In der abstrakten Algebra sind Felderweiterungen der Hauptgegenstand der Studie in der Feldtheorie. Die allgemeine Idee ist, mit einem Grundfeld und Konstruktion auf etwas Weise ein größeres Feld anzufangen, das das Grundfeld enthält und zusätzliche Eigenschaften befriedigt. Zum Beispiel ist der Satz Q (2) = {+ b2 | a, b  Q} die kleinste Erweiterung von Q, der jede echte Lösung der Gleichung x = 2 einschließt.

Definitionen

Lassen Sie L ein Feld sein. Wenn K eine Teilmenge des zu Grunde liegenden Satzes von L ist, der in Bezug auf die Feldoperationen und Gegenteile in L geschlossen wird, dann, wie man sagt, ist K ein Teilfeld von L, und, wie man sagt, ist L ein Erweiterungsfeld von K. Wir sagen dann, dass L/K, gelesen als "L über K", eine Felderweiterung ist.

Wenn L eine Erweiterung von F ist, der der Reihe nach eine Erweiterung von K ist, dann, wie man sagt, ist F ein Zwischenfeld (oder Zwischenerweiterung oder Suberweiterung) von der Felderweiterung L/K.

In Anbetracht einer Felderweiterung L/K und einer Teilmenge S L K zeigt (S) das kleinste Teilfeld von L an, der K und S, ein Feld enthält, das durch den adjunction von Elementen von S zu K erzeugt ist. Wenn S aus nur einem Element s besteht, K ist (s) eine Schnellschrift für K ({s}). Eine Felderweiterung der Form L = K (s) wird eine einfache Erweiterung genannt, und s wird ein primitives Element der Erweiterung genannt.

In Anbetracht einer Felderweiterung L/K dann kann L auch als ein Vektorraum über K betrachtet werden. Die Elemente von L sind die "Vektoren", und die Elemente von K sind die "Skalare", mit der Vektor-Hinzufügung und bei den entsprechenden Feldoperationen erhaltenen Skalarmultiplikation. Die Dimension dieses Vektorraums wird den Grad der Erweiterung genannt, und wird durch [L angezeigt: K].

Eine Erweiterung des Grads 1 (d. h. derjenige, wo L K gleich ist) wird eine triviale Erweiterung genannt. Erweiterungen des Grads 2 und 3 werden quadratische Erweiterungen und Kubikerweiterungen beziehungsweise genannt. Je nachdem, ob der Grad begrenzt oder unendlich ist, wird die Erweiterung eine begrenzte Erweiterung oder unendliche Erweiterung genannt.

Zeichen

Die Notation L/K ist rein formell und bezieht die Bildung eines Quotient-Rings oder Quotient-Gruppe oder jeder anderen Art der Abteilung nicht ein. In etwas Literatur die Notation wird L:K verwendet.

Es ist häufig wünschenswert, über Felderweiterungen in Situationen zu sprechen, wo das kleine Feld im größeren nicht wirklich enthalten wird, aber natürlich eingebettet wird. Für diesen Zweck definiert man abstrakt eine Felderweiterung als ein Injective-Ringhomomorphismus zwischen zwei Feldern.

Jeder Nichtnullringhomomorphismus zwischen Feldern ist injective, weil Felder nichttriviale richtige Ideale nicht besitzen, so sind Felderweiterungen genau der morphisms in der Kategorie von Feldern.

Künftig werden wir den injective Homomorphismus unterdrücken und annehmen, dass wir uns mit wirklichen Teilfeldern befassen.

Beispiele

Das Feld von komplexen Zahlen C ist ein Erweiterungsfeld des Feldes von reellen Zahlen R, und R ist der Reihe nach ein Erweiterungsfeld des Feldes von rationalen Zahlen Q. Klar dann ist C/Q auch eine Felderweiterung. Wir haben [C: R] = 2, weil {1 ich} eine Basis bin, so die Erweiterung ist C/R begrenzt. Das ist eine einfache Erweiterung weil C=R . [R: Q] = (der cardinality des Kontinuums), so ist diese Erweiterung unendlich.

Der Satz Q (2) = {+ b2 | a, b  Q} ist ein Erweiterungsfeld von Q, auch klar eine einfache Erweiterung. Der Grad ist 2, weil {1, 2} als eine Basis dienen kann. Begrenzte Erweiterungen von Q werden auch Felder der algebraischen Zahl genannt und sind in der Zahlentheorie wichtig.

Ein anderes Erweiterungsfeld des rationals, der im Geschmack ziemlich verschieden ist, ist das Feld von p-adic Zahlen Q für eine Primzahl p.

Es ist üblich, ein Erweiterungsfeld eines gegebenen Feldes K als ein Quotient-Ring des polynomischen Rings K [X] zu bauen, um eine Wurzel für ein gegebenes Polynom f (X) "zu schaffen". Nehmen Sie zum Beispiel an, dass K kein Element x mit x = 1 enthält. Dann ist das Polynom X + 1 in K [X] nicht zu vereinfachend, folglich ist das Ideal (X + 1) erzeugt durch dieses Polynom maximal, und L = K [X] / (X + 1) ist ein Erweiterungsfeld von K, der wirklich ein Element enthält, dessen Quadrat 1 (nämlich die Rückstand-Klasse X) ist.

Indem

man den obengenannten Aufbau wiederholt, kann man ein zerreißendes Feld jedes Polynoms von K [X] bauen. Das ist eine Erweiterung Feld L von K, in dem sich das gegebene Polynom in ein Produkt von geradlinigen Faktoren aufspaltet.

Wenn p eine Primzahl ist und n eine positive ganze Zahl ist, haben wir ein begrenztes Feld GF (p) mit p Elementen; das ist ein Erweiterungsfeld des begrenzten Feldes GF (p) = Z/pZ mit p Elementen.

In Anbetracht Feldes K können wir Feld K als (X) aller vernünftigen Funktionen in der Variable X mit Koeffizienten in K betrachten; die Elemente von K (X) sind Bruchteile von zwei Polynomen über K, und tatsächlich K (X) ist das Feld von Bruchteilen des polynomischen Rings K [X]. Dieses Feld von vernünftigen Funktionen ist ein Erweiterungsfeld von K. Diese Erweiterung ist unendlich.

In Anbetracht einer Oberfläche von Riemann M ist der Satz aller auf der M definierten Meromorphic-Funktionen ein Feld, das durch C (M) angezeigt ist. Es ist ein Erweiterungsfeld von C, wenn wir jede komplexe Zahl mit der entsprechenden unveränderlichen auf der M definierten Funktion identifizieren.

In Anbetracht einer algebraischen Vielfalt V über das ein Feld K dann ist das Funktionsfeld V, aus den vernünftigen Funktionen bestehend, die auf V definiert sind und durch K (V) angezeigt sind, ein Erweiterungsfeld von K.

Elementare Eigenschaften

Wenn L/K eine Felderweiterung ist, dann teilen L und K denselben 0 und denselben 1. Die zusätzliche Gruppe (K, +) ist eine Untergruppe (L, +), und die multiplicative Gruppe (K  {0}, ·) ist eine Untergruppe dessen (L  {0}, ·). Insbesondere wenn x ein Element von K ist, dann ist sein zusätzliches Gegenteil x geschätzt in K dasselbe als das zusätzliche Gegenteil von in L geschätztem x; dasselbe ist für multiplicative Gegenteile von Nichtnullelementen von K wahr.

Insbesondere dann sind die Eigenschaften von L und K dasselbe.

Algebraische und transzendentale Elemente

Wenn L eine Erweiterung von K ist, dann, wie man sagt, ist ein Element von L, der eine Wurzel eines Nichtnullpolynoms über K ist, über K algebraisch. Elemente, die nicht algebraisch sind, werden transzendental genannt. Als ein Beispiel:

• In C/R bin ich algebraisch, weil es eine Wurzel von x + 1 ist.
• In R/Q, 2 + 3 ist algebraisch, weil es eine Wurzel von x  10x + 1 ist
• In R/Q ist e transzendental, weil es kein Polynom mit vernünftigen Koeffizienten gibt, das e als eine Wurzel hat (sieh transzendente Zahl)
• In C/R ist e algebraisch, weil es die Wurzel von x  e ist

Der spezielle Fall von C/Q ist besonders wichtig, und die algebraische Namenzahl und transzendente Zahl werden verwendet, um die komplexen Zahlen zu beschreiben, die algebraisch und (beziehungsweise) über Q transzendental sind.

Wenn jedes Element von L über K algebraisch ist, dann, wie man sagt, ist die Erweiterung L/K eine algebraische Erweiterung; sonst, wie man sagt, ist es transzendental.

Eine Teilmenge S L wird algebraisch unabhängig über K genannt, wenn keine nichttriviale polynomische Beziehung mit Koeffizienten in K unter den Elementen von S besteht. Der größte cardinality eines algebraisch unabhängigen Satzes wird den Überlegenheitsgrad von L/K genannt. Es ist immer möglich, einen Satz S, algebraisch unabhängig über K, solch zu finden, dass L/K (S) algebraisch ist. Solch ein Satz S wird eine Überlegenheitsbasis von L/K genannt. Alle Überlegenheitsbasen haben denselben cardinality, der dem Überlegenheitsgrad der Erweiterung gleich ist. Wie man sagt, ist ein ErweiterungsL/K rein transzendental, wenn, und nur wenn dort eine Überlegenheitsbasis S solchen L/K dass L=K (S) besteht. Solch eine Erweiterung hat das Eigentum, dass alle Elemente von L außer denjenigen von K über K, aber jedoch transzendental sind, gibt es Erweiterungen mit diesem Eigentum, die nicht rein transzendental sind. Außerdem, wenn L/K rein transzendental ist und S eine Überlegenheitsbasis der Erweiterung ist, folgt es dem L=K (S) nicht notwendigerweise. (Denken Sie zum Beispiel die Erweiterung Q (x, x)/Q, wo x über Q transzendental ist. Der Satz {x} ist algebraisch unabhängig, da x transzendental ist. Offensichtlich ist die Erweiterung Q (x, x)/Q (x) algebraisch, folglich ist {x} eine Überlegenheitsbasis. Es erzeugt die ganze Erweiterung nicht, weil es keinen polynomischen Ausdruck in x für x gibt. Aber es ist leicht zu sehen, dass {x} eine Überlegenheitsbasis ist, die Q (x, x)) erzeugt, so ist diese Erweiterung tatsächlich rein transzendental.)

Es kann gezeigt werden, dass eine Erweiterung algebraisch ist, wenn, und nur wenn es der ist

Vereinigung seiner begrenzten Suberweiterungen. Insbesondere jede begrenzte Erweiterung ist algebraisch. Zum Beispiel,

• C/R und Q (2)/Q, begrenzt seiend, sind algebraisch.
• R/Q, ist obwohl nicht rein transzendental transzendental.
• K (X) ist/K rein transzendental.

Eine einfache Erweiterung, ist wenn erzeugt, durch ein algebraisches Element begrenzt, und wenn erzeugt, durch ein transzendentales Element rein transzendental. So

• R/Q ist nicht einfach, weil es weder begrenzt noch rein transzendental ist.

Jedes Feld K hat einen algebraischen Verschluss; das ist im Wesentlichen das größte Erweiterungsfeld von K, der über K algebraisch ist, und der alle Wurzeln aller polynomischen Gleichungen mit Koeffizienten in K enthält. Zum Beispiel ist C der algebraische Verschluss von R.

Normal, trennbar und Erweiterungen von Galois

Ein algebraischer ErweiterungsL/K wird normal genannt, wenn jedes nicht zu vereinfachende Polynom in K [X], der eine Wurzel in L völlig Faktoren in geradlinige Faktoren über L hat. Jeder algebraische ErweiterungsF/K lässt einen normalen Verschluss L zu, der ein Erweiterungsfeld von solchem F ist, dass L/K normal ist, und der mit diesem Eigentum minimal ist.

Eine algebraische Erweiterung L/K wird trennbar genannt, wenn das minimale Polynom jedes Elements von L über K trennbar ist, d. h., hat keine wiederholten Wurzeln in einem algebraischen Verschluss über K. Eine Galois Erweiterung ist eine Felderweiterung, die sowohl normal als auch trennbar ist.

Eine Folge des primitiven Element-Lehrsatzes stellt fest, dass jede begrenzte trennbare Erweiterung ein primitives Element hat (d. h. einfach ist).

In Anbetracht jeder Felderweiterung L/K können wir seine automorphism Gruppe als Aut (L/K) betrachten, aus dem ganzen Feld automorphisms α bestehend: L  L mit α (x) = x für den ganzen x in K. Wenn die Erweiterung Galois ist, wird diese automorphism Gruppe die Gruppe von Galois der Erweiterung genannt. Erweiterungen, deren Gruppe von Galois abelian ist, werden abelian Erweiterungen genannt.

Für eine gegebene Felderweiterung L/K interessiert man sich häufig für die Zwischenfelder F (Teilfelder von L, die K enthalten). Die Bedeutung von Erweiterungen von Galois und Gruppen von Galois besteht darin, dass sie eine ganze Beschreibung der Zwischenfelder erlauben: Es gibt eine Bijektion zwischen den Zwischenfeldern und den Untergruppen der Gruppe von Galois, die durch den Hauptsatz der Theorie von Galois beschrieben ist.

Generalisationen

Felderweiterungen können verallgemeinert werden, um Erweiterungen anzurufen, die aus einem Ring und einem seiner Subringe bestehen. Ein näheres Nichtersatzanalogon ist einfache Hauptalgebra (CSAs) - Ringerweiterungen über ein Feld, die einfache Algebra (keine nichttrivialen 2-seitigen Ideale, ebenso für ein Feld) sind, und wo das Zentrum des Rings genau das Feld ist. Zum Beispiel ist die einzige begrenzte Felderweiterung der reellen Zahlen die komplexen Zahlen, während die quaternions eine einfache Hauptalgebra über den reals sind, und alle CSAs über den reals Brauer sind, der zum reals oder dem quaternions gleichwertig ist. CSAs kann weiter zu Algebra von Azumaya verallgemeinert werden, wo das Grundfeld durch einen lokalen Ersatzring ersetzt wird.

Erweiterung von Skalaren

In Anbetracht einer Felderweiterung kann man Skalare" auf verbundenen algebraischen Gegenständen "erweitern. Zum Beispiel, in Anbetracht eines echten Vektorraums, kann man einen komplizierten Vektorraum über complexification erzeugen. Zusätzlich zu Vektorräumen kann man Erweiterung von Skalaren für assoziative Algebra über den definierten über das Feld, wie Polynome oder Gruppenalgebra und die verbundenen Gruppendarstellungen durchführen. Die Erweiterung von Skalaren von Polynomen wird häufig implizit verwendet, indem sie gerade die Koeffizienten betrachtet wird, als seiend Elemente eines größeren Feldes, aber kann auch mehr formell betrachtet werden. Die Erweiterung von Skalaren hat zahlreiche Anwendungen, wie besprochen, in der Erweiterung von Skalaren: Anwendungen.

Siehe auch

• Feldtheorie
• Wörterverzeichnis der Feldtheorie
• Turm von Feldern
• Primäre Erweiterung
• Regelmäßige Erweiterung

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