In der mathematischen Physik ist der Lehrsatz von Buckingham π ein Schlüssellehrsatz in der dimensionalen Analyse. Es ist eine Formalisierung der Methode von Rayleigh der dimensionalen Analyse. Der Lehrsatz stellt lose fest, dass, wenn wir eine physisch bedeutungsvolle Gleichung haben, die eine bestimmte Anzahl einschließt, n, physischer Variablen und dieser Variablen expressible in Bezug auf k unabhängige grundsätzliche physische Mengen sind, dann ist der ursprüngliche Ausdruck zu einer Gleichung gleichwertig, die eine Reihe von p = n &minus einschließt; k ohne Dimension Rahmen hat von den ursprünglichen Variablen gebaut: Es ist ein Schema für nondimensionalization. Das stellt eine Methode für Rechensätze von ohne Dimension Rahmen von den gegebenen Variablen zur Verfügung, selbst wenn die Form der Gleichung noch unbekannt ist. Jedoch ist die Wahl von ohne Dimension Rahmen nicht einzigartig: Der Lehrsatz von Buckingham stellt nur eine Weise zur Verfügung, Sätze von ohne Dimension Rahmen zu erzeugen, und wird das 'physisch bedeutungsvollste' nicht wählen.

Behauptung

Mehr formell ist die Zahl von ohne Dimension Begriffen, die, p gebildet werden können, der Ungültigkeit der dimensionalen Matrix gleich, und k ist die Reihe. Zu den Zwecken des Experimentators sind verschiedene Systeme, die dieselbe Beschreibung in Bezug auf diese ohne Dimension Zahlen teilen, gleichwertig.

In mathematischen Begriffen, wenn wir eine physisch bedeutungsvolle Gleichung wie haben

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wo die q die n physischen Variablen sind, und sie in Bezug auf k unabhängige physische Einheiten ausgedrückt werden, dann kann die obengenannte Gleichung als neu formuliert werden

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wo die π ohne Dimension Rahmen sind, die vom q durch p = n &minus gebaut sind; k Gleichungen der Form

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wo die Hochzahlen rationale Zahlen sind (sie können immer genommen werden, um ganze Zahlen zu sein: Erheben Sie es gerade zu einer Macht, Nenner zu klären).

Der Gebrauch des π als die ohne Dimension Rahmen wurde von Edgar Buckingham in seiner ursprünglichen 1914-Zeitung auf dem Thema eingeführt, von dem der Lehrsatz seinen Namen zieht.

Bedeutung

Der Lehrsatz von Vaschy-Buckingham π stellt eine Methode für Rechensätze von ohne Dimension Rahmen von den gegebenen Variablen zur Verfügung, selbst wenn die Form der Gleichung noch unbekannt ist. Jedoch ist die Wahl von ohne Dimension Rahmen nicht einzigartig: Der Lehrsatz von Buckingham stellt nur eine Weise zur Verfügung, Sätze von ohne Dimension Rahmen zu erzeugen, und wird das 'physisch bedeutungsvollste' nicht wählen.

Zwei Systeme, für die diese Rahmen zusammenfallen, werden ähnlich genannt (als mit ähnlichen Dreiecken, sie unterscheiden sich nur in der Skala); sie sind zu den Zwecken der Gleichung und dem experimentalist gleichwertig, wer bestimmen will, die Form der Gleichung kann die günstigste wählen.

Beweis

Umriss

Es wird angenommen, dass der Raum von grundsätzlichen und abgestammt hat, physische Einheiten bildet einen Vektorraum über die rationalen Zahlen, mit den grundsätzlichen Einheiten als Basisvektoren, und mit der Multiplikation von physischen Einheiten als die "Vektor Hinzufügung" Operation und Aufhebung zu Mächten als die "Skalarmultiplikation" Operation:

vertreten Sie eine dimensionale Variable als der Satz von für die grundsätzlichen Einheiten erforderlichen Hochzahlen (mit einer Macht der Null, wenn die besondere grundsätzliche Einheit nicht da ist). Zum Beispiel hat der unveränderliche Gravitationsg Einheiten dessen (Entfernung mit der Zeit quadratisch gemacht), so wird es als der Vektor in Bezug auf die Basis von grundsätzlichen Einheiten (Entfernung, Zeit) vertreten.

Das Bilden der physischen Einheiten über Sätze von physischen Gleichungen zusammenpassen kann dann als das Auferlegen geradliniger Einschränkungen im physischen Einheitsvektor-Raum betrachtet werden.

Formeller Beweis

In Anbetracht eines Systems von n-dimensional Variablen (physische Variablen), in k (physische) Dimensionen, schreiben die dimensionale MatrixM, deren Reihen die Dimensionen sind, und dessen Säulen die Variablen sind: (Ich, j) th Zugang ist die Macht der ith Einheit in der jth Variable. Die Matrix kann als Einnahme in einer Kombination der dimensionalen Mengen interpretiert werden und die Dimensionen dieses Produktes ausgebend. So

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ist die Einheiten von

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Eine ohne Dimension Variable ist eine Kombination, deren Einheiten die ganze Null sind (folglich, ohne Dimension), der zum Kern dieser Matrix gleichwertig ist; eine ohne Dimension Variable ist eine geradlinige Beziehung zwischen Einheiten von dimensionalen Variablen.

Durch den Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit befriedigt ein System von n Vektoren in k Dimensionen (wo alle Dimensionen notwendig sind) (p = n − k) - dimensionaler Raum von Beziehungen. Jede Wahl der Basis wird p Elemente haben, die die ohne Dimension Variablen sind.

Die ohne Dimension Variablen können immer genommen werden, um Kombinationen der ganzen Zahl der dimensionalen Variablen (durch die Reinigung von Nennern) zu sein. Es gibt mathematisch keine natürliche Wahl von ohne Dimension Variablen; einige Wahlen von ohne Dimension Variablen sind mehr physisch bedeutungsvoll, und diese sind, was ideal verwendet wird.

Beispiele

Geschwindigkeit

Dieses Beispiel ist elementar, aber demonstriert das allgemeine Verfahren: Nehmen Sie An, dass ein Auto an 100 km/Stunde fährt; wie lange nimmt es es, um 200 km zu gehen?

Diese Frage hat zwei grundsätzliche physische Einheiten: Zeit t und Länge und dreidimensionale Variablen: Entfernung D, Zeit genommener T und Geschwindigkeit V. So gibt es 3 − 2 = 1 ohne Dimension Menge. Die Einheiten der dimensionalen Mengen sind:

:

Die dimensionale Matrix ist:

:

1 & 0 & 1 \\

0 & 1 &-1

\end {bmatrix} </Mathematik>

Die Reihen entsprechen den Dimensionen, und t und den Säulen zu den dimensionalen Variablen D, T, V. Zum Beispiel, die 3. Säule, (1, &minus;1), stellt fest, dass die V (geschwindigkeits)-Variable Einheiten dessen hat.

Für eine ohne Dimension Konstante suchen wir nach einem solchem Vektoren dass das Matrixprodukt der M auf Erträge der Nullvektor [0,0]. In der geradlinigen Algebra ist dieser Vektor als der Kern der dimensionalen Matrix bekannt, und es misst den nullspace der dimensionalen Matrix ab, die in diesem besonderen Fall ein dimensionaler ist. Die dimensionale Matrix, ist wie geschrieben, oben in der reduzierten Reihe-Staffelstellungsform, so kann man davon lesen, kann ein Kernvektor (innerhalb einer multiplicative Konstante) geschrieben werden durch:

:

Wenn die dimensionale Matrix nicht bereits reduziert wurde, konnte man Beseitigung von Gauss-Jordan auf der dimensionalen Matrix durchführen, um leichter den Kern zu bestimmen. Hieraus folgt dass die ohne Dimension Konstante geschrieben werden kann:

:

&= {richten} TV/D\end </Mathematik> {aus}

oder, in dimensionalen Begriffen:

:

Da der Kern nur zu innerhalb einer multiplicative Konstante definiert wird, wenn die obengenannte ohne Dimension Konstante zu willkürlicher Macht erhoben wird, wird es eine andere gleichwertige ohne Dimension Konstante nachgeben.

Dimensionale Analyse hat so eine allgemeine Gleichung zur Verfügung gestellt, die die drei physischen Variablen verbindet:

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der geschrieben werden kann:

:

wo C eine von einer Reihe von Konstanten, solch dass ist. Die wirkliche Beziehung zwischen den drei Variablen ist einfach, so dass die wirkliche ohne Dimension Gleichung geschrieben wird:

:

Mit anderen Worten gibt es nur einen Wert von C, und es ist Einheit. Die Tatsache, dass es nur einen einzelnen Wert von C gibt, und dass es der Einheit gleich ist, ist ein Niveau des durch die Technik der dimensionalen Analyse nicht zur Verfügung gestellten Details.

Das einfache Pendel

Wir möchten die Periode T von kleinen Schwingungen in einem einfachen Pendel bestimmen. Es wird angenommen, dass es eine Funktion der Länge L, der MassenM und der Beschleunigung wegen des Ernstes auf der Oberfläche der Erde g ist, der Einheiten der Länge vor der quadratisch gemachten Zeit teilen ließ. Das Modell ist der Form

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(Bemerken Sie, dass es als eine Beziehung geschrieben wird, nicht als eine Funktion: T wird hier als eine Funktion der M, L, und g nicht geschrieben.)

Es gibt 3 grundsätzliche physische Einheiten in dieser Gleichung: Zeit t, MassenM, und Länge l, und 4 dimensionale Variablen, T, M, L, und g. So brauchen wir nur 4  3 = 1 ohne Dimension Parameter, hat π angezeigt, und das Modell kann als wiederausgedrückt werden

:

wo π durch gegeben wird

:

für einige Werte von a..., a.

Die Einheiten der dimensionalen Mengen sind:

:Die dimensionale Matrix ist::

1 & 0 & 0 &-2 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1

\end {bmatrix} </Mathematik>

(Die Reihen entsprechen den Dimensionen t, der M, und l, und den Säulen zu den dimensionalen Variablen T, der M, L und g. Zum Beispiel, die 4. Säule, (&minus;2, 0, 1), stellt fest, dass die g Variable Einheiten dessen hat.)

Wir suchen nach einem Kernvektoren = [a1, a2, a3, a4] solch dass das Matrixprodukt der M auf Erträge der Nullvektor [0,0,0]. Die dimensionale Matrix, ist wie geschrieben, oben in der reduzierten Reihe-Staffelstellungsform, so kann man davon lesen, kann ein Kernvektor (innerhalb einer multiplicative Konstante) geschrieben werden durch:

:

Waren es nicht bereits reduziert, man konnte Beseitigung von Gauss-Jordan auf der dimensionalen Matrix durchführen, um leichter den Kern zu bestimmen. Hieraus folgt dass die ohne Dimension Konstante geschrieben werden kann:

:

&= {richten} gT^2/L\end </Mathematik> {aus}

In dimensionalen Begriffen:

:

der ohne Dimension ist. Da der Kern nur zu innerhalb einer multiplicative Konstante definiert wird, wenn die obengenannte ohne Dimension Konstante zu willkürlicher Macht erhoben wird, wird es eine andere gleichwertige ohne Dimension Konstante nachgeben.

Dieses Beispiel ist leicht, weil 3 der dimensionalen Mengen grundsätzliche Einheiten sind, so ist das letzte (g) eine Kombination des vorherigen. Bemerken Sie, dass, wenn Nichtnull waren, es keine Weise geben würde, die M Wert-deshalb ein Müssen zu annullieren, Null sein. Dimensionale Analyse hat uns erlaubt zu beschließen, dass die Periode des Pendels nicht eine Funktion seiner Masse ist. (Im 3D-Raum von Mächten der Masse, Zeit und Entfernung, können wir sagen, dass der Vektor für die Masse von den Vektoren für die drei anderen Variablen linear unabhängig ist. Bis zu einem Skalenfaktor, ist die einzige nichttriviale Weise, einen Vektoren eines ohne Dimension Parameters zu bauen.)

Das Modell kann jetzt als ausgedrückt werden:

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Das Annehmen des zeroes von f ist getrennt, wir können gT/L = C sagen, wo C die n-te Null ist. Wenn es nur eine Null, dann gT/L = C gibt. Es verlangt, dass mehr physische Scharfsinnigkeit oder ein Experiment zeigt, dass es tatsächlich nur eine Null gibt, und dass die Konstante tatsächlich durch C = 4π gegeben wird.

Für große Schwingungen eines Pendels wird die Analyse durch einen zusätzlichen ohne Dimension Parameter, den maximalen Schwingen-Winkel kompliziert. Die obengenannte Analyse ist eine gute Annäherung, weil sich der Winkel Null nähert.

Siehe auch

• Druckwelle-Welle
• Dimensionale Analyse
• Ohne Dimension Zahl
• Natürliche Einheiten
• Nondimensionalization
• Ähnlichkeit (Modell)
• Die Methode von Rayleigh der dimensionalen Analyse

Ausstellung

• Mike Sheppard, 2007 Systematische Suche nach Ausdrücken von Ohne Dimension Konstanten mit der NIST Datenbank von Physischen Konstanten

Ursprüngliche Quellen

Links

• Einige Rezensionen und ursprüngliche Quellen auf der Geschichte des Pi-Lehrsatzes und der Theorie der Ähnlichkeit (in Russisch)