In der Mathematik ist ein messbarer Kardinal eine bestimmte Art der großen Grundzahl.

Messbar

Formell ist ein messbarer Kardinal eine unzählbare Grundzahl κ solch, dass dort ein κ-additive, nichttrivial, 0 1 geschätztes Maß auf dem Macht-Satz von κ besteht. (Hier bedeutet der Begriff κ-additive dass, für jede Folge A, α pairwise zu sein, nimmt Sätze von Ordnungszahlen weniger auseinander als κ das Maß der Vereinigung des A kommt der Summe der Maßnahmen der Person A. gleich)

Gleichwertig ist κ messbar bedeutet, dass es der kritische Punkt eines nichttrivialen elementaren Einbettens des Weltalls V in eine transitive Klasse M ist. Diese Gleichwertigkeit ist wegen Jerome Keislers und Dana Scotts, und verwendet den Ultramacht-Aufbau aus der Mustertheorie. Seitdem V ist eine richtige Klasse, ein kleines technisches Problem, das nicht gewöhnlich da ist, wenn es Ultramacht-Bedürfnisse denkt, dadurch gerichtet zu werden, was jetzt den Trick von Scott genannt wird.

Gleichwertig ist κ ein messbarer Kardinal, wenn, und nur wenn es ein unzählbarer Kardinal mit einem κ-complete, Nichthauptultrafilter ist. Wieder bedeutet das, dass die Kreuzung von irgendwelchem ausschließlich weniger als κ-many Sätze im Ultrafilter, auch im Ultrafilter ist.

Obwohl es aus ZFC folgt, dass jeder messbare Kardinal unzugänglich ist (und, Ramsey, usw. unbeschreiblich ist), ist es mit ZF im Einklang stehend, dass ein messbarer Kardinal ein Nachfolger-Kardinal sein kann. Es folgt aus ZF + Axiom von determinacy, dass ω messbar ist, und dass jede Teilmenge von ω enthält oder von einer geschlossenen und unbegrenzten Teilmenge zusammenhanglos ist.

Das Konzept eines messbaren Kardinals wurde dadurch eingeführt, wer gezeigt hat, dass der kleinste grundsätzliche κ, der ein nichttriviales zählbar zusätzliches zwei geschätztes Maß zulässt, tatsächlich ein κ-Additive-Maß zulassen muss. (Wenn es etwas Sammlung von weniger gäbe, als κ 0 Teilmengen messen, deren Vereinigung κ war, dann würde das veranlasste Maß auf dieser Sammlung ein Gegenbeispiel zum minimality von κ sein.) Von dort kann man sich erweisen (mit dem Axiom der Wahl), dass kleinster solcher Kardinal unzugänglich sein muss.

Es ist trivial, um dass zu bemerken, wenn κ ein nichttriviales κ-Additive-Maß zulässt, dann muss κ regelmäßig sein. (Durch die Nichtbedeutungslosigkeit und den κ-additivity muss jede Teilmenge von cardinality weniger als κ Maß 0, und dann durch κ-additivity wieder haben, das bedeutet, dass der komplette Satz keine Vereinigung von weniger sein muss als κ Sätze von cardinality weniger als κ.) Schließlich, wenn λ. Wenn das der Fall gewesen ist, dann konnten wir κ mit etwas Sammlung von 0-1 Folgen der Länge λ identifizieren. Für jede Position in der Folge würden entweder die Teilmenge von Folgen mit 1 in dieser Position oder die Teilmenge mit 0 in dieser Position Maß 1 haben müssen. Die Kreuzung dieser λ-many misst 1 Teilmengen würden so auch Maß 1 haben müssen, aber es würde genau eine Folge enthalten, die der Nichtbedeutungslosigkeit des Maßes widersprechen würde. So, das Axiom der Wahl annehmend, können wir ableiten, dass κ ein starker Grenze-Kardinal ist, der den Beweis seiner Unzugänglichkeit vollendet.

Wenn κ ist messbar und p∈V, und M (die Ultramacht V) befriedigt ψ (κ,p), dann der Satz α Formel und V befriedigt ψ (κ,p) dann befriedigt M sie und so V befriedigt ψ (α,p) für einen stationären Satz αM⊂M, d. h. jede Funktion von κ zur M ist in der M. Folglich,

Reellwertig messbar

Ein grundsätzlicher κ wird reellwertig messbar genannt, wenn es einen atomless κ-additive Maß auf dem Macht-Satz von κ gibt. Sie wurden dadurch eingeführt. hat gezeigt, dass die Kontinuum-Hypothese andeutet, dass das messbar nicht reellwertig ist. Ein echter geschätzter messbarer Kardinal weniger als oder gleich dem besteht, wenn es eine zählbar zusätzliche Erweiterung des Maßes von Lebesgue zu allen Sätzen von reellen Zahlen gibt. Ein echter geschätzter messbarer Kardinal ist schwach Mahlo.

gezeigt, dass die Existenz von messbaren Kardinälen in ZFC, echten geschätzten messbaren Kardinälen in ZFC, und messbaren Kardinälen in ZF, equiconsistent ist.

Siehe auch

• Normales Maß
• Ordnung von Mitchell