In der Mathematik ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß eine reellwertige Funktion, die auf einer Reihe von Ereignissen in einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist, der Maß-Eigenschaften wie zählbare Additivität befriedigt. Der Unterschied zwischen einer Wahrscheinlichkeit misst und der allgemeinere Begriff des Maßes (der Konzepte wie Gebiet einschließt oder Volumen) ist, dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß 1 dem kompletten Wahrscheinlichkeitsraum zuteilen muss.

Intuitiv sagt das Additivitätseigentum, dass die Wahrscheinlichkeit, die der Vereinigung von zwei zusammenhanglosen Ereignissen durch das Maß zugeteilt ist, die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse sein sollte, z.B sollte der Wert, der "1 oder 2" in einem Werfen eines Sterbens zugeteilt ist, die Summe der Werte sein, die "1" und "2" zugeteilt sind.

Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen haben Anwendungen in verschiedenen Feldern von der Physik, um zu finanzieren, und Biologie.

Definition

Die Voraussetzungen für eine Funktion, ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Wahrscheinlichkeitsraum zu sein, sind dass:

:* muss zurückkehren läuft auf den Einheitszwischenraum [0, 1] hinaus, 0 für den leeren Satz und 1 für den kompletten Raum zurückkehrend.

:* muss das zählbare Additivitätseigentum befriedigen, die für alle zählbaren Sammlungen von pairwise Sätze auseinander nehmen:

Zum Beispiel, in Anbetracht drei Elemente 1, 2 und 3 mit Wahrscheinlichkeiten 1/4, 1/4 und 1/2, ist der Wert, der {1, 3} zugeteilt ist, 1/4 + 1/2 = 3/4, als im Diagramm rechts.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, die auf der Kreuzung von Ereignissen gestützt ist, definiert als:

befriedigt die Wahrscheinlichkeitsmaß-Voraussetzungen, so lange nicht Null ist.

Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen sind vom allgemeineren Begriff von krausen Maßnahmen verschieden, in denen es keine Voraussetzung gibt, dass die krausen Werte zu 1 summieren, und das zusätzliche Eigentum durch eine auf der Satz-Einschließung gestützte Ordnungsbeziehung ersetzt wird.

Beispiel-Anwendungen

Marktmaßnahmen, die Wahrscheinlichkeiten auf wirklichen Marktbewegungen gestützten Finanzmarkträumen zuteilen, sind Beispiele von Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen, die von Interesse in der mathematischen Finanz z.B in der Preiskalkulation von Finanzableitungen sind. Zum Beispiel ist ein risikoneutrales Maß ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das annimmt, dass der aktuelle Wert des Vermögens der erwartete Wert der zukünftigen an der risikolosen Rate rabattierten Belohnung ist. Wenn es ein einzigartiges Wahrscheinlichkeitsmaß gibt, das an das Preisvermögen auf einem Markt gewöhnt sein muss, dann wird der Markt einen ganzen Markt genannt.

Nicht alle Maßnahmen, die intuitiv Chance oder Wahrscheinlichkeit vertreten, sind Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen. Zum Beispiel, obwohl das grundsätzliche Konzept eines Systems in der statistischen Mechanik ein Maß-Raum ist, sind solche Maßnahmen nicht immer Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen. Im Allgemeinen, in der statistischen Physik, wenn wir in Betracht ziehen, sind Sätze der Form "die Wahrscheinlichkeit eines Systems S das Annehmen des Staates A p" die Geometrie des Systems führt zur Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes unter der Kongruenz nicht immer, obwohl es so im Fall von Systemen mit gerade einem Grad der Freiheit tun kann.

Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen werden auch in der mathematischen Biologie verwendet. Zum Beispiel in der vergleichenden Folge-Analyse kann ein Wahrscheinlichkeitsmaß für die Wahrscheinlichkeit definiert werden, dass eine Variante für eine Aminosäure in einer Folge erlaubt sein kann.

Siehe auch

• Maß von Borel
• Krauses Maß
• Maß von Haar
• Martingal-Maß

Weiterführende Literatur

• Wahrscheinlichkeit und Maß durch Patrick Billingsley, 1995 internationale Standardbuchnummer von John Wiley 978-0-471-00710-4
• Wahrscheinlichkeit & Maß-Theorie von Robert B. Ash, Catherine A. Doléans-Dade 1999 Akademische internationale Pressestandardbuchnummer 0-12-065202-1