In der Mathematik, dem Kreuzprodukt, Vektorprodukt oder dem Vektorprodukt von Gibbs ist eine binäre Operation auf zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum. Es läuft auf einen Vektoren hinaus, der auf beiden der Vektoren rechtwinklig ist, die multiplizieren werden und deshalb normal zum Flugzeug, das sie enthält. Es hat viele Anwendungen in der Mathematik, Technik und Physik.

Wenn entweder der Vektoren, die multiplizieren werden, Null oder die Vektoren ist, sind dann parallel ihr Kreuzprodukt ist Null. Mehr allgemein kommt der Umfang des Produktes dem Gebiet eines Parallelogramms mit den Vektoren für Seiten gleich; insbesondere für rechtwinklige Vektoren ist das ein Rechteck, und der Umfang des Produktes ist das Produkt ihrer Längen. Das Kreuzprodukt ist antiauswechselbar, über die Hinzufügung verteilend und befriedigt die Identität von Jacobi. Der Raum und das Produkt bilden eine Algebra über ein Feld, das weder auswechselbar noch assoziativ ist, aber eine Lüge-Algebra mit dem Kreuzprodukt ist, das die Lüge-Klammer ist.

Wie das Punktprodukt hängt es vom metrischen vom Euklidischen Raum ab, aber verschieden vom Punktprodukt hängt es auch von der Wahl der Orientierung oder "Händigkeit" ab. Das Produkt kann auf verschiedene Weisen verallgemeinert werden; es kann unabhängig der Orientierung durch das Ändern des Ergebnisses gemacht werden pseudozuleiten, oder in willkürlichen Dimensionen kann das Außenprodukt von Vektoren mit einem bivector oder Zwei-Formen-Ergebnis verwendet werden. Außerdem mit der Orientierung und metrischen Struktur ebenso für das traditionelle 3-dimensionale Kreuzprodukt kann man in n Dimensionen, das Produkt von n  1 Vektoren nehmen, um eine Vektor-Senkrechte zu ihnen allen zu erzeugen. Aber wenn das Produkt auf nichttriviale binäre Produkte mit Vektor-Ergebnissen beschränkt wird, besteht es nur in drei und sieben Dimensionen.

Definition

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren a und b wird durch In der Physik angezeigt, manchmal wird die Notation verwendet, obwohl das in der Mathematik vermieden wird, um Verwirrung mit dem Außenprodukt zu vermeiden.

Das Kreuzprodukt × b wird als ein Vektor c definiert, der sowohl auf a als auch auf b mit einer Richtung rechtwinklig ist, die durch die rechte Regel und einen Umfang gegeben ist, der dem Gebiet des Parallelogramms gleich ist, das die Vektoren abmessen.

Das Kreuzprodukt wird durch die Formel definiert

:

wo θ das Maß des kleineren Winkels zwischen a und b (0 °  θ  180 °), |a ist und |b die Umfänge von Vektoren a und b sind, und n eine Einheitsvektor-Senkrechte zum Flugzeug ist, das a und b in der durch die rechte Regel gegebenen Richtung, wie illustriert, enthält. Wenn die Vektoren a und b parallel sind (d. h. der Winkel θ zwischen ihnen ist entweder 0 ° oder 180 °), durch die obengenannte Formel, das Kreuzprodukt von a und b ist der Nullvektor 0.

Die Richtung des Vektoren n wird durch die rechte Regel gegeben, wo man einfach den Zeigefinger der rechten Hand in der Richtung auf a und den Mittelfinger in der Richtung auf b anspitzt. Dann kommt der Vektor n aus dem Daumen (sieh das Bild rechts). Das Verwenden dieser Regel deutet an, dass das Kreuzprodukt, d. h., b &times antiauswechselbar ist; = − (× b). Durch das Hinweisen des Zeigefingers zu b zuerst, und dann das Hinweisen des Mittelfingers zu a wird der Daumen in der entgegengesetzten Richtung gezwungen, das Zeichen des Produktvektoren umkehrend.

Das Verwenden des Kreuzproduktes verlangt, dass die Händigkeit des Koordinatensystems (als ausführlich in der Definition oben) in Betracht gezogen wird. Wenn ein linkshändiges Koordinatensystem verwendet wird, wird die Richtung des Vektoren n durch die linke Regel und Punkte in der entgegengesetzten Richtung gegeben.

Das schafft jedoch ein Problem, weil das Umwandeln von einem willkürlichem Bezugssystem bis einen anderen (z.B, eine Spiegelbildtransformation von einem rechtshändigen bis ein linkshändiges Koordinatensystem), sollte die Richtung von n nicht ändern. Das Problem wird durch das Verständnis geklärt, dass das Kreuzprodukt von zwei Vektoren nicht ein (wahrer) Vektor, aber eher ein Pseudovektor ist. Sieh Kreuzprodukt und Händigkeit für mehr Detail.

Namen

Das Kreuzprodukt wird auch Vektorprodukt oder das Vektorprodukt von Gibbs genannt. Der Name das Vektorprodukt von Gibbs ist nach Josiah Willard Gibbs, der 1881 sowohl das Punktprodukt als auch das Kreuzprodukt, mit einem Punkt und ein Kreuz eingeführt hat, um sie anzuzeigen.

Um die Tatsache zu betonen, dass das Ergebnis eines Punktproduktes ein Skalar ist, während das Ergebnis eines Kreuzproduktes ein Vektor ist, hat Gibbs auch das alternative Namenskalarprodukt und Vektorprodukt für die zwei Operationen eingeführt. Diese alternativen Namen werden noch in der Literatur weit verwendet.

Beide die böse Notation und das Namenkreuzprodukt wurde vielleicht durch die Tatsache begeistert, dass jeder Skalarbestandteil dessen durch das Multiplizieren nichtentsprechender Bestandteile von a und b geschätzt wird. Umgekehrt schließt ein Punktprodukt Multiplikationen zwischen entsprechenden Bestandteilen von a und b ein. Wie erklärt, unten kann das Kreuzprodukt als die Determinante eines speziellen 3×3 Matrix definiert werden. Gemäß der Regierung von Sarrus schließt das Multiplikationen zwischen durch durchquerte Diagonalen identifizierten Matrixelementen ein.

Computerwissenschaft des Kreuzproduktes

Koordinatennotation

Die Standardbasisvektoren i, j, und k befriedigen die folgenden Gleichheiten:

:::

die, durch den anticommutativity des Kreuzproduktes, das einbeziehen

:::

Die Definition des Kreuzproduktes bezieht auch das ein

: (der Nullvektor).

Diese Gleichheiten, zusammen mit dem distributivity und der Linearität des Kreuzproduktes, sind genügend, um das Kreuzprodukt irgendwelcher zwei Vektoren a und b zu bestimmen. Jeder Vektor kann als die Summe von drei orthogonaler Teilparallele zu den Standardbasisvektoren definiert werden:

::

Ihr Kreuzprodukt kann mit distributivity ausgebreitet werden:

:

\mathbf {ein} \times \mathbf {b} =& (a_1\mathbf {ich} + a_2\mathbf {j} + a_3\mathbf {k}) \times (b_1\mathbf {ich} + b_2\mathbf {j} + b_3\mathbf {k}) \\

&a_1b_1 \mathbf {ich} \times \mathbf {ich} + a_1b_2\mathbf {ich} \times \mathbf {j} + a_1b_3\mathbf {ich} \times \mathbf {k} + \\

&a_2b_1 \mathbf {j} \times \mathbf {ich} + a_2b_2\mathbf {j} \times \mathbf {j} + a_2b_3\mathbf {j} \times \mathbf {k} + \\

&a_3b_1 \mathbf {k} \times \mathbf {ich} + a_3b_2\mathbf {k} \times \mathbf {j} + a_3b_3\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das kann als die Zergliederung in die Summe von neun einfacheren Kreuzprodukten interpretiert werden, die Vektoren einschließen, die nach mir, j, oder k ausgerichtet sind. Jedes dieser neun Kreuzprodukte funktioniert auf zwei Vektoren, die leicht sind zu behandeln, weil sie entweder parallel oder zu einander orthogonal sind. Von dieser Zergliederung, indem wir die obengenannten erwähnten Gleichheiten verwenden und ähnliche Begriffe sammeln, herrschen wir vor:

:

\mathbf {ein} \times \mathbf {b} = & a_1b_1\mathbf {0} + a_1b_2\mathbf {k} + a_1b_3 (-\mathbf {j}) + a_2b_1 (-\mathbf {k}) + a_2b_2\mathbf {0} + a_2b_3\mathbf {ich} + a_3b_1\mathbf {j} + a_3b_2 (-\mathbf {ich}) + a_3b_3\mathbf {0} \\

& (a_2b_3 - a_3b_2) \mathbf {ich} + (a_3b_1 - a_1b_3) \mathbf {j} + (a_1b_2 - a_2b_1) \mathbf {k}. \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

das Bedeuten, dass die drei Skalarbestandteile des resultierenden Vektoren c = ci + cj + ck = sind

:::

Mit Spaltenvektoren können wir dasselbe Ergebnis wie folgt vertreten:

:

Matrixnotation

Die Definition des Kreuzproduktes kann auch durch die Determinante einer formellen Matrix vertreten werden:

:

\mathbf {ich} & \mathbf {j} & \mathbf {k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end {vmatrix}. </Mathematik>

Diese Determinante kann mit der Regierung von Sarrus oder Vergrößerung von Cofactor geschätzt werden.

Mit der Regierung von Sarrus breitet es sich zu aus

:

\mathbf {ein }\\times\mathbf {b} = \mathbf {ich} a_2b_3 + \mathbf {j} a_3b_1 + \mathbf {k} a_1b_2 - \mathbf {ich} a_3b_2 - \mathbf {j} a_1b_3 - \mathbf {k} a_2b_1.

</Mathematik>

Mit der Cofactor Vergrößerung entlang der ersten Reihe statt dessen breitet es sich zu aus

:

\begin {vmatrix }\

a_2 & a_3 \\

b_2 & b_3

\end {vmatrix} \mathbf {ich} -

\begin {vmatrix }\

a_1 & a_3 \\

b_1 & b_3

\end {vmatrix} \mathbf {j} +

\begin {vmatrix }\

a_1 & a_2 \\

b_1 & b_2

\end {vmatrix} \mathbf {k }\

</Mathematik>

der die Bestandteile des resultierenden Vektoren direkt gibt.

Eigenschaften

Geometrische Bedeutung

Der Umfang des Kreuzproduktes kann als das positive Gebiet des Parallelogramms interpretiert werden, das a und b als Seiten hat (sieh Abbildung 1):

:

Tatsächlich kann man auch den Band V eines parallelepiped schätzen, der a, b und c als Seiten hat, indem man eine Kombination eines Kreuzproduktes und eines Punktproduktes, genannt dreifaches Skalarprodukt verwendet (sieh Abbildung 2):

:

\mathbf {ein }\\cdot (\mathbf {b }\\Zeiten \mathbf {c}) =

\mathbf {b }\\cdot (\mathbf {c }\\Zeiten \mathbf) =

\mathbf {c }\\cdot (\mathbf {ein }\\Zeiten \mathbf {b}).

</Mathematik>

Da das Ergebnis des dreifachen Skalarproduktes negativ sein kann, wird das Volumen des parallelepiped durch seinen absoluten Wert gegeben. Zum Beispiel,

:

Weil der Umfang des Kreuzproduktes durch den Sinus des Winkels zwischen seinen Argumenten geht, kann vom Kreuzprodukt als ein Maß "der Rechtwinkligkeit" ebenso gedacht werden, dass das Punktprodukt ein Maß "der Parallelkeit" ist. In Anbetracht zwei Einheitsvektoren hat ihr Kreuzprodukt einen Umfang 1, wenn die zwei rechtwinklig sind und ein Umfang der Null, wenn die zwei parallel sind. Das Gegenteil ist für das Punktprodukt von zwei Einheitsvektoren wahr.

Einheitsvektoren ermöglichen zwei günstige Identität: Das Punktprodukt von zwei Einheitsvektoren gibt den Kosinus nach (der positiv oder negativ sein kann) des Winkels zwischen den zwei Einheitsvektoren. Der Umfang des Kreuzproduktes der zwei Einheitsvektoren gibt den Sinus nach (der immer positiv sein wird).

Algebraische Eigenschaften

Das Kreuzprodukt, ist antiauswechselbar

:

verteilend über die Hinzufügung,

:

und vereinbar mit der Skalarmultiplikation so dass

:

Es ist nicht assoziativ, aber befriedigt die Identität von Jacobi:

:

Distributivity, Linearität und Identität von Jacobi zeigen, dass R zusammen mit der Vektor-Hinzufügung und dem Kreuzprodukt eine Lüge-Algebra, die Lüge-Algebra der echten orthogonalen Gruppe in 3 Dimensionen, SO (3) bildet.

Das Kreuzprodukt folgt dem Annullierungsgesetz nicht: Ein × b = ein × c mit der Nichtnull a bezieht das b = c nicht ein. Stattdessen, wenn ein × b = ein × c:

:

\mathbf {0} &= (\mathbf {ein} \times \mathbf {b}) - (\mathbf {ein} \times \mathbf {c}) \\

&= \mathbf {ein} \times (\mathbf {b} - \mathbf {c}). \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Wenn weder a noch b - c Null dann aus der Definition des Kreuzproduktes sind, muss der Winkel zwischen ihnen Null sein, und sie müssen parallel sein. Sie sind durch einen Einteilungsfaktor verbunden, so kann einer von b oder c in Bezug auf den anderen, zum Beispiel ausgedrückt werden

:

für einen Skalar t.

Wenn a · b = a · c und ein × b = ein × c, für den Nichtnullvektoren a, dann b = c, als

: und

:

so b  ist c sowohl Parallele als auch Senkrechte zum Nichtnullvektoren a, etwas, was nur möglich ist, wenn b  c = 0, so sind sie identisch.

Aus der geometrischen Definition ist das Kreuzprodukt invariant unter Folgen über die Achse, die durch einen × b definiert ist. Mehr allgemein folgt das Kreuzprodukt der folgenden Identität unter Matrixtransformationen:

:

wo 3 durch 3 Matrix ist und das Umstellen des Gegenteils ist

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren im 3. liegt immer im ungültigen Raum der Matrix mit den Vektoren als Reihen:

:

Für die Summe von zwei Kreuzprodukten hält die folgende Identität:

:

Unterscheidung

Die Produktregel gilt für das Kreuzprodukt auf eine ähnliche Weise:

:

Diese Identität kann verwendend der Matrixmultiplikationsdarstellung leicht bewiesen werden.

Dreifache Produktvergrößerung

Das Kreuzprodukt wird in beiden Formen des dreifachen Produktes verwendet. Das dreifache Skalarprodukt von drei Vektoren wird als definiert

:

Es ist das unterzeichnete Volumen des parallelepiped mit Rändern a, b und c und als solcher die Vektoren können in jeder Ordnung verwendet werden es ist eine gleiche Versetzung der obengenannten Einrichtung. Die folgenden sind deshalb gleich:

:

Der Vektor ist dreifaches Produkt das Kreuzprodukt eines Vektoren mit dem Ergebnis eines anderen Kreuzproduktes, und ist mit dem Punktprodukt durch die folgende Formel verbunden

:

Der mnemonische "BAC minus das TAXI" wird verwendet, um sich an die Ordnung der Vektoren im Mitglied der rechten Hand zu erinnern. Diese Formel wird in der Physik verwendet, um Vektor-Berechnungen zu vereinfachen. Ein spezieller Fall, bezüglich Anstiege und nützlich in der Vektor-Rechnung, ist

:

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f}) & = \nabla (\nabla \cdot \mathbf {f}) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf {f} \\

& = \nabla (\nabla \cdot \mathbf {f}) - \nabla^2 \mathbf {f}, \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo  der Vektor Maschinenbediener von Laplacian ist.

Eine andere Identität verbindet das Kreuzprodukt mit dem dreifachen Skalarprodukt:

:

Alternative Formulierung

Das Kreuzprodukt und das Punktprodukt sind verbunden durch:

:

Die Rechte ist die Gramm-Determinante von a und b, dem Quadrat des Gebiets des durch die Vektoren definierten Parallelogramms. Diese Bedingung bestimmt den Umfang des Kreuzproduktes. Nämlich, da das Punktprodukt, in Bezug auf den Winkel θ zwischen den zwei Vektoren als definiert wird:

:

die obengenannte gegebene Beziehung kann wie folgt umgeschrieben werden:

:Wenn man

die Pythagoreische trigonometrische Identität anruft, herrscht man vor:

:

der der Umfang des Kreuzproduktes ist, das in Bezug auf θ ausgedrückt ist, der dem Gebiet des Parallelogramms gleich ist, das durch a und b definiert ist (sieh Definition oben).

Die Kombination dieser Voraussetzung und des Eigentums, dass das Kreuzprodukt, seinen Bestandteilen a und b orthogonal sein, eine alternative Definition des Kreuzproduktes zur Verfügung stellt.

Die Identität von Lagrange

Die Beziehung:

:

kann im Vergleich zu einer anderen Beziehung sein, die die Rechte, nämlich die Identität von Lagrange ausgedrückt als einschließt:

:

wo a und b n-dimensional Vektoren sein können. Im Fall n=3 läuft das Kombinieren dieser zwei Gleichungen auf den Ausdruck für den Umfang des Kreuzproduktes in Bezug auf seine Bestandteile hinaus:

:

Dasselbe Ergebnis wird direkt mit den Bestandteilen des Kreuzproduktes gefunden, das gefunden ist von:

:\mathbf {ich} & \mathbf {j} & \mathbf {k} \\a_1 & a_2 & a_3 \\b_1 & b_2 & b_3 \\

\end {bmatrix}. </Mathematik>

In der Gleichung von R Lagrange ist ein spezieller Fall des multiplicativity |vw = |vw von der Norm in der quaternion Algebra.

Es ist ein spezieller Fall einer anderen Formel, auch manchmal genannt die Identität von Lagrange, die der dreidimensionale Fall der Binet-Cauchy Identität ist:

:

Wenn = c und b = d das zur Formel oben vereinfacht.

Alternative Weisen, das Kreuzprodukt zu schätzen

Konvertierung zur Matrixmultiplikation

Das Vektor-Kreuzprodukt kann auch als das Produkt eines Verdrehens - symmetrische Matrix und ein Vektor ausgedrückt werden:

::

wo sich Exponent auf die umstellen Operation bezieht, und definiert zu sein, durch:

:

Außerdem, wenn von sich ein Kreuzprodukt zu sein:

:

dann

:

Dieses Ergebnis kann zu höheren Dimensionen mit der geometrischen Algebra verallgemeinert werden. Insbesondere in jeder Dimension kann bivectors damit identifiziert werden verdrehen - symmetrischer matrices, so ist das Produkt zwischen einem Verdrehen - symmetrische Matrix und Vektoren zum Rang 1 Teil des Produktes eines bivector und Vektoren gleichwertig. In drei Dimensionen sind bivectors zu Vektoren Doppel-, so ist das Produkt zum Kreuzprodukt mit dem bivector statt seines Doppel-Vektoren gleichwertig. In höheren Dimensionen kann das Produkt noch berechnet werden, aber bivectors haben mehr Grade der Freiheit und sind zu Vektoren nicht gleichwertig.

Diese Notation ist auch häufig viel leichter, mit zum Beispiel in der epipolar Geometrie zu arbeiten.

Von den allgemeinen Eigenschaften des Kreuzproduktes folgt sofort dem

: und

und von der Tatsache, dass zu sein - symmetrisch hieraus folgt dass verdreht

:

Die oben erwähnte dreifache Produktvergrößerung (Bac-Taxi-Regel) kann verwendend dieser Notation leicht bewiesen werden.

Die obengenannte Definition [eines] Mittels, dass es gibt zwischen dem Satz 3×3 isomorph kartografisch darzustellen, verdreht - symmetrischer matrices, auch bekannt als die Lüge-Algebra SO (3), und die Operation, das Kreuzprodukt mit einem Vektoren a zu nehmen.

Index-Notation für den Tensor

Das Kreuzprodukt kann in Bezug auf das Symbol von Levi-Civita, ε wechselweise definiert werden, der in der sich umwandelnden Vektor-Notation für Tensor-Anwendungen nützlich ist:

:

\mathbf {ein \times b} = \mathbf {c }\\Leftrightarrow\c_i = \sum_ {j=1} ^3 \sum_ {k=1} ^3 \varepsilon_ {ijk} a_j b_k

</Mathematik>

wo die Indizes, als in der vorherigen Abteilung zu orthogonalen Vektor-Bestandteilen entsprechen. Diese Charakterisierung des Kreuzproduktes wird häufig kompakter mit der Summierungstagung von Einstein als ausgedrückt

:

\mathbf {ein \times b} = \mathbf {c }\\Leftrightarrow\c_i = \varepsilon_ {ijk} a_j b_k

</Mathematik>

in dem wiederholte Indizes von 1 bis 3 summiert werden. Bemerken Sie, dass diese Darstellung eine andere Form des Verdrehens - symmetrische Darstellung des Kreuzproduktes ist:

:

In der klassischen Mechanik: Das Darstellen des Kreuzproduktes mit dem Symbol von Levi-Civita kann mechanisch-symmetries veranlassen, offensichtlich zu sein, wenn physische Systeme im Raum isotropisch sind. (Schnelles Beispiel: Denken Sie, dass eine Partikel in einem Gesetzpotenzial von Hooke im drei-Räume-, freien in drei Dimensionen schwingt; keine dieser Dimensionen ist in jedem Sinn "speziell", so liegen symmetries im Kreuzprodukt-vertretenen winkeligen Schwung, die durch die oben erwähnte Darstellung von Levi-Civita verständlich gemacht werden).

Mnemonisch

Das Wort "xyzzy" kann verwendet werden, um sich an die Definition des Kreuzproduktes zu erinnern.

Wenn

:wo::

\mathbf = \begin {bmatrix} a_x \\a_y \\a_z\end {bmatrix},

\mathbf {b} = \begin {bmatrix} b_x \\b_y \\b_z\end {bmatrix},

\mathbf {c} = \begin {bmatrix} c_x \\c_y \\c_z\end {bmatrix }\

</Mathematik>

dann:

:::

Die zweiten und dritten Gleichungen können von Anfang an einfach vertikal das Drehen der Subschriften, x  y  z  x erhalten werden. Das Problem besteht natürlich darin, wie man sich an die erste Gleichung erinnert, und zwei Optionen für diesen Zweck verfügbar sind: Irgendein, um sich an die relevanten zwei Diagonalen des Schemas von Sarrus (diejenigen zu erinnern, die i enthalten), oder sich an die xyzzy Folge zu erinnern.

Da die erste Diagonale im Schema von Sarrus gerade die Hauptdiagonale der oben erwähnten Matrix ist, können die ersten drei Briefe des Wortes xyzzy sehr leicht nicht vergessen werden.

Böse Vergegenwärtigung

Ähnlich zum mnemonischen Gerät oben kann ein "Kreuz" oder X zwischen den zwei Vektoren in der Gleichung vergegenwärtigt werden. Das kann Ihnen helfen, sich an die richtige Kreuzprodukt-Formel zu erinnern.

Wenn:dann::

\mathbf =

\begin {bmatrix} b_x \\b_y \\b_z\end {bmatrix} \times

\begin {bmatrix} c_x \\c_y \\c_z\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Wenn wir die Formel erhalten wollen, weil wir einfach und von der Formel fallen, und die folgenden zwei Bestandteile - abnehmen

:

a_x =

\begin {bmatrix} b_y \\b_z\end {bmatrix} \times

\begin {bmatrix} c_y \\c_z\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Es sollte bemerkt werden, dass, wenn es tut, sich das für die folgenden zwei Elemente unten um" die Matrix "einhüllen sollte, so dass nachdem der z Bestandteil der x Bestandteil kommt. Für die Klarheit, wenn sie diese Operation wegen durchführen, sollten die folgenden zwei Bestandteile z und x (in dieser Ordnung) sein. Während für die folgenden zwei Bestandteile als x und y genommen werden sollte.

:

a_y =

\begin {bmatrix} b_z \\b_x\end {bmatrix} \times

\begin {bmatrix} c_z \\c_x\end {bmatrix},

a_z =

\begin {bmatrix} b_x \\b_y\end {bmatrix} \times

\begin {bmatrix} c_x \\c_y\end {bmatrix }\

</Mathematik>

Für dann, wenn wir uns den bösen Maschinenbediener als hinweisend von einem Element links zu einem Element rechts vergegenwärtigen, können wir das erste Element links nehmen und einfach durch das Element multiplizieren, zu dem das Kreuz in der Matrix der rechten Hand hinweist. Wir ziehen dann das folgende Element unten links, multipliziert mit dem Element ab, zu dem das Kreuz hier ebenso hinweist. Das läuft auf unsere Formel - hinaus

:

Wir können das ebenso tun für und ihre verbundenen Formeln zu bauen.

Anwendungen

Rechenbetonte Geometrie

Das Kreuzprodukt kann verwendet werden, um das normale für ein Dreieck oder Vieleck, eine in der Computergrafik oft durchgeführte Operation zu berechnen. Zum Beispiel kann das Winden des Vielecks (im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn) über einen Punkt innerhalb des Vielecks (d. h. der centroid oder Mittelpunkt) durch das Triangulieren des Vielecks (wie spoking ein Rad) und das Summieren der Winkel (zwischen dem spokes) das Verwenden des Kreuzproduktes berechnet werden, um das Zeichen jedes Winkels nachzugehen.

In der rechenbetonten Geometrie des Flugzeugs wird das Kreuzprodukt verwendet, um das Zeichen des akuten Winkels zu bestimmen, der durch drei Punkte definiert ist, und. Es entspricht der Richtung des Kreuzproduktes der zwei coplanar Vektoren, die von den Paaren von Punkten und, d. h. durch das Zeichen des Ausdrucks definiert sind. Im "rechtshändigen" Koordinatensystem, wenn das Ergebnis 0 ist, sind die Punkte collinear; wenn es positiv ist, setzen die drei Punkte einen negativen Winkel der Folge ringsherum von zu, sonst ein positiver Winkel ein. Aus einem anderen Gesichtspunkt erzählt das Zeichen dessen, ob nach links oder rechts von der Linie liegt.

Mechanik

Der Moment einer Kraft, die am Punkt B um den Punkt A angewandt ist, wird als gegeben:

::

Anderer

Das Kreuzprodukt kommt in der Formel für die Vektor-Maschinenbediener-Locke vor.

Es wird auch verwendet, um die Kraft von Lorentz zu beschreiben, die durch eine bewegende elektrische Anklage in einem magnetischen Feld erfahren ist. Die Definitionen des Drehmoments und winkeligen Schwungs schließen auch das Kreuzprodukt ein.

Der Trick, ein Kreuzprodukt in Bezug auf eine Matrixmultiplikation umzuschreiben, erscheint oft in epipolar und Mehransicht-Geometrie insbesondere, wenn er das Zusammenbringen von Einschränkungen ableitet.

Kreuzprodukt als ein Außenprodukt

Das Kreuzprodukt kann in Bezug auf das Außenprodukt angesehen werden. Diese Ansicht berücksichtigt eine natürliche geometrische Interpretation des Kreuzproduktes. In der Außenalgebra sind das Außenprodukt (oder Keil-Produkt) zwei Vektoren ein bivector. Ein bivector ist ein orientiertes Flugzeug-Element auf die ziemlich gleiche Weise, wie ein Vektor ein orientiertes Linienelement ist. In Anbetracht zwei Vektoren a und b kann man den bivector als das orientierte Parallelogramm ansehen, das durch a und b abgemessen ist. Das Kreuzprodukt wird dann erhalten, indem es den des bivector Doppel-Hodge genommen wird, 2 Vektoren zu Vektoren kartografisch darstellend:

:

Davon kann als das orientierte mehrdimensionale Element "Senkrechte" zum bivector gedacht werden. Nur in drei Dimensionen ist das Ergebnis ein orientiertes Linienelement - ein Vektor - wohingegen, zum Beispiel, in 4 Dimensionen der eines bivector Doppel-Hodge - ein anderes orientiertes Flugzeug-Element zweidimensional ist. Also, nur in drei Dimensionen ist das Kreuzprodukt von a und b der zum bivector Doppel-Vektor: Es ist auf dem bivector mit dem Orientierungsabhängigen auf der Händigkeit des Koordinatensystems rechtwinklig, und hat denselben Umfang hinsichtlich der Einheit normaler Vektor, wie hinsichtlich der Einheit bivector hat; genau die Eigenschaften, die oben beschrieben sind.

Kreuzprodukt und Händigkeit

Wenn messbare Mengen Kreuzprodukte einschließen, kann die Händigkeit der verwendeten Koordinatensysteme nicht willkürlich sein. Jedoch, wenn Physik-Gesetze als Gleichungen geschrieben werden, sollte es möglich sein, eine willkürliche Wahl des Koordinatensystems (einschließlich der Händigkeit) zu machen. Um Probleme zu vermeiden, sollte man nie darauf achten, eine Gleichung niederzuschreiben, wo sich die zwei Seiten ebenso unter allen Transformationen nicht benehmen, die betrachtet werden müssen. Zum Beispiel, wenn eine Seite der Gleichung ein Kreuzprodukt von zwei Vektoren ist, muss man in Betracht ziehen, dass, wenn die Händigkeit des Koordinatensystems a priori nicht befestigt wird, das Ergebnis nicht ein (wahrer) Vektor, aber ein Pseudovektor ist. Deshalb, für die Konsistenz, muss die andere Seite auch ein Pseudovektor sein.

Mehr allgemein kann das Ergebnis eines Kreuzproduktes entweder ein Vektor oder ein Pseudovektor, abhängig vom Typ seines operands (Vektoren oder Pseudovektoren) sein. Nämlich werden Vektoren und Pseudovektoren auf die folgenden Weisen laut der Anwendung des Kreuzproduktes zueinander in Beziehung gebracht:

• Vektor &times; Vektor = Pseudovektor
• Pseudovektor &times; Pseudovektor = Pseudovektor
• Vektor &times; Pseudovektor = Vektor
• Pseudovektor &times; Vektor = Vektor.

So durch die obengenannten Beziehungen müssen die Einheitsbasisvektoren i, j und k eines orthonormalen, rechtshändigen (Kartesianischen) Koordinatenrahmens alle Pseudovektoren sein (wenn eine Basis von Mischvektor-Typen zurückgewiesen wird, wie es normalerweise ist), da ich &times; j = k, j &times; k = ich und k &times; ich = j.

Weil das Kreuzprodukt auch ein (wahrer) Vektor sein kann, kann es nicht Richtung mit einer Spiegelbildtransformation ändern. Das geschieht gemäß den obengenannten Beziehungen, wenn einer der operands ein (wahrer) Vektor ist und der andere ein Pseudovektor (z.B, das Kreuzprodukt von zwei Vektoren) ist. Zum Beispiel ist ein Vektor dreifaches Produkt, das drei (wahre) Vektoren einschließt, ein (wahrer) Vektor.

Eine Annäherung ohne Händigkeiten ist mögliche verwendende Außenalgebra.

Generalisationen

Es gibt mehrere Weisen, das Kreuzprodukt zu den höheren Dimensionen zu verallgemeinern.

Lügen Sie Algebra

Das Kreuzprodukt kann als eines der einfachsten Lüge-Produkte, gesehen werden

und wird so durch Lüge-Algebra verallgemeinert, die axiomatized als binäre Produkte sind, die die Axiome der Mehrlinearität, Verdrehen-Symmetrie und der Identität von Jacobi befriedigen. Viele Lügen Algebra bestehen, und ihre Studie ist ein Hauptfeld der Mathematik, genannt Liegen Theorie.

Zum Beispiel gibt die Algebra von Heisenberg einem anderen Liegen Algebra-Struktur auf In der Basis das Produkt ist

Quaternions

Das Kreuzprodukt kann auch in Bezug auf quaternions beschrieben werden, und das ist, warum die Briefe i, j, k eine Tagung für die Standardbasis darauf sind. Die Einheitsvektoren i, j, k entsprechen "binär" (180 deg) Folgen über ihre jeweiligen Äxte (Altmann, S. L., 1986, Ch. 12) haben Folgen gesagt, die durch "reinen" quaternions (Nullskalarteil) mit Einheitsnormen vertreten werden.

Zum Beispiel die obengenannten gegebenen Kreuzprodukt-Beziehungen unter stimme mir, j, und k mit den multiplicative Beziehungen unter dem quaternions i, j, und k überein. Im Allgemeinen, wenn ein Vektor [a, a,] als der quaternion ai + aj + ak vertreten wird, kann das Kreuzprodukt von zwei Vektoren durch die Einnahme ihres Produktes als quaternions und das Löschen des echten Teils des Ergebnisses erhalten werden. Der echte Teil wird die Verneinung des Punktproduktes der zwei Vektoren sein.

Wechselweise und aufrichtiger, mit der obengenannten Identifizierung des 'rein imaginären' quaternions mit, kann vom Kreuzprodukt als Hälfte des Umschalters von zwei quaternions gedacht werden.

Octonions

Ein Kreuzprodukt für 7-dimensionale Vektoren kann ebenso durch das Verwenden des octonions statt des quaternions erhalten werden. Das Nichtsein solcher Kreuzprodukte von zwei Vektoren in anderen Dimensionen ist mit dem Ergebnis verbunden, dass die einzigen normed Abteilungsalgebra diejenigen mit der Dimension 1, 2, 4, und 8 sind; der Lehrsatz von Hurwitz.

Keil-Produkt

In der allgemeinen Dimension gibt es keine direkte Entsprechung des binären Kreuzproduktes, das spezifisch einen Vektoren nachgibt. Es gibt jedoch das Keil-Produkt, das ähnliche Eigenschaften hat, außer dass das Keil-Produkt von zwei Vektoren jetzt ein 2-Vektoren-statt eines gewöhnlichen Vektoren ist. Wie oben erwähnt kann das Kreuzprodukt als das Keil-Produkt in drei Dimensionen nach dem Verwenden der Dualität von Hodge interpretiert werden, um 2 Vektoren zu Vektoren kartografisch darzustellen. Der des Keil-Produktes Doppel-Hodge trägt (n2) - Vektor, der eine natürliche Generalisation des Kreuzproduktes in jeder Zahl von Dimensionen ist.

Das Keil-Produkt und Punktprodukt können (durch die Summierung) verbunden werden, um das geometrische Produkt zu bilden.

Mehrgeradlinige Algebra

Im Zusammenhang der mehrgeradlinigen Algebra kann das Kreuzprodukt als (1,2) - Tensor (ein Mischtensor, spezifisch eine bilineare Karte) erhalten bei der 3-dimensionalen Volumen-Form, (0,3) - Tensor, durch die Aufhebung eines Index gesehen werden.

Im Detail definiert die 3-dimensionale Volumen-Form ein Produkt durch die Einnahme der Determinante der durch diese 3 Vektoren gegebenen Matrix.

Durch die Dualität ist das zu einer Funktion gleichwertig (irgendwelche zwei Eingänge befestigend gibt eine Funktion durch das Auswerten auf dem dritten Eingang) und in Gegenwart von einem Skalarprodukt (wie das Punktprodukt; mehr allgemein, eine nichtdegenerierte bilineare Form), haben wir einen Isomorphismus, und so gibt das eine Karte nach, die das Kreuzprodukt ist: (0,3) - ist Tensor (3 Vektor-Eingänge, Skalarproduktion) in (1,2) - Tensor (2 Vektor-Eingänge, 1 Vektor-Produktion) "die Aufhebung eines Index" umgestaltet worden.

Die obengenannte Algebra in die Geometrie übersetzend, die Funktion "Volumen des parallelepiped, der durch definiert ist" (wo die ersten zwei Vektoren befestigt werden und ist das letzte ein Eingang), der eine Funktion definiert, einzigartig als Punkt-Produkt mit Vektor vertreten: Dieser Vektor ist das Kreuzprodukt Von dieser Perspektive, das Kreuzprodukt wird durch das dreifache Skalarprodukt, definiert

Ebenso in höheren Dimensionen kann man verallgemeinerte Kreuzprodukte definieren, indem man Indizes der n-dimensional Volumen-Form erhebt, die - Tensor ist.

Die direktesten Generalisationen des Kreuzproduktes sollen auch definieren:

• a - Tensor, der als Eingangsvektoren nimmt, und als Produktion 1 Vektoren - ein-ary Vektor-geschätztes Produkt oder gibt
• a - Tensor, der als Eingang 2 Vektoren nimmt und als Produktion gibt, verdreht - symmetrischer Tensor der Reihe n&minus;2 - ein binäres Produkt mit der Reihe n&minus;2 Tensor-Werte. Man kann auch - Tensor für anderen k definieren.

Diese Produkte sind alle mehrgeradlinig und verdrehen - symmetrisch, und können in Bezug auf die Determinante und Gleichheit definiert werden.

Das-ary Produkt kann wie folgt beschrieben werden: Eingereichte Vektoren definieren ihr verallgemeinertes Kreuzprodukt als:

• die Senkrechte zum Hyperflugzeug durch den definiert
• Umfang ist das Volumen des parallelotope, der durch definiert ist, der als die Gramm-Determinante des geschätzt werden kann
• orientiert, so dass positiv orientiert wird.

Das ist das einzigartige mehrgeradlinige, abwechselnde Produkt, das zu und so weiter für zyklische Versetzungen von Indizes bewertet.

In Koordinaten kann man eine Formel für diese-ary Entsprechung des Kreuzproduktes in R geben durch:

:\begin {vmatrix }\

v_1 {} ^1 &\\cdots &v_1 {} ^ {n }\\\

\vdots &\\ddots &\\vdots \\

v_ {n-1} {} ^1 & \cdots &v_ {n-1} {} ^ {n }\\\

\mathbf {e} _1 &\\cdots &\\mathbf {e} _ {n }\

\end {vmatrix}. </Mathematik>

Diese Formel ist in der Struktur zur bestimmenden Formel für das normale Kreuzprodukt in R identisch, außer dass die Reihe von Basisvektoren die letzte Reihe in der Determinante aber nicht dem ersten ist. Der Grund dafür ist sicherzustellen, dass die bestellten Vektoren (v..., v, Λ (v..., v)) eine positive Orientierung in Bezug auf (e..., e) haben. Wenn n seltsam ist, verlässt diese Modifizierung den Wert unverändert, so stimmt diese Tagung mit der normalen Definition des binären Produktes überein. Im Fall, dass n sogar jedoch ist, muss die Unterscheidung behalten werden. Diese-Ary-Form genießt viele derselben Eigenschaften wie das Vektor-Kreuzprodukt: Es wechselt ab und geradlinig in seinen Argumenten, es ist auf jedem Argument rechtwinklig, und sein Umfang gibt das Hypervolumen des durch die Argumente begrenzten Gebiets. Und gerade wie das Vektor-Kreuzprodukt kann es auf eine unabhängige Koordinatenweise als der des Keil-Produktes der Argumente Doppel-Hodge definiert werden.

Geschichte

1773 hat Joseph Louis Lagrange die Teilform sowohl des Punkts als auch der Kreuzprodukte eingeführt, um das Tetraeder in drei Dimensionen zu studieren. 1843 hat der irische mathematische Physiker Herr William Rowan Hamilton das quaternion Produkt, und damit die Begriffe "Vektor" und "Skalar" eingeführt. In Anbetracht zwei quaternions [0, u] und [0, v], wo u und v Vektoren in R sind, kann ihr quaternion Produkt als [u zusammengefasst werden · v, u×v]. James Clerk Maxwell hat die quaternion Werkzeuge von Hamilton verwendet, um seine berühmten Elektromagnetismus-Gleichungen, und dafür zu entwickeln, und andere Gründe quaternions waren einige Zeit ein wesentlicher Teil der Physik-Ausbildung.

1878 hat William Kingdon Clifford seine Elemente von Dynamischen veröffentlicht, der ein fortgeschrittener Text für seine Zeit war. Er hat das Produkt von zwei Vektoren definiert, um Umfang zu haben, der dem Gebiet des Parallelogramms gleich ist, dessen sie zwei Seiten und Richtungssenkrechte zu ihrem Flugzeug sind.

Oliver Heaviside in England und Josiah Willard Gibbs, ein Professor an der Yale Universität in Connecticut, haben auch gefunden, dass quaternion Methoden zu beschwerlich waren, häufig den Skalar oder Vektor-Teil eines Ergebnisses verlangend, herausgezogen zu werden. So, ungefähr vierzig Jahre nach dem quaternion Produkt, wurden das Punktprodukt und Kreuzprodukt — in die erhitzte Opposition eingeführt. Zentral zur (schließlichen) Annahme war die Leistungsfähigkeit der neuen Annäherung, Heaviside erlaubend, die Gleichungen des Elektromagnetismus von den ursprünglichen 20 von Maxwell bis die vier allgemein gesehen heute zu reduzieren.

Größtenteils unabhängig dieser Entwicklung und größtenteils nicht gebührend gewürdigt zurzeit hat Hermann Grassmann eine geometrische Algebra geschaffen, die nicht gebunden ist, um zwei oder drei, mit dem Außenprodukt zu dimensionieren, eine Hauptrolle spielend. William Kingdon Clifford hat die Algebra von Hamilton und Grassmann verbunden, um Algebra von Clifford zu erzeugen, wo im Fall von dreidimensionalen Vektoren der bivector von zwei Vektoren dualizes zu einem Vektoren erzeugt hat, so das Kreuzprodukt wieder hervorbringend.

Die böse Notation und der Name "Kreuzprodukt" haben mit Gibbs begonnen. Ursprünglich sind sie in privat veröffentlichten Zeichen für seine Studenten 1881 als Elemente der Vektor-Analyse erschienen. Das Dienstprogramm für die Mechanik wurde von Aleksandr Kotelnikov bemerkt. Die Notation von Gibbs und der Name "Kreuzprodukt" haben später ein breites Publikum durch die Vektor-Analyse, ein Lehrbuch von Edwin Bidwell Wilson, einem ehemaligen Studenten erreicht. Wilson hat Material von den Vorträgen von Gibbs, zusammen mit dem Material aus Veröffentlichungen durch Heaviside, Föpps und Hamilton umgeordnet. Er hat Vektor-Analyse in drei Teile geteilt:

Zwei Hauptarten von Vektor-Multiplikationen wurden definiert, und sie wurden wie folgt genannt:

• Das direkte, der Skalar oder das Punktprodukt von zwei Vektoren
• Das Verdrehen, der Vektor oder das Kreuzprodukt von zwei Vektoren

Mehrere Arten von dreifachen Produkten und Produkten von mehr als drei Vektoren wurden auch untersucht. Die obengenannte erwähnte dreifache Produktvergrößerung wurde auch eingeschlossen.

Siehe auch

• Vielfache Kreuzprodukte - Produkte, die mehr als drei Vektoren einschließen
• Kartesianisches Produkt - Ein Produkt von zwei Sätzen
• × (das Symbol)
• Bivector
• Pseudovektor

Zeichen

• E. A. Milne (1948) Vektormechanik, Kapitel 2: Vektorprodukt, Seiten 11 - 31, London: Das Methuen Veröffentlichen.

Außenverbindungen

• Eine schnelle geometrische Abstammung und Interpretation von Kreuzprodukten

• Z.K. Silagadze (2002). Mehrdimensionales Vektorprodukt. Zeitschrift der Physik. A35 4949 (ist es nur im 7-d Raum möglich)
• Echte und komplizierte Produkte von komplexen Zahlen
• Ein interaktiver Tutorenkurs hat an der Syracuse Universität - geschaffen (verlangt Java)
• W. Kahan (2007). Kreuzprodukte und Folgen in Euklidischen 2- und 3-Räume-. Universität Kaliforniens, Berkeley (PDF).