In der Mathematik, und ist besonders Topologie, ein Faser-Bündel (oder, auf britischem Englisch, Faser-Bündel) intuitiv ein Raum, der lokal wie ein bestimmter Produktraum "schaut", aber allgemein eine verschiedene topologische Struktur haben kann. Spezifisch, die Ähnlichkeit zwischen der Faser stopfen E, und ein Produktraum B × wird F mit einem dauernden surjective Karte definiert

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das in kleinen Gebieten von E benimmt sich gerade wie ein Vorsprung von entsprechenden Gebieten von B × F zu B. Die Karte π, genannt den Vorsprung oder das Untertauchen des Bündels, wird als ein Teil der Struktur des Bündels betrachtet. Der Raum E ist als der Gesamtraum des Faser-Bündels, B als der Grundraum und F die Faser bekannt.

Im trivialen Fall ist E gerade B × F, und die Karte π ist gerade der Vorsprung vom Produktraum bis den ersten Faktor. Das wird ein triviales Bündel genannt. Beispiele von nichttrivialen Faser-Bündeln, d. h. im großen gedrehte Bündel, schließen den Streifen von Möbius und die Flasche von Klein, sowie die nichttrivialen Bedeckungsräume ein. Faser-Bündel wie das Tangente-Bündel eines mannigfaltigen und allgemeineren Vektoren machen sich davon spielen eine wichtige Rolle in der Differenzialgeometrie und Differenzialtopologie, wie Hauptbündel tun.

Mappings, welcher Faktor über die Vorsprung-Karte als Bündel-Karten und der Satz von Faser-Bündeln bekannt ist, bildet eine Kategorie in Bezug auf solchen mappings. Eine Bündel-Karte vom Grundraum selbst (mit der Identität, die als Vorsprung kartografisch darstellt) zu E, wird eine Abteilung von E genannt. Faser-Bündel können auf mehrere Weisen verallgemeinert, am üblichsten werden, von denen verlangt, dass der Übergang zwischen den lokalen trivialen Flecken in einer bestimmten topologischen Gruppe liegen sollte, die als die Struktur-Gruppe bekannt ist, der Faser F folgend.

Formelle Definition

Ein Faser-Bündel besteht aus den Daten (E, B, π, F), wo E, B, und F topologische Räume und π sind: E  ist B eine dauernde Surjektion, die eine lokale Bedeutungslosigkeitsbedingung befriedigt, die unten entworfen ist. Der Raum B wird den Grundraum des Bündels, E der Gesamtraum und F die Faser genannt. Die Karte π wird die Vorsprung-Karte (oder Bündel-Vorsprung) genannt. Wir werden darin annehmen, was dem folgt, wird der Grundraum B verbunden.

Wir verlangen, dass für jeden x in E es eine offene Nachbarschaft U  B von π (x) gibt (der eine bagatellisierende Nachbarschaft genannt wird) solch, dass π (U) homeomorphic zum Produktraum U × F, auf solche Art und Weise das ist, trägt π zum Vorsprung auf den ersten Faktor vor. D. h. das folgende Diagramm sollte pendeln:

wo proj: U × F  ist U der natürliche Vorsprung und φ: π (U)  U × F ist ein homeomorphism. Der Satz von allen {(U, φ)} wird einen lokalen trivialization des Bündels genannt.

So für jeden p in B ist das Vorimage π ({p}) homeomorphic zu F (da proj ({p}) klar ist) und die Faser über p genannt wird. Jedes Faser-Bündel π: E  ist B eine offene Karte, da Vorsprünge von Produkten offene Karten sind. Deshalb trägt B die Quotient-Topologie, die durch die Karte π bestimmt ist.

Ein Faser-Bündel (E, B, π, F) wird häufig angezeigt

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das, in der Analogie mit einer kurzen genauen Folge, zeigt an, welcher Raum die Faser, der ganze Raum- und Grundraum, sowie die Karte vom ganzen ist, um Raum zu stützen.

Ein glattes Faser-Bündel ist ein Faser-Bündel in der Kategorie von glatten Sammelleitungen. D. h. E, B, und F sind erforderlich, glatte Sammelleitungen zu sein, und alle Funktionen sind oben erforderlich, glatte Karten zu sein.

Beispiele

Triviales Bündel

Lassen Sie E = B × F und lassen Sie π: E  B, der Vorsprung auf den ersten Faktor sein. Dann ist E ein Faser-Bündel (F) über B. Hier ist E nicht nur lokal ein Produkt, aber allgemein ein. Jedes solches Faser-Bündel wird ein triviales Bündel genannt. Jedes Faser-Bündel über einen contractible CW-Komplex ist trivial.

Streifen von Möbius

Vielleicht ist das einfachste Beispiel eines nichttrivialen Bündels E der Streifen von Möbius. Es hat den Kreis, der längs entlang dem Zentrum des Streifens als eine Basis B und ein Liniensegment für die Faser F läuft, so ist der Streifen von Möbius ein Bündel des Liniensegmentes über den Kreis. Eine Nachbarschaft U eines Punkts x  B ist ein Kreisbogen; im Bild ist das die Länge von einem der Quadrate. Das Vorimage im Bild ist (etwas gedreht) Scheibe des Streifens vier Quadrate breit und ein langes. Der homeomorphism φ stellt das Vorimage von U zu einer Scheibe eines Zylinders kartografisch dar: gekrümmt, aber nicht gedreht.

Das entsprechende triviale Bündel B × F würde ein Zylinder sein, aber der Streifen von Möbius hat eine gesamte "Drehung". Bemerken Sie, dass diese Drehung nur allgemein sichtbar ist; lokal sind der Streifen von Möbius und der Zylinder identisch (das Bilden einer einzelnen vertikalen Kürzung in irgendeinem gibt denselben Raum).

Flasche von Klein

Ein ähnliches nichttriviales Bündel ist die Flasche von Klein, die als ein "gedrehtes" Kreisbündel über einen anderen Kreis angesehen werden kann. Das entsprechende nichtgedrehte (triviale) Bündel ist der 2-Ringe-, S × S.

Bedeckung der Karte

Ein Bedeckungsraum ist ein solches Faser-Bündel, dass der Bündel-Vorsprung ein lokaler homeomorphism ist. Es folgt insbesondere dass die Faser ein getrennter Raum ist.

Vektor und Hauptbündel

Eine spezielle Klasse von Faser-Bündeln, genannt Vektor-Bündel, ist diejenigen, deren Fasern Vektorräume sind (um sich als ein Vektor-Bündel zu qualifizieren, das die Struktur-Gruppe des Bündels — unten sieht — muss eine geradlinige Gruppe sein). Wichtige Beispiele von Vektor-Bündeln schließen das Tangente-Bündel und Kotangens-Bündel einer glatten Sammelleitung ein. Von jedem Vektor-Bündel kann man das Rahmenbündel von Basen bauen, das ein Hauptbündel (sieh unten) ist.

Eine andere spezielle Klasse von Faser-Bündeln, genannt Hauptbündel, ist Bündel, auf deren Fasern eine freie und transitive Handlung durch eine Gruppe G gegeben wird, so dass jede Faser ein homogener Hauptraum ist. Das Bündel wird häufig zusammen mit der Gruppe durch das Kennzeichnen davon als ein HauptG-Bündel angegeben. Die Gruppe G ist auch die Struktur-Gruppe des Bündels. In Anbetracht einer Darstellung ρ G auf einem Vektorraum V, ein Vektor-Bündel mit ρ (G) Aut (V) als eine Struktur-Gruppe kann gebaut, als das verbundene Bündel bekannt werden.

Bereich-Bündel

Ein Bereich-Bündel ist ein Faser-Bündel, dessen Faser ein N-Bereich ist. In Anbetracht eines Vektor-Bündel-E mit einem metrischen (wie das Tangente-Bündel zu einer Sammelleitung von Riemannian) kann man das verbundene Einheitsbereich-Bündel bauen, für das die Faser über einen Punkt x der Satz aller Einheitsvektoren in E ist. Wenn das fragliche Vektor-Bündel das Tangente-Bündel T (M) ist, ist das Einheitsbereich-Bündel als das Einheitstangente-Bündel bekannt, und wird UT (M) angezeigt.

Ein Bereich-Bündel wird durch seine Klasse von Euler teilweise charakterisiert, die ein Grad n+1 cohomology Klasse im Gesamtraum des Bündels ist. Im Fall n=1 das Bereich-Bündel wird ein Kreisbündel genannt, und die Klasse von Euler ist der ersten Klasse von Chern gleich, die die Topologie des Bündels völlig charakterisiert. Für jeden n, in Anbetracht der Klasse von Euler eines Bündels, kann man seinen cohomology berechnen, den das Verwenden einer langen genauen Folge die Folge von Gysin genannt hat.

Ringe kartografisch darzustellen

Wenn X ein topologischer Raum ist und f:X  X ein homeomorphism dann der kartografisch darstellende Ring ist, hat M eine natürliche Struktur eines Faser-Bündels über den Kreis mit der Faser X. Kartografisch darstellende Ringe von homeomorphisms von Oberflächen sind von besonderer Wichtigkeit in der 3-Sammelleitungen-Topologie.

Quotient-Räume

Wenn G eine topologische Gruppe ist und H eine geschlossene Untergruppe ist, dann unter einigen Verhältnissen der Quotient-Raum stellen G/H zusammen mit dem Quotienten π kartografisch dar: G  ist G/H ein Faser-Bündel, dessen Faser der topologische Raum H ist. Eine notwendige und genügend Bedingung für (G, G/H, π, H), um ein Faser-Bündel zu bilden, besteht darin, dass π kartografisch darzustellen, lokale Querschnitte zulässt.

Die allgemeinsten Bedingungen, unter denen die Quotient-Karte lokale Querschnitte zulassen wird, sind obwohl nicht bekannt, wenn G eine Lüge-Gruppe und H eine geschlossene Untergruppe (und so eine Lüge-Untergruppe durch den Lehrsatz von Cartan) ist, dann ist die Quotient-Karte ein Faser-Bündel. Ein Beispiel davon ist Hopf fibration, S  S, der ein Faser-Bündel über den Bereich S ist, dessen Gesamtraum S ist. Von der Perspektive von Lüge-Gruppen kann S mit der speziellen einheitlichen Gruppe SU (2) identifiziert werden. Die abelian Untergruppe von Diagonalmatrizen ist zur Kreisgruppe U (1), und der Quotient SU (2) isomorph/U (1) ist diffeomorphic zum Bereich.

Mehr allgemein, wenn G eine topologische Gruppe und H eine geschlossene Untergruppe ist, die auch zufällig eine Lüge-Gruppe ist, dann G  ist G/H ein Faser-Bündel.

Abteilungen

Eine Abteilung (oder böse Abteilung) eines Faser-Bündels sind eine dauernde Karte f: B  E solch dass π (f (x)) =x für den ganzen x in B. Da Bündel allgemein definierte Abteilungen nicht im Allgemeinen haben, ist einer der Zwecke der Theorie, für ihre Existenz verantwortlich zu sein. Das Hindernis für die Existenz einer Abteilung kann häufig durch eine cohomology Klasse gemessen werden, die zur Theorie von charakteristischen Klassen in der algebraischen Topologie führt.

Das wohl bekannteste Beispiel ist der haarige Ball-Lehrsatz, wo die Klasse von Euler das Hindernis für das Tangente-Bündel ist, eine nirgends verschwindende Abteilung 2-Bereiche-zu haben.

Häufig würde man gern Abteilungen nur lokal definieren (besonders, wenn globale Abteilungen nicht bestehen). Eine lokale Abteilung eines Faser-Bündels ist eine dauernde Karte f: U  E, wo U ein offener Satz in B und π (f (x)) =x für den ganzen x in U ist. Wenn (U, φ) eine lokale trivialization Karte dann ist, bestehen lokale Abteilungen immer über U. Solche Abteilungen sind in 1-1 Ähnlichkeit mit dauernden Karten U  F. Abteilungen bilden ein Bündel.

Struktur-Gruppen und Übergang-Funktionen

Faser-Bündel kommen häufig mit einer Gruppe von symmetries, die die zusammenpassenden Bedingungen zwischen der Überschneidung auf lokale trivialization Karten beschreiben. Lassen Sie spezifisch G eine topologische Gruppe sein, die unaufhörlich auf dem Faser-Raum F links handelt. Wir verlieren nichts, wenn wir verlangen, dass G effektiv auf F handelt, so dass davon als eine Gruppe von homeomorphisms von F gedacht werden kann. Ein G-Atlas für das Bündel (E, B, π, F) ist ein lokaler trivialization solch das für irgendwelche zwei überlappenden Karten (U, φ) und (U, φ) die Funktion

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wird durch gegeben

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wo t: U  U  ist G eine dauernde Karte genannt eine Übergang-Funktion. Zwei G-Atlasse sind gleichwertig, wenn ihre Vereinigung auch ein G-Atlas ist. Ein G-Bündel' ist ein Faser-Bündel mit einer Gleichwertigkeitsklasse von G-Atlassen. Die Gruppe G wird die Struktur-Gruppe des Bündels genannt; der analoge Begriff in der Physik ist Maß-Gruppe.

In der glatten Kategorie ist ein G-Bündel ein glattes Faser-Bündel, wo G eine Lüge-Gruppe ist und die entsprechende Handlung auf F glatt ist und die Übergang-Funktionen alle glatten Karten sind.

Die Übergang-Funktionen t befriedigen die folgenden Bedingungen

Die dritte Bedingung gilt an dreifache Übergreifen U  U  U und wird die cocycle Bedingung genannt (sieh Čech cohomology). Die Wichtigkeit davon besteht darin, dass die Übergang-Funktionen das Faser-Bündel bestimmen (wenn man den Čech cocycle Bedingung annimmt).

Ein HauptG-Bündel ist ein G-Bündel, wo die Faser F ein homogener Hauptraum für die linke Handlung von G selbst ist (gleichwertig, kann man angeben, dass die Handlung von G auf der Faser F frei und transitiv ist). In diesem Fall ist es häufig eine Sache der Bequemlichkeit, F mit G zu identifizieren und so eine (richtige) Handlung von G auf dem Hauptbündel zu erhalten.

Bündel-Karten

Es ist nützlich, Begriffe zu haben, zwischen zwei Faser-Bündeln kartografisch darzustellen. Nehmen Sie an, dass M und N Grundräume und π sind: E  M und π: F  sind N Faser-Bündel über die M und N beziehungsweise. Eine Bündel-Karte (oder Bündel morphism) besteht aus einem Paar von dauernden Funktionen

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solch dass. D. h. das folgende Diagramm pendelt:

Für Faser-Bündel mit der Struktur-Gruppe G (wie ein Hauptbündel), machen Sie sich davon morphisms sind auch erforderlich, G-equivariant auf den Fasern zu sein.

Im Falle dass die Grundräume M und N, fallen dann ein Bündel morphism über die M von der Faser zusammen, π stopfen: E  M zu π: F  M ist eine Karte φ: E  F solch dass. D. h. das Diagramm tauscht ein

Ein Bündel-Isomorphismus ist eine Bündel-Karte, die auch ein homeomorphism ist.

Faser-Bündel von Differentiable

In der Kategorie von Differentiable-Sammelleitungen entstehen Faser-Bündel natürlich als Untertauchen einer Sammelleitung zu einem anderen. Nicht jeder (differentiable) Untertauchen-ƒ: M  N von einer Differentiable-SammelleitungsM bis einen anderen Differentiable-SammelleitungsN verursacht ein differentiable Faser-Bündel. Erstens einmal muss die Karte surjective sein. Jedoch ist diese notwendige Bedingung nicht ziemlich genügend, und es gibt eine Vielfalt von genügend Bedingungen in der üblichen Anwendung.

Wenn M und N kompakt und, dann ein Untertauchen f verbunden sind: M  N verursacht ein Faser-Bündel im Sinn, dass es einen Faser-Raum F diffeomorphic zu jeder der solcher Fasern gibt, dass (E, B, π, F) = (M, N, ƒ, F) ein Faser-Bündel ist. (Surjectivity von ƒ folgt durch die Annahmen bereits gegeben in diesem Fall.) Mehr allgemein kann die Annahme der Kompaktheit wenn der Untertauchen-ƒ entspannt werden: Wie man annimmt, ist M  N eine surjective richtige Karte, bedeutend, dass ƒ (K) für jede Kompaktteilmenge K N kompakt ist. Eine andere genügend Bedingung, wegen, besteht dass wenn ƒ darin: M  N ist ein surjective Untertauchen mit der M, und N vervielfältigt differentiable solch, dass der Vorbild-ƒ {x} kompakt und für den ganzen x  N verbunden ist, dann lässt ƒ eine vereinbare Faser-Bündel-Struktur zu.

Generalisationen

• Der Begriff eines Bündels gilt für noch viele Kategorien in der Mathematik, auf Kosten des passenden Änderns der lokalen Bedeutungslosigkeitsbedingung.
• In der Topologie ist ein fibration π kartografisch darzustellen: E  B, der bestimmte homotopy-theoretische Eigenschaften genau wie Faser-Bündel hat. Spezifisch unter milden technischen Annahmen hat ein Faser-Bündel immer den homotopy das Heben des Eigentums oder homotopy Bedeckung des Eigentums (sieh Steenrod 1951, 11.7, für Details). Das ist das Definieren-Eigentum eines fibration.

Siehe auch

• Bedeckung der Karte
• Fibration
• Maß-Theorie
• Hopf stopfen
• Hauptbündel
• Hemmnis-Bündel
• Universales Bündel

Zeichen

• .

.

• (um zu erscheinen).

Außenverbindungen

• Faser-Bündel, PlanetMath
• Das Bilden der symbolischen Skulptur von John Robinson `Ewigkeit'
• Sardanashvily, G., Faser-Bündel, Strahlsammelleitungen und Theorie von Lagrangian. Vorträge für Theoretiker, arXiv: 0908.1886