In der Mathematik ist ein Spur-Klassenmaschinenbediener ein Kompaktmaschinenbediener, für den eine Spur definiert, solch werden kann, dass die Spur begrenzt und der Wahl der Basis unabhängig ist.

Spur-Klassenmaschinenbediener sind im Wesentlichen dasselbe als Kernmaschinenbediener, obwohl viele Autoren den Begriff "Spur-Klassenmaschinenbediener" für den speziellen Fall von Kernmaschinenbedienern auf Räumen von Hilbert vorbestellen, und Kern-(=trace Klasse) Maschinenbediener für allgemeinere Banachräume vorbestellen.

Definition

Die Definition für matrices nachahmend, wie man sagt, ist ein begrenzter geradliniger Maschinenbediener über einen trennbaren Raum von Hilbert H in der Spur-Klasse wenn für einige (und folglich alle) orthonormale Basen {e} von H die Summe von positiven Begriffen

:ist

begrenzt.

In diesem Fall, die Summe

:ist

absolut konvergent und ist der Wahl der orthonormalen Basis unabhängig. Dieser Wert wird die Spur von A genannt. Wenn H endlich-dimensional ist, ist jeder Maschinenbediener Spur-Klasse, und diese Definition der Spur von A fällt mit der Definition der Spur einer Matrix zusammen.

Durch die Erweiterung, wenn A ein nichtnegativer selbst adjungierter Maschinenbediener ist, können wir auch die Spur als eine verlängerte reelle Zahl durch den definieren

vielleicht auseinander gehende Summe

:

Eigenschaften

Der Lehrsatz von Lidskii

Lassen Sie, ein Spur-Klassenmaschinenbediener in einem trennbaren Raum von Hilbert zu sein, und zu lassen

seien Sie der eigenvalues dessen.

Lassen Sie uns das annehmen

werden mit der algebraischen Vielfältigkeit in Betracht gezogener aufgezählt

(d. h. wenn die algebraische Vielfältigkeit von

ist dann ist

wiederholte Zeiten mit der Liste

).

Der Lehrsatz von Lidskii (genannt nach Victor Borisovich Lidskii) setzt das fest

:

Bemerken Sie, dass die Reihe in der linken Seite absolut zusammenläuft

wegen der Ungleichheit von Weyl

:

zwischen dem eigenvalues

und der

einzigartige Werte

eines Kompaktmaschinenbedieners.

Sieh z.B

Beziehung zwischen einigen Klassen von Maschinenbedienern

Man kann bestimmte Klassen von begrenzten Maschinenbedienern als Nichtersatzentsprechung von klassischen Folge-Räumen, mit Maschinenbedienern der Spur-Klasse als die Nichtersatzentsprechung des Folge-Raums l (N) ansehen. Tatsächlich, den geisterhaften Lehrsatz anwendend, kann jeder normale Maschinenbediener der Spur-Klasse auf einem trennbaren Raum von Hilbert als eine l Folge begriffen werden. In derselben Ader sind die begrenzten Maschinenbediener Nichtersatzversionen von l (N), die Kompaktmaschinenbediener dieser von c (die Folgen, die zu 0 konvergent sind), Maschinenbediener von Hilbert-Schmidt entsprechen l (N), und Maschinenbediener der begrenzten Reihe die Folgen, die nur begrenzt viele Nichtnullbegriffe haben. Einigermaßen sind die Beziehungen zwischen diesen Klassen von Maschinenbedienern den Beziehungen zwischen ihren Ersatzkollegen ähnlich.

Rufen Sie zurück, dass jeder kompakte Maschinenbediener T auf einem Raum von Hilbert die folgende kanonische Form annimmt

:

für einige orthonormale Basen {u} und {v}. Die obengenannten heuristischen Anmerkungen genauer machend, haben wir das T ist Spur-Klasse wenn die Reihe ∑ α ist konvergent, T ist Hilbert-Schmidt wenn ∑ α ist konvergent, und T ist begrenzte Reihe wenn die Folge

{α} hat nur begrenzt viele Nichtnullbegriffe.

Die obengenannte Beschreibung erlaubt, leicht einige Tatsachen zu erhalten, die diese Klassen von Maschinenbedienern verbinden. Zum Beispiel halten die folgenden Einschließungen, und sie sind alle richtig, wenn H dimensional unendlich ist: {Begrenzte Reihe} ⊂ {verfolgen Klasse} ⊂ {Hilbert-Schmidt} ⊂ {kompakt}.

Den Maschinenbedienern der Spur-Klasse wird die Spur-Norm || T = Tr [(T*T)] = &sum gegeben; α. die Norm entsprechend dem Skalarprodukt von Hilbert-Schmidt ist || T = (Tr T*T) = (∑α). Außerdem ist die übliche Maschinenbediener-Norm || T = Mund voll (α). Durch die klassische Ungleichheit bezüglich Folgen,

:

für passenden T.

Es ist auch klar, dass Maschinenbediener der begrenzten Reihe sowohl in der Spur-Klasse als auch in Hilbert-Schmidt in ihren jeweiligen Normen dicht sind.

Spur-Klasse als die Doppel-von Kompaktmaschinenbedienern

Der Doppelraum von c ist l (N). Ähnlich haben wir das der Doppel-von Kompaktmaschinenbedienern, die durch K (H) * angezeigt sind, ist die Maschinenbediener der Spur-Klasse, die durch C angezeigt sind. Das Argument, der wir jetzt Skizze, ist daran für die entsprechenden Folge-Räume erinnernd. Lassen Sie f ∈ K (H) * identifizieren wir f mit dem durch definierten Maschinenbediener T

:

wo S die Reihe ein durch gegebener Maschinenbediener ist

:

Diese Identifizierung arbeitet, weil die Maschinenbediener der begrenzten Reihe in K (H) mit der Norm dicht sind. Falls T ein positiver Maschinenbediener, für jede orthonormale Basis u ist, hat man

:

wo ich der Identitätsmaschinenbediener bin

:

Aber das bedeutet, dass T Spur-Klasse ist. Eine Bitte an die polare Zergliederung erweitert das zum allgemeinen Fall, wo T nicht positiv zu sein braucht.

Ein Begrenzungsargument über Maschinenbediener der begrenzten Reihe zeigt dass || T || = || f ||. So K (H) * ist zu C isometrisch isomorph.

Als die Vordoppel-von begrenzten Maschinenbedienern

Rufen Sie zurück, dass der Doppel-von l (N) l (N) ist. Im gegenwärtigen Zusammenhang ist der Doppel-von Maschinenbedienern der Spur-Klasse C die begrenzten Maschinenbediener B (H). More genau, der Satz C ist ein zweiseitiges Ideal in B (H). So gegeben jeder Maschinenbediener T in B (H), wir können einen dauernden geradlinigen funktionellen &phi definieren; auf durch φ (A) =Tr (DARAN). Diese Ähnlichkeit zwischen Elementen φ des Doppelraums und der begrenzten geradlinigen Maschinenbediener ist ein isometrischer Isomorphismus. Hieraus folgt dass B (H) der Doppelraum dessen ist. Das kann verwendet werden, um weak-* Topologie auf B (H) zu definieren.

Zeichen

1. Dixmier, J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien. Gauthier-Villars.