In der Differenzialgeometrie ist eine Pseudo-Riemannian-Sammelleitung (hat auch eine Semi-Riemannian-Sammelleitung genannt), eine Generalisation einer Sammelleitung von Riemannian. Es ist einer von vielen mathematischen nach Bernhard Riemann genannten Gegenständen. Der Schlüsselunterschied zwischen einer Sammelleitung von Riemannian und einer Pseudo-Riemannian-Sammelleitung ist, dass auf einer Pseudo-Riemannian-Sammelleitung der metrische Tensor nicht positiv-bestimmt zu sein braucht. Stattdessen wird eine schwächere Bedingung der Nichtentartung auferlegt.

Einführung

Sammelleitungen

In der Differenzialgeometrie ist eine Differentiable-Sammelleitung ein Raum, der einem Euklidischen Raum lokal ähnlich ist. In - dimensionaler Euklidischer Raum kann jeder Punkt durch reelle Zahlen angegeben werden. Diese werden die Koordinaten des Punkts genannt.

dimensionale Differentiable-Sammelleitung ist eine Verallgemeinerung - dimensionaler Euklidischer Raum. In einer Sammelleitung kann es nur möglich sein, Koordinaten lokal zu definieren. Das wird durch das Definieren von Koordinatenflecken erreicht: Teilmengen der Sammelleitung, die in - dimensionaler Euklidischer Raum kartografisch dargestellt werden kann.

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Tangente-Räume und metrischer Tensor

Vereinigt mit jedem Punkt in - ist dimensionale Differentiable-Sammelleitung ein (angezeigter) Tangente-Raum. Das ist - dimensionaler Vektorraum, von dessen Elementen als Gleichwertigkeitsklassen von Kurven gedacht werden kann, die den Punkt durchführen.

Ein metrischer Tensor ist eine nichtdegenerierte, glatte, symmetrische, bilineare Karte, die eine reelle Zahl Paaren von Tangente-Vektoren an jedem Tangente-Raum der Sammelleitung zuteilt. Wenn wir den metrischen Tensor dadurch anzeigen, können uns das als ausdrücken

:.

Die Karte ist symmetrisch und so bilinear, wenn Tangente-Vektoren an einem Punkt zur Sammelleitung dann sind, haben wir

für jede reelle Zahl.

Das ist nichtdegenerierte Mittel es gibt keine Nichtnull

: solch das für alle.

Metrische Unterschriften

Für - dimensionale Sammelleitung hat der metrische Tensor (in einem festen Koordinatensystem) eigenvalues. Wenn das metrische dann nichtdegeneriert ist, ist keiner dieser eigenvalues Null. Die Unterschrift des metrischen zeigt die Zahl von positivem und negativem eigenvalues an, diese Menge ist des gewählten Koordinatensystems durch den Starrheitslehrsatz von Sylvester und lokal das Nichtverringern unabhängig.

Wenn das metrische positiven eigenvalues und negativen eigenvalues dann hat, ist die metrische Unterschrift (). Für einen nichtdegenerierten metrischen.

Definition

Eine Pseudo-Riemannian-Sammelleitung ist eine Differentiable-Sammelleitung, die mit einem nichtdegenerierten, glatten, symmetrischen metrischen Tensor ausgestattet ist, der, verschieden von metrischem Riemannian, nicht positiv-bestimmt zu sein braucht, aber nichtdegeneriert sein muss. Solch ein metrisches wird einen pseudo-Riemannian metrischen genannt, und seine Werte können positiv, negativ sein oder Null.

Die Unterschrift eines pseudo-Riemannian metrischen ist (), wo beide und nichtnegativ sind.

Sammelleitung von Lorentzian

Eine Lorentzian-Sammelleitung ist ein wichtiger spezieller Fall einer Pseudo-Riemannian-Sammelleitung, in der die Unterschrift des metrischen (1,  1) ist (oder manchmal (1, 1), sieh Zeichen-Tagung). Solche Metrik wird Metrik von Lorentzian genannt. Sie werden nach dem Physiker Hendrik Lorentz genannt.

Anwendungen in der Physik

Nach Riemannian Sammelleitungen bilden Sammelleitungen von Lorentzian die wichtigste Unterklasse von Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen. Sie sind wegen ihrer physischen Anwendungen auf die Theorie der allgemeinen Relativität wichtig.

Eine Hauptannahme der allgemeinen Relativität ist, dass Raum-Zeit als eine 4-dimensionale Sammelleitung von Lorentzian der Unterschrift (3, 1) oder, gleichwertig, (1, 3) modelliert werden kann. Verschieden von Riemannian-Sammelleitungen mit der positiv-bestimmten Metrik erlaubt eine Unterschrift (1) oder (1, ) Tangente-Vektoren, in den zeitmäßigen, das ungültige oder das raummäßige klassifiziert zu werden (sieh Kausale Struktur).

Eigenschaften von Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen

Da Von euklidischem Raum gedacht werden kann, weil vorbildliche Riemannian, Raum von Minkowski mit der Wohnung vervielfältigen, ist metrischer Minkowski die Mustersammelleitung von Lorentzian. Ebenfalls ist der Musterraum für eine pseudo-Riemannian Sammelleitung der Unterschrift () </Mund voll> mit dem metrischen

Einige grundlegende Lehrsätze der Geometrie von Riemannian können zum pseudo-Riemannian Fall verallgemeinert werden. Insbesondere der Hauptsatz der Geometrie von Riemannian trifft auf Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen ebenso zu. Das erlaubt, von der Verbindung von Levi-Civita auf einer Pseudo-Riemannian-Sammelleitung zusammen mit dem verbundenen Krümmungstensor zu sprechen. Andererseits gibt es viele Lehrsätze in der Geometrie von Riemannian, die im verallgemeinerten Fall nicht halten. Zum Beispiel ist es nicht wahr, dass jede glatte Sammelleitung eine pseudo-Riemannian metrische von einer gegebenen Unterschrift zulässt; es gibt bestimmte topologische Hindernisse. Außerdem erbt eine Subsammelleitung die Struktur einer Pseudo-Riemannian-Sammelleitung nicht immer; zum Beispiel, der metrische Tensor werden Null auf jeder einem Licht ähnlichen Kurve.

Siehe auch

• Raum-Zeit
• Teilweise Hyperbeldifferenzialgleichung
• Kausalitätsbedingungen
• Allgemein hyperbolische Sammelleitung

Referenzen

• G. Vrănceanu & R. Roşca (1976) Einführung in die Relativität und Pseudo-Riemannian Geometrie, Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România.