersatzalgebra (hat manchmal ein Verdrehen - assoziativer Ersatzring genannt), ist dasselbe Ding wie ein antiauswechselbarer (Z/2Z, ε) - sortierte Algebra, wo ε der Identitätsendomorphismus für die zusätzliche Struktur ist.

Siehe auch

• Abgestufter Vektorraum
• Abgestufte Kategorie
• Differenzial hat Algebra sortiert
• Sortiert Liegen Algebra
• Gefilterte Algebra, eine Generalisation
• .
• Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Kapitel 1-3), internationale Standardbuchnummer 978-3-540-64243-5, Kapitel 3, Abschnitt 3.