In der Mathematik, dem Sternmaschinenbediener von Hodge oder Doppel-Hodge ist eine bedeutende geradlinige Karte eingeführt im Allgemeinen von W. V. D. Hodge. Es wird auf der Außenalgebra eines endlich-dimensionalen orientierten Skalarprodukt-Raums definiert.

Dimensionen und Algebra

Der Sternmaschinenbediener von Hodge setzt eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen dem Raum von K-Vektoren und dem Raum von (nk) - Vektoren ein. Das Image eines K-Vektoren unter dieser Ähnlichkeit wird den des K-Vektoren Doppel-Hodge genannt. Der ehemalige Raum, K-Vektoren, hat Dimension

:

während der Letztere Dimension hat

:

und durch die Symmetrie der binomischen Koeffizienten sind diese zwei Dimensionen tatsächlich gleich.

Zwei Vektorräume mit derselben Dimension sind immer isomorph; aber nicht notwendigerweise auf eine natürliche oder kanonische Weise. Die Dualität von Hodge nutzt jedoch in diesem Fall das Skalarprodukt und die Orientierung des Vektorraums aus. Es sucht einen einzigartigen Isomorphismus aus, der deshalb das Muster der binomischen Koeffizienten in der Algebra widerspiegelt. Das veranlasst der Reihe nach ein Skalarprodukt auf dem Raum von K-Vektoren. Die 'natürliche' Definition bedeutet, dass diese Dualitätsbeziehung eine geometrische Rolle in Theorien spielen kann.

Der erste interessante Fall ist auf dem dreidimensionalen Euklidischen Raum V. In diesem Zusammenhang liest die relevante Reihe des Dreiecks des Pascal

:1, 3, 3, 1

und der Hodge Doppelsätze ein Isomorphismus zwischen den zwei Räumen der Dimension 3, die V selbst und der Raum von Keil-Produkten von zwei Vektoren von V sind. Sieh die Beispiel-Abteilung für Details. In diesem Fall ist der Inhalt gerade der des Kreuzproduktes der traditionellen Vektor-Rechnung. Während die Eigenschaften des Kreuzproduktes zu drei Dimensionen speziell sind, ist der Doppel-Hodge in allen Dimensionen verfügbar.

Erweiterungen

Da der Raum, geradlinige Formen in k Argumenten auf einem Vektorraum abwechseln zu lassen, zum Doppel-vom Raum von K-Vektoren über diesen Vektorraum natürlich isomorph ist, kann der Doppel-Hodge für diese Räume ebenso definiert werden. Als mit den meisten Aufbauten von der geradlinigen Algebra kann der Doppel-Hodge dann zu einem Vektor-Bündel erweitert werden. So ist ein Zusammenhang, in dem der Doppel-Hodge sehr häufig gesehen wird, die Außenalgebra des Kotangens-Bündels (d. h. der Raum von Differenzialformen auf einer Sammelleitung), wo es verwendet werden kann, um den codifferential von der Außenableitung, und so den Laplace-de Rham Maschinenbediener zu bauen, der zur Zergliederung von Hodge von Differenzialformen im Fall von Kompaktsammelleitungen von Riemannian führt.

Formelle Definition des Sterns von Hodge von K-Vektoren

Der Sternmaschinenbediener von Hodge auf einem orientierten Skalarprodukt-Raum V ist ein geradliniger Maschinenbediener auf der Außenalgebra V, die Subräume von K-Vektoren und (nk) - Vektoren wo, dafür auswechselnd. Es hat das folgende Eigentum, das es völlig definiert: in Anbetracht zwei K-Formen

:

wo das Skalarprodukt auf K-Formen anzeigt und die Einheitsform des maximalen Grads ist (auch bekannt als Volumen-Form), der der Wahl der orthonormalen Basis beiseite von seiner Orientierung (d. h. Zeichen) unabhängig ist. (Das Skalarprodukt auf K-Formen wird durch das Eigentum definiert, dass K-Vektoren wie Form eine orthonormale Basis - wieder, der von der Wahl der ursprünglichen orthonormalen Basis nicht abhängt.) Muss man beweisen, dass der Maschinenbediener von Hodge bestimmt ist und das unten getan wird.

Berechnung des Sterns von Hodge

In Anbetracht einer orthonormalen Basis sehen wir leicht das

:

wo eine gleiche Versetzung dessen ist.

Dieser Beziehungen, sind natürlich nur unabhängig. Der erste in der üblichen lexikografischen Ordnung liest

:

\wedge e_n. </math>

Index-Notation für den Sternmaschinenbediener

Mit der Index-Notation wird der Doppel-Hodge erhalten, indem er die Indizes einer K-Form mit dem n-dimensional völlig antisymmetrischen Tensor von Levi-Civita zusammenzieht. Das unterscheidet sich vom Symbol von Levi-Civita durch einen Extrafaktor dessen (det g), wo g ein Skalarprodukt ist. (Man verwendet einen absoluten Wert um die Determinante, wenn g z.B für Tangente-Räume zu Sammelleitungen von Lorentzian nicht positiv-bestimmt ist.)

So schreibt man

:

\frac {1} {k!} \eta^ {j_1, \ldots, j_k }\\, \sqrt \, \epsilon_ {j_1, \ldots, j_k, i_1, \ldots, i_ {n-k}} </Mathematik>

wo η ein willkürlicher antisymmetrischer Tensor in k Indizes ist. Es wird verstanden, dass Indizes erhoben werden und das Verwenden desselben Skalarprodukts g wie in der Definition des Tensor von Levi-Civita gesenkt haben. Obwohl man den Stern jedes Tensor nehmen kann, ist das Ergebnis antisymmetrisch, da die symmetrischen Bestandteile des Tensor völlig, wenn zusammengezogen, mit dem völlig antisymmetrischen Symbol von Levi-Civita annullieren.

Beispiele

Ein allgemeines Beispiel des Sternmaschinenbedieners ist der Fall, wenn es als die Ähnlichkeit zwischen den Vektoren und dem Verdrehen - symmetrischer matrices dieser Größe genommen werden kann. Das wird implizit in der Vektor-Rechnung verwendet, um zum Beispiel den Kreuzprodukt-Vektoren vom Keil-Produkt von zwei Vektoren zu schaffen. Spezifisch, für Euklidischen R, findet man leicht das

:und:

und

:

wo dx, dy und dz die normalen orthonormalen unterschiedlichen eine Formen auf R sind. Der Hodge Doppel-verbindet in diesem Fall klar das Kreuzprodukt mit dem Keil-Produkt in drei Dimensionen. Eine ausführliche auf die Differenzialgeometrie nicht eingeschränkte Präsentation wird als nächstes zur Verfügung gestellt.

Dreidimensionales Beispiel

Angewandt auf drei Dimensionen stellt der Doppel-Hodge einen Isomorphismus zwischen axialen Vektoren und bivectors, so jeder axiale Vektor zur Verfügung verbunden mit einem bivector A und umgekehrt zu sein, der ist:

:

wo die Doppeloperation anzeigt. Diese Doppelbeziehungen können mit der Multiplikation durch den Einheitspseudoskalar darin durchgeführt werden, ich = eee (sind die Vektoren eine orthonormale Basis im dreidimensionalen Euklidischen Raum) gemäß den Beziehungen:

:

Der Doppel-von einem Vektoren wird durch die Multiplikation von mir, wie gegründet, das Verwenden der Eigenschaften des geometrischen Produktes der Algebra wie folgt erhalten:

:::::

und auch, im Doppelraum, der abgemessen ist durch:

:::::

Im Herstellen dieser Ergebnisse wird die Identität verwendet:

:

und:

:

Diese Beziehungen zwischen dem Doppel- und wende ich mich für irgendwelche Vektoren. Hier werden sie angewandt, um den axialen Vektoren geschaffen als das Kreuzprodukt zum gebivector-schätzten Außenprodukt von zwei polaren (d. h. nicht axial) Vektoren u und v zu verbinden; die zwei Produkte können als Determinanten ausgedrückt ebenso geschrieben werden:

:

das Verwenden der Notation. Diese Ausdrücke zeigen, dass diese zwei Typen des Vektoren Hodge duals sind:

:

infolge der Beziehungen:

: mit dem zyklischen,

und:

: auch mit dem zyklischen.

Mit der Durchführung von basierten auf mich sind die allgemein verwendeten Beziehungen:

:

Vier Dimensionen

Im Falle dass, der Hodge Doppeltaten als ein Endomorphismus der zweiten Außenmacht, der Dimension 6. Es ist eine Involution, so spaltet es es in anti-self-dual und Selbstdoppelsubräume, auf denen es beziehungsweise als +1 und 1 handelt.

Ein anderes nützliches Beispiel ist Raum-Zeit von Minkowski mit der metrischen Unterschrift und koordiniert wo (das Verwenden)

::::

für eine Formen während

::::::

für zwei Formen.

Skalarprodukt von K-Vektoren

Der Doppel-Hodge veranlasst ein Skalarprodukt auf dem Raum von K-Vektoren, d. h. auf der Außenalgebra V. In Anbetracht zwei K-Vektoren und hat man

:

wo ω die normalisierte N-Form ist (d. h.).. In der Rechnung von Außendifferenzialformen auf einer Sammelleitung von Riemannian der Dimension n wird die normalisierte N-Form die Volumen-Form genannt und kann als geschrieben werden

:

wo das metrische auf der Sammelleitung ist.

Es kann gezeigt werden, dass das ein Skalarprodukt ist, in dem es sesquilinear ist und eine Norm definiert. Umgekehrt, wenn auf einem Skalarprodukt gegeben wird, dann kann diese Gleichung als eine alternative Definition des Doppel-Hodges betrachtet werden.

Die Keil-Produkte von Elementen einer orthonormalen Basis in V bilden eine orthonormale Basis der Außenalgebra V.

Dualität

Der Stern von Hodge definiert einen Doppel-darin, wenn er zweimal angewandt wird, ist das Ergebnis eine Identität auf der Außenalgebra bis zum Zeichen. In Anbetracht eines K-Vektoren in einem n-dimensional Raum V hat man

:

wo s mit der Unterschrift des Skalarprodukts auf V verbunden ist. Spezifisch ist s das Zeichen der Determinante des Skalarprodukt-Tensor. So, zum Beispiel, wenn n=4 und die Unterschrift des Skalarprodukts irgendein sind

(+, , , ) oder (, +, +, +) dann s =  1. Für gewöhnliche Euklidische Räume ist die Unterschrift immer, und so s = + 1 positiv. Wenn der Stern von Hodge zu Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen erweitert wird, dann, wie man versteht, ist das obengenannte Skalarprodukt das metrische in der diagonalen Form.

Bemerken Sie, dass die obengenannte Identität andeutet, dass das Gegenteil dessen als gegeben werden kann

:

Bemerken Sie, dass, wenn n sonderbarer k ist (nk) sogar für jeden k ist, wohingegen, wenn n sogar k ist (nk) die Gleichheit von k hat.

Deshalb, wenn n seltsam ist, hält er für jeden k das

:

wohingegen, wenn n sogar ist, er das hält

:

wo k der Grad der Formen ist, die darauf bedient sind.

Stern von Hodge auf Sammelleitungen

Man kann wiederholen, dass der Aufbau oben für jeden Kotangens-Raum eines n-dimensional Riemannian oder Pseudo-Riemannian-Sammelleitung orientiert hat, und bekommen Sie den Hodge Doppel-(nk) - Form von einer K-Form. Der Stern von Hodge veranlasst dann ein L-Norm-Skalarprodukt auf den Differenzialformen auf der Sammelleitung. Man schreibt

:

für das Skalarprodukt von Abteilungen und dessen. (Der Satz von Abteilungen wird oft als angezeigt. Elemente dessen werden AußenK-Formen genannt).

Mehr allgemein, im nichtorientierten Fall, kann man den hodge Stern einer K-Form als (nk) - Pseudodifferenzialform definieren; d. h. ein Differenzial formt sich mit Werten im kanonischen Linienbündel.

Der codifferential

Die wichtigste Anwendung vom Hodge, der auf Sammelleitungen dazu Doppel-ist, soll den codifferential δ definieren. Lassen Sie

:

wo d die Außenableitung oder Differenzial ist. s = + 1 für Sammelleitungen von Riemannian.

:

während

:

Der codifferential ist nicht eine Antiabstammung auf der Außenalgebra,

im Gegensatz zur Außenableitung.

Der codifferential ist der adjoint der Außenableitung, darin

:

wo ζ (k+1) - Form und η eine K-Form ist. Diese Identität folgt aus dem Lehrsatz von Stokes für glatte Formen, wenn

:

d. h. wenn M leere Grenze hat, oder wenn η oder *ζ Nullgrenzwerte haben (natürlich, folgt wahrer adjointness nach der dauernden Verlängerung zu den passenden topologischen Vektorräumen als Verschlüsse der Räume von glatten Formen).

Bemerken Sie, dass da das Differenzial befriedigt, hat der codifferential das entsprechende Eigentum

:

Dem Laplace-deRham Maschinenbediener wird durch gegeben

:

und liegt am Herzen der Theorie von Hodge. Es ist symmetrisch:

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und nichtnegativ:

:

Der Doppel-Hodge sendet harmonische Formen an harmonische Formen. Demzufolge der Theorie von Hodge ist der de Rham cohomology zum Raum von harmonischen K-Formen natürlich isomorph, und so veranlasst der Stern von Hodge einen Isomorphismus von cohomology Gruppen

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der der Reihe nach kanonische Identifizierungen über die Dualität von Poincaré von H (M) mit seinem Doppelraum gibt.

Ableitungen in drei Dimensionen

Die Kombination des Maschinenbedieners und der Außenableitung erzeugt den klassischen Maschinenbediener-Studenten im Aufbaustudium, die Locke und div in drei Dimensionen. Das läuft wie folgt gut: Kann einen 0-Formen-(Funktion) zu einer 1 Form, einer 1 Form zu einem 2-Formen-, und einem 2-Formen-zu einem 3-Formen-nehmen (angewandt auf einen 3-Formen-, den sie gerade Null gibt).

Für einen 0-Formen-, ist der erste in Bestandteilen ausgeschriebene Fall als der Maschinenbediener des Studenten im Aufbaustudium identifizierbar:

:

Der zweite Fall, der davon gefolgt ist, ist ein Maschinenbediener auf 1 Formen , der in Bestandteilen der Maschinenbediener ist:

:

Die Verwendung des Sterns von Hodge gibt:

:

Der Endfall hat vorgelegen und ist dadurch gefolgt, nimmt eine 1 Form zu einem 0-Formen-(Funktion); ausgeschrieben in Bestandteilen ist es der Abschweifungsmaschinenbediener:

:::

Ein Vorteil dieses Ausdrucks besteht darin, dass die Identität, die in allen Fällen wahr ist, zwei andere, nämlich das summiert und. Insbesondere die Gleichungen von Maxwell übernehmen eine besonders einfache und elegante Form, wenn ausgedrückt, in Bezug auf die Außenableitung und den Stern von Hodge.

Man kann auch Laplacian erhalten. Das Verwenden der Information oben und der Tatsache dass dann für einen 0-Formen-:

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Referenzen

• David Bleecker (1981) Maß-Theorie und Abweichende Grundsätze. Addison-Wesley Publishing. Internationale Standardbuchnummer 0-201-10096-7. Chpt. 0 enthält eine kondensierte Rezension der non-Riemannian Differenzialgeometrie.
• Jurgen Jost (2002) Riemannian Geometrie und Geometrische Analyse. Springer-Verlag. Internationale Standardbuchnummer 3-540-42627-2. Eine ausführliche Ausstellung, die von Kernprinzipien anfängt; behandelt den pseudo-Riemannian Fall nicht.
• Charles W. Misner, Schläfchen S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970) Schwerkraft. W.H. Freeman. Internationale Standardbuchnummer 0-7167-0344-0. Eine grundlegende Rezension der Differenzialgeometrie im speziellen Fall der vierdimensionalen Raum-Zeit.
• Steven Rosenberg (1997) Der Laplacian auf einer Sammelleitung von Riemannian. Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0521468310. Eine Einführung in die Hitzegleichung und den Atiyah-Sänger-Lehrsatz.