In der Mathematik stellt der Lehrsatz von Tychonoff fest, dass das Produkt jeder Sammlung von topologischen Kompakträumen kompakt ist. Der Lehrsatz wird nach Andrey Nikolayevich Tychonoff genannt, der es zuerst 1930 für Mächte des geschlossenen Einheitszwischenraums bewiesen hat und 1935 den vollen Lehrsatz zusammen mit der Bemerkung festgesetzt hat, dass sein Beweis dasselbe bezüglich des speziellen Falls war. Der frühste bekannte veröffentlichte Beweis wird in einer 1937-Zeitung von Eduard Čech enthalten.

Mehrere Texte identifizieren den Lehrsatz von Tychonoff als das einzelne wichtigste Ergebnis in der allgemeinen Topologie [z.B Willard, p. 120]; andere erlauben ihm, diese Ehre mit dem Lemma von Urysohn zu teilen.

Definition

Der Lehrsatz hängt entscheidend von den genauen Definitionen der Kompaktheit und von der Produkttopologie ab; tatsächlich definiert das 1935-Papier von Tychonoff die Produkttopologie zum ersten Mal. Umgekehrt, Teil

seiner Wichtigkeit soll Vertrauen geben, dass diese besonderen Definitionen das richtige (d. h., am nützlichsten) sind

.

Tatsächlich ist die Definition von Heine-Borel der Kompaktheit — dass jede Bedeckung eines Raums durch offene Sätze eine begrenzte Subbedeckung zulässt — relativ neu. Populärer in den 19. und frühen 20. Jahrhunderten war das Bolzano-Weierstrass Kriterium, dass jede Folge eine konvergente Subfolge, jetzt genannt folgende Kompaktheit zulässt. Diese Bedingungen sind für metrizable Räume gleichwertig, aber keiner bezieht anderen auf der Klasse aller topologischen Räume ein.

Es ist fast trivial, um zu beweisen, dass das Produkt von zwei folgend kompakten Räumen folgend kompakt ist — geht man zu einer Subfolge für den ersten Bestandteil und dann einen subsubsequence für den zweiten Bestandteil. Ein einziges ein bisschen mehr wohl durchdachtes "diagonalization" Argument gründet die folgende Kompaktheit eines zählbaren Produktes folgend kompakter Räume. Jedoch scheitert das Produkt des Kontinuums viele Kopien des geschlossenen Einheitszwischenraums, folgend kompakt zu sein.

Das ist ein kritischer Misserfolg: Wenn X ein völlig regelmäßiger Raum von Hausdorff ist, gibt es ein natürliches Einbetten von X in [0,1], wo C (X, [0,1]) der Satz von dauernden Karten von X bis [0,1] ist. Die Kompaktheit [0,1] so Shows, die jeder völlig regelmäßige Raum von Hausdorff in einem Kompaktraum von Hausdorff einbettet (oder, kann "compactified" sein.) Dieser Aufbau ist Stein-Čech compactification. Umgekehrt sind alle Subräume von Kompakträumen von Hausdorff völlig regelmäßiger Hausdorff, so charakterisiert das die völlig regelmäßigen Räume von Hausdorff als diejenigen, die compactified sein können. Solche Räume werden jetzt Räume von Tychonoff genannt.

Anwendungen

Der Lehrsatz von Tychonoff ist verwendet worden, um viele andere mathematische Lehrsätze zu beweisen. Diese schließen Lehrsätze über die Kompaktheit von bestimmten Räumen wie der Banach-Alaoglu Lehrsatz auf der Kompaktheit des Einheitsballs des Doppelraums eines normed Vektorraums und der Arzelà-Ascoli Lehrsatz ein, der die Folgen von Funktionen charakterisiert, in denen jede Subfolge eine gleichförmig konvergente Subfolge hat. Sie schließen auch Behauptungen ein, die weniger offensichtlich mit der Kompaktheit wie der Lehrsatz von De Bruijn-Erdős verbunden sind feststellend, dass jeder minimale k-chromatic Graph, und der Lehrsatz von Curtis-Hedlund-Lyndon begrenzt ist, der eine topologische Charakterisierung von Zellautomaten zur Verfügung stellt.

Als Faustregel wird jede Sorte des Aufbaus, der als Eingang einen ziemlich allgemeinen Gegenstand (häufig einer algebraischen oder topologisch-algebraischen Natur) und Produktionen ein Kompaktraum nimmt, wahrscheinlich Tychonoff verwenden: z.B, der Raum von Gelfand von maximalen Idealen einer ErsatzC* Algebra, der Steinraum von maximalen Idealen einer Algebra von Boolean und dem Spektrum von Berkovich eines Ersatzrings von Banach.

Beweise des Lehrsatzes von Tychonoff

1) Der 1930-Beweis von Tychonoff hat das Konzept eines ganzen Anhäufungspunkts verwendet.

2) Der Lehrsatz ist eine schnelle Folgeerscheinung des Subgrundlehrsatzes von Alexander.

Modernere Beweise sind durch die folgenden Rücksichten motiviert worden: Die Annäherung an die Kompaktheit über die Konvergenz von Subfolgen führt zu einem einfachen und durchsichtigen Beweis im Fall von zählbaren Index-Sätzen. Jedoch ist die Annäherung an die Konvergenz in einem topologischen Raum mit Folgen genügend, wenn der Raum das erste Axiom von countability befriedigt (wie metrizable Räume tun), aber allgemein nicht sonst. Jedoch scheitert das Produkt von unzählbar vielen metrizable Räumen, jedem mit mindestens zwei Punkten, zuerst zählbar zu sein. So ist es natürlich zu hoffen, dass ein passender Begriff der Konvergenz in willkürlichen Räumen zu einem Kompaktheitskriterium führen wird, folgende Kompaktheit in metrizable Räumen verallgemeinernd, die als leicht angewandt werden, um die Kompaktheit von Produkten abzuleiten. Das hat sich erwiesen der Fall zu sein.

3) Die Theorie der Konvergenz über Filter, wegen Henri Cartans und entwickelt von Bourbaki 1937, führt zum folgenden Kriterium: Das Ultrafilterlemma annehmend, ist ein Raum kompakt, wenn, und nur wenn jeder Ultrafilter auf dem Raum zusammenläuft. Damit in der Hand wird der Beweis leicht: (Filter, der durch erzeugt ist), ist das Image eines Ultrafilters auf dem Produktraum laut jeder Vorsprung-Karte ein Ultrafilter auf dem Faktor-Raum, der deshalb zu mindestens einem x zusammenläuft. Man zeigt dann, dass der ursprüngliche Ultrafilter zu x = (x) zusammenläuft. In seinem Lehrbuch gibt Munkres ein Überarbeiten des Cartan-Bourbaki Beweises, der keine filtertheoretische Sprache oder Einleitungen ausführlich verwendet.

4) Ähnlich führt die Theorie von Moore-Smith der Konvergenz über Netze, wie ergänzt, durch den Begriff von Kelley eines universalen Netzes, zum Kriterium, dass ein Raum kompakt ist, wenn, und nur wenn jedes universale Netz auf dem Raum zusammenläuft. Dieses Kriterium führt zu einem Beweis (Kelley, 1950) des Lehrsatzes von Tychonoff, der Wort für Wort zum Cartan/Bourbaki Beweis mit Filtern, bis auf den wiederholten Ersatz des "universalen Netzes" für die "Ultrafilterbasis", identisch ist.

5) Ein Beweis mit Netzen, aber nicht universalen Netzen wurde 1992 von Paul Chernoff gegeben.

Der Lehrsatz von Tychonoff und das Axiom der Wahl

Alle obengenannten Beweise verwenden das Axiom der Wahl (AC) irgendwie. Zum Beispiel der dritte Probegebrauch, dass jeder Filter in einem Ultrafilter (d. h., einem maximalen Filter) enthalten wird, und wird das durch das Hervorrufen des Lemmas von Zorn gesehen. Das Lemma von Zorn wird auch verwendet, um den Lehrsatz von Kelley zu beweisen, dass jedes Netz ein universales Teilnetz hat. Tatsächlich ist dieser Gebrauch von AC notwendig: 1950 hat Kelley bewiesen, dass der Lehrsatz von Tychonoff das Axiom der Wahl einbezieht. Bemerken Sie, dass eine Formulierung von AC ist, dass das Kartesianische Produkt einer Familie von nichtleeren Sätzen nichtleer ist; aber da der leere Satz am meisten sicher kompakt ist, kann der Beweis nicht entlang solchen aufrichtigen Linien weitergehen. So schließt sich der Lehrsatz von Tychonoff mehreren anderen grundlegenden Lehrsätzen an (z.B, dass jeder Nichtnullvektorraum eine Basis hat), indem er gleichwertig zu AC ist.

Andererseits bezieht die Behauptung, dass jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten wird, AC nicht ein. Tatsächlich ist es nicht hart zu sehen, dass es zum Boolean Idealen Hauptlehrsatz (BPIT), einem wohl bekannten Zwischenpunkt zwischen den Axiomen der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF) und der ZF Theorie gleichwertig ist, die durch das Axiom der Wahl (ZFC) vermehrt ist. Ein erster flüchtiger Blick am zweiten Beweis von Tychnoff kann darauf hinweisen, dass der Beweis nicht mehr als (BPIT) im Widerspruch zum obengenannten verwendet. Jedoch sind die Räume, in denen jeder konvergente Filter eine einzigartige Grenze hat, genau die Räume von Hausdorff. Im Allgemeinen müssen wir, für jedes Element des Index-Satzes, ein Element des nichtleeren Satzes von Grenzen der geplanten Ultrafilterbasis auswählen, und natürlich verwendet das AC. Jedoch zeigt es auch, dass die Kompaktheit des Produktes von Kompakträumen von Hausdorff verwendend (BPIT) bewiesen werden kann, und tatsächlich das gegenteilige auch hält. Das Studieren der Kraft des Lehrsatzes von Tychonoff für verschiedene eingeschränkte Klassen von Räumen ist ein aktives Gebiet in der mit dem Satz theoretischen Topologie.

Die Entsprechung des Lehrsatzes von Tychonoff in der sinnlosen Topologie verlangt keine Form des Axioms der Wahl.

Beweis des Axioms der Wahl vom Lehrsatz von Tychonoff

Um zu beweisen, dass der Lehrsatz von Tychonoff in seiner allgemeinen Version das Axiom der Wahl einbezieht, stellen wir fest, dass jedes unendliche kartesianische Produkt von nichtleeren Sätzen nichtleer ist. Es ist wirklich ein verständlicherer Beweis als das obengenannte (wahrscheinlich, weil es das Lemma von Zorn nicht einschließt, das den meisten Mathematikern ziemlich undurchsichtig ist, so weit Intuition betroffen wird!). Der heikelste Teil des Beweises führt die richtige Topologie ein. Die richtige Topologie, wie es sich erweist, ist die cofinite Topologie mit einer kleinen Drehung. Es stellt sich heraus, dass jeder Satz gegeben diese Topologie automatisch ein Kompaktraum wird. Sobald wir diese Tatsache haben, kann der Lehrsatz von Tychonoff angewandt werden; wir verwenden dann die FIP Definition der Kompaktheit (der FIP ist günstig sicher!). Irgendwie, um zum Beweis selbst (wegen J.L. Kelleys) zu kommen:

Lassen Sie eine mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Familie von nichtleeren Sätzen sein, weil ich, sich in mir erstreckend (wo ich ein willkürlicher Indexieren-Satz bin). Wir möchten zeigen, dass das kartesianische Produkt dieser Sätze nichtleer ist. Jetzt, für jeden ich, nehmen Sie X, Um mit dem Index i zu sein, der selbst darauf geheftet ist (Umbenennung der Indizes mit der zusammenhanglosen Vereinigung nötigenfalls, wir können annehmen, dass ich nicht ein Mitglied von A bin, also einfach nehmen Sie X = Ein  {ich}).

Jetzt das Definieren kartesianischen Produktes

:

zusammen mit dem natürlichen Vorsprung stellt &pi kartografisch dar; die ein Mitglied X zu seinem Ith-Begriff bringen.

Jetzt ist hier der Trick: Wir geben jedem X die Topologie, deren offene Sätze die cofinite Teilmengen X, plus der leere Satz (die cofinite Topologie) und der Singleton {ich} sind.

Das macht X kompakt, und durch den Lehrsatz von Tychonoff, X ist auch (in der Produkttopologie) kompakt. Die Vorsprung-Karten sind dauernd; der ganze A wird geschlossen, Ergänzungen des Singletons offener Satz {ich} in X seiend. So die umgekehrten Images π (A) sind geschlossene Teilmengen X. Wir bemerken das

:

und beweisen Sie, dass diese umgekehrten Images nichtleer sind und den FIP haben. Lassen Sie mich..., ich eine begrenzte Sammlung von Indizes in mir sein. Dann das begrenzte Produkt ×... × ein

ist

nichtleer (nur begrenzt viele Wahlen hier, so kein erforderlicher AC!); es besteht bloß aus N-Tupeln. Lassen Sie = (a..., a) solch ein N-Tupel sein. Wir "strecken" "uns" bis zu den ganzen Index-Satz "aus": Nehmen Sie zur Funktion f definiert durch f (j) = wenn j = ich und f (j) = j sonst. Dieser Schritt besteht darin, wo die Hinzufügung des Extrapunkts zu jedem Raum entscheidend ist (wir sind alle diese Schwierigkeiten für nichts nicht durchgegangen!), weil es uns erlaubt, f für alles außerhalb des N-Tupels auf eine genaue Weise ohne Wahlen zu definieren (wir können bereits," durch den Aufbau, j von X "wählen). π (f) = offensichtlich eines Elements von jedem zu sein, so dass f in jedem umgekehrten Image ist; so haben wir

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Durch die FIP Definition der Kompaktheit, der kompletten Kreuzung über muss mich nichtleer sein, und wir werden getan.

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Links

• Der Lehrsatz von Tychonoff an ProofWiki