In der Mathematik ist eine transzendente Zahl (vielleicht Komplex) Zahl, die nicht algebraisch ist — d. h. ist es nicht eine Wurzel einer nichtunveränderlichen polynomischen Gleichung mit vernünftigen Koeffizienten. Die prominentesten Beispiele von transzendenten Zahlen sind π und e. Obwohl nur einige Klassen von transzendenten Zahlen bekannt sind (teilweise, weil es äußerst schwierig sein kann zu zeigen, dass eine gegebene Zahl transzendental ist), sind transzendente Zahlen nicht selten. Tatsächlich sind fast alle reellen Zahlen und komplexe Zahlen transzendental, da die algebraischen Zahlen zählbar sind, während die Sätze von reellen Zahlen und komplexen Zahlen beide unzählbar sind. Alle echten transzendenten Zahlen sind vernunftwidrig, da alle rationalen Zahlen algebraisch sind. Das gegenteilige ist nicht wahr: Nicht alle irrationalen Zahlen sind z.B transzendental die Quadratwurzel 2 ist vernunftwidrig, aber nicht eine transzendente Zahl, da es eine Lösung der polynomischen Gleichung x &minus ist; 2 = 0.

Geschichte

Der "transzendentale" Name kommt aus Leibniz in seiner 1682-Zeitung, wo er bewiesen hat, dass Sünde x nicht eine algebraische Funktion von x ist. Euler war wahrscheinlich die erste Person, um transzendente Zahlen im modernen Sinn zu definieren.

Joseph Liouville hat zuerst die Existenz von transzendenten Zahlen 1844 bewiesen, und 1851 hat die ersten dezimalen Beispiele wie der Liouville unveränderlicher angeführt

:

in dem die n-te Ziffer nachdem der dezimale Punkt 1 ist, wenn n k gleich ist! (k factorial) für einen k und 0 sonst. Liouville hat gezeigt, dass diese Zahl ist, was wir jetzt eine Zahl von Liouville nennen; das bedeutet im Wesentlichen, dass ihm durch rationale Zahlen näher näher gekommen werden kann, als jede vernunftwidrige algebraische Zahl kann. Liouville hat gezeigt, dass alle Zahlen von Liouville transzendental sind.

Johann Heinrich Lambert hat vermutet, dass e und π beide transzendente Zahlen in seiner 1761-Zeitung waren, die beweist, dass die Zahl π vernunftwidrig ist. Die erste Zahl, die transzendental zu beweisen ist, ohne zum Zweck spezifisch gebaut worden zu sein, war e durch Charles Hermite 1873.

1874 hat Georg Cantor bewiesen, dass die algebraischen Zahlen zählbar sind und die reellen Zahlen unzählbar sind. Er hat auch eine neue Methode gegeben, um transzendente Zahlen zu bauen. 1878 hat Cantor einen Aufbau veröffentlicht, der beweist, dass es so viele transzendente Zahlen gibt, wie es reelle Zahlen gibt. Die Arbeit von Cantor hat die Allgegenwart von transzendenten Zahlen gegründet.

1882 hat Ferdinand von Lindemann einen Beweis veröffentlicht, dass die Zahl π transzendental ist. Er hat zuerst gezeigt, dass e zu jeder algebraischen Nichtnullmacht transzendental ist, und da e = −1 algebraisch ist (sieh die Identität von Euler), iπ und deshalb π muss transzendental sein. Diese Annäherung wurde von Karl Weierstrass zum Lindemann-Weierstrass Lehrsatz verallgemeinert. Die Überlegenheit von π hat den Beweis der Unmöglichkeit von mehreren alten geometrischen Aufbauten erlaubt, die mit Kompass und Haarlineal, einschließlich des berühmtesten, Quadrieren der Kreis verbunden sind.

1900 hat David Hilbert eine einflussreiche Frage über transzendente Zahlen, das siebente Problem von Hilbert gestellt: Wenn einer algebraischen Zahl zu sein, die ist nicht Null oder ein, und b, eine vernunftwidrige algebraische Zahl ist, ist notwendigerweise transzendental? Die bejahende Antwort wurde 1934 durch den Lehrsatz von Gelfond-Schneider zur Verfügung gestellt. Diese Arbeit wurde von Alan Baker in den 1960er Jahren in seiner Arbeit an niedrigeren Grenzen für geradlinige Formen in jeder Zahl von Logarithmen (algebraischer Zahlen) erweitert.

Eigenschaften

Der Satz von transzendenten Zahlen ist unzählbar unendlich. Da die Polynome mit Koeffizienten der ganzen Zahl zählbar sind, und da jedes solches Polynom eine begrenzte Zahl von zeroes hat, müssen die algebraischen Zahlen auch zählbar sein. Aber das diagonale Argument des Kantoren beweist, dass die reellen Zahlen (und deshalb auch die komplexen Zahlen) unzählbar sind; so muss der Satz aller transzendenten Zahlen auch unzählbar sein.

Keine rationale Zahl ist transzendental, und alle echten transzendenten Zahlen sind vernunftwidrig.

Eine rationale Zahl kann als p / q geschrieben werden, wo p und q ganze Zahlen sind. So p / ist q die Wurzel von qx  p = 0.

Jedoch sind einige irrationale Zahlen nicht transzendental. Zum Beispiel ist die Quadratwurzel 2 vernunftwidrig und nicht transzendental (weil es eine Lösung der polynomischen Gleichung x &minus ist; 2 = 0). Dasselbe ist für die Quadratwurzel anderer nichtvollkommener Quadrate wahr.

Jede nichtunveränderliche algebraische Funktion einer einzelnen Variable gibt einen transzendentalen Wert, wenn angewandt, auf ein transzendentales Argument nach. Zum Beispiel davon zu wissen, dass π transzendental ist, können wir dass Zahlen solcher als 5π sofort ableiten, (π − 3) / 2, ( π − 3), und (π + 7) sind ebenso transzendental.

Jedoch kann eine algebraische Funktion von mehreren Variablen eine algebraische Zahl, wenn angewandt, auf transzendente Zahlen nachgeben, wenn diese Zahlen nicht algebraisch unabhängig sind. Zum Beispiel, π und 1 − π sind beide, aber π + transzendental (1 − π) = 1 ist offensichtlich nicht. Es ist unbekannt, ob π + e zum Beispiel transzendental ist, obwohl mindestens ein von π + e und πe transzendental sein müssen. Mehr allgemein für irgendwelche zwei transzendenten Zahlen muss a und b, mindestens ein + b und ab transzendental sein. Um das zu sehen, denken Sie das Polynom (x − a) (x − b) = x − (+ b) x + ab. Wenn (+ b) und ab beide algebraisch wären, dann würde das ein Polynom mit algebraischen Koeffizienten sein. Weil algebraische Zahlen ein algebraisch geschlossenes Feld bilden, würde das andeuten, dass die Wurzeln des Polynoms, a und b, algebraisch sein müssen. Aber das ist ein Widerspruch, und so muss er der Fall sein, dass mindestens ein der Koeffizienten transzendental sind.

Die nichtberechenbaren Zahlen sind eine strenge Teilmenge der transzendenten Zahlen.

Alle Liouville Zahlen, sind aber nicht umgekehrt transzendental. Jede Liouville Zahl muss unbegrenzte teilweise Quotienten in seiner fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung haben. Das Verwenden eines Zählen-Arguments man kann zeigen, dass dort transzendente Zahlen bestehen, die teilweise Quotienten begrenzt haben und folglich nicht Zahlen von Liouville sind.

Mit der ausführlichen fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung von e kann man zeigen, dass e nicht eine Zahl von Liouville ist (obwohl die teilweisen Quotienten in seiner fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung unbegrenzt sind). Kurt Mahler hat 1953 gezeigt, dass π auch nicht eine Zahl von Liouville ist. Es wird vermutet, dass alle unendlichen fortlaufenden Bruchteile mit begrenzten Begriffen, die nicht schließlich periodisch sind, transzendental sind (schließlich periodische fortlaufende Bruchteile entsprechen quadratischen Irrationalzahlen).

Eine zusammenhängende Klasse von Zahlen ist Zahlen der geschlossenen Form, die auf verschiedene Weisen, einschließlich rationaler Zahlen (und in einigen Definitionen alle algebraischen Zahlen) definiert werden können, sondern auch exponentiation und Logarithmus erlauben.

Zahlen, die herausgestellt sind, transzendental

zu sein

Zahlen, die herausgestellt sind, transzendental zu sein:

• e wenn algebraisch und Nichtnull (durch den Lindemann-Weierstrass Lehrsatz), und insbesondere e selbst zu sein.
• π (durch den Lindemann-Weierstrass Lehrsatz).
• e, die Konstante von Gelfond, sowie e=i (durch den Lehrsatz von Gelfond-Schneider).
• wo algebraisch, aber nicht 0 oder 1, und b zu sein, algebraisch (durch den Lehrsatz von Gelfond-Schneider) insbesondere vernunftwidrig ist:

• der Gelfond-Schneider unveränderlich (Zahl von Hilbert).
• Sünde (a), weil (a) und Lohe (a), und ihre multiplicative Gegenteile csc (a), sec (a) und Kinderbettchen (a), für jede algebraische Nichtnullzahl (durch den Lindemann-Weierstrass Lehrsatz).
• ln (a) wenn algebraisch und nicht gleich 0 oder 1, für jeden Zweig der Logarithmus-Funktion (durch den Lindemann-Weierstrass Lehrsatz) zu sein.
• W (a) wenn algebraisch und Nichtnull, für jeden Zweig der Funktion von Lambert W (durch den Lindemann-Weierstrass Lehrsatz) zu sein.
• Γ (1/3), Γ (1/4) und Γ (1/6).
• 0.12345678910111213141516..., unveränderlicher Champernowne.
• Ω, die Konstante von Chaitin (da es eine nichtberechenbare Zahl ist).
• Prouhet-Thue-Morse unveränderlicher

• wo und die Fußboden-Funktion ist.

Zahlen, die können oder nicht transzendental sein können

Zahlen, die algebraisch noch bewiesen transzendental weder bewiesen worden sind:

• Summen, Produkte, Mächte, usw. der Zahl π und der Nummer e, abgesehen von e, der Konstante von Gelfond, die, wie man bekannt, transzendental ist: π + e, π − e, π\· e, π/e, π, e, π.
• Der Euler-Mascheroni unveränderliche γ (der, wie man sogar bewiesen hat, nicht vernunftwidrig gewesen ist).
• Die Konstante des Katalanen, auch nicht bekannt, vernunftwidrig zu sein.
• Die Konstante von Apéry, ζ (3), und tatsächlich, ζ (2n + 1) für jede positive ganze Zahl n (sieh Riemann zeta Funktion).
• Die Feigenbaum Konstanten, und.

Vermutungen:

• Die Vermutung von Schanuel,
• Vier Exponentials-Vermutung.

Die Skizze eines Beweises, dass e transzendental

ist

Der erste Beweis, dass die Basis der natürlichen Logarithmen, e, transzendentale Daten von 1873 ist. Wir werden jetzt der Strategie von David Hilbert (1862-1943) folgen, wer eine Vereinfachung des ursprünglichen Beweises von Charles Hermite gegeben hat. Die Idee ist der folgende:

Nehmen Sie zum Zweck an, einen Widerspruch zu finden, dass e algebraisch ist. Dann dort besteht ein begrenzter Satz von Koeffizienten der ganzen Zahl, die die Gleichung befriedigen:

:

und solch, dass und beide Nichtnull sind.

Abhängig vom Wert von n geben wir eine genug große positive ganze Zahl k an (um unseren Bedarf später zu decken), und beide Seiten der obengenannten Gleichung dadurch zu multiplizieren, wo die Notation in diesem Beweis als Schnellschrift für das Integral verwendet wird:

:

Wir haben die Gleichung erreicht:

:

der jetzt in der Form geschrieben werden kann

:wo::

Der Plan ist jetzt zu zeigen, dass für den genug großen k die obengenannten Beziehungen unmöglich sind, weil zu befriedigen

: ist eine ganze Nichtnullzahl und ist nicht.

Die Tatsache, die eine ganze Nichtnullzahl ist, ergibt sich aus der Beziehung

:

der für jede positive ganze Zahl j durch die Definition der Gammafunktion gültig ist.

Es ist Nichtnull weil für jeden eine Zufriedenheit

Dem zu zeigen

:

wir bauen eine Hilfsfunktion

, Anmerkung, dass es das Produkt der Funktionen ist und.

Mit oberen Grenzen für und auf dem Zwischenraum [0, n] und die Tatsache verwendend

: für jede reelle Zahl G

ist

dann genügend, um den Beweis zu beenden.

Eine ähnliche Strategie, die von der ursprünglichen Annäherung von Lindemann verschieden ist, kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Zahl π transzendental ist. Außer der Gammafunktion und einigen Schätzungen als im Beweis für e spielen Tatsachen über symmetrische Polynome eine Lebensrolle im Beweis.

Weil die ausführliche Information bezüglich der Beweise der Überlegenheit von π und e die Verweisungen und Außenverbindungen sieht.

Die Klassifikation von Mahler

Kurt Mahler 1932 hat die transzendenten Zahlen in 3 Klassen, genannt S, T, und U verteilt. Die Definition dieser Klassen stützt sich auf eine Erweiterung der Idee von einer Zahl von Liouville (zitiert oben).

Maß der Unvernunft einer reellen Zahl

Eine Weise, eine Zahl von Liouville zu definieren, soll denken, wie klein eine gegebene reelle Zahl x geradlinige Polynome |qx &minus macht; p, ohne sie genau 0 zu machen. Hier p sind q ganze Zahlen mit |p, |q begrenzt durch eine positive ganze Zahl H.

Lassen Sie M (x, 1, H) der minimale absolute Nichtnullwert sein, den diese Polynome nehmen.

Lassen Sie ω (x, 1, H) = −log M (x, 1, H) / loggt H.

Lassen Sie ω (x, 1) =

ω '(x, 1) wird häufig das 'Maß der Unvernunft einer reellen Zahl genannt, die x. ω (x, 1) 0 für rationale Zahlen ist und mindestens 1 für vernunftwidrige reelle Zahlen ist. Eine Liouville Zahl wird definiert, um unendliches Maß der Unvernunft zu haben.

Maß der Überlegenheit einer komplexen Zahl

Denken Sie als nächstes die Werte von Polynomen an einer komplexen Zahl x, wenn diese Polynome Koeffizienten der ganzen Zahl, Grad am grössten Teil von n und Höhe am grössten Teil von H, mit n, H haben positive ganze Zahlen zu sein.

Lassen Sie M (x, n, H) der minimale absolute Nichtnullwert sein, den solche Polynome an x nehmen.

Lassen Sie ω (x, n, H) = −log M (x, n, H)/n loggt H.

Lassen Sie ω (x, n). Nehmen Sie an, dass das für eine minimale positive ganze Zahl n unendlich ist. Eine komplexe Zahl x wird in diesem Fall eine U Zahl des Grads n genannt.

Jetzt können wir ω (x) definieren ω (x) wird häufig das Maß der Überlegenheit von x genannt. Wenn die ω (x, n) begrenzt werden, dann ist ω (x) begrenzt, und x wird eine S Zahl genannt. Wenn die ω (x, n) begrenzt, aber unbegrenzt sind, wird x eine T Zahl genannt. x ist wenn und nur wenn ω (x) = 0 algebraisch.

Klar sind die Zahlen von Liouville eine Teilmenge der U Zahlen. William LeVeque 1953 hat U Zahlen jedes gewünschten Grads gebaut. Die Liouville Zahlen und folglich die U Zahlen sind unzählbare Sätze. Sie sind Sätze des Maßes 0.

T Zahlen umfassen auch eine Reihe des Maßes 0. Man hat ungefähr 35 Jahre gebraucht, um ihre Existenz zu zeigen. Wolfgang M. Schmidt 1968 hat gezeigt, dass Beispiele bestehen. Hieraus folgt dass fast alle komplexen Zahlen S Zahlen sind. Es ist gezeigt worden, dass die Exponentialfunktion alle algebraischen Nichtnullzahlen an S Zahlen sendet. Folglich ist e eine S Zahl. Die meisten, die über π bekannt sind, sind, dass es nicht eine U Zahl ist. Viele andere transzendente Zahlen bleiben nicht klassifiziert.

Zwei Nummern x, y werden algebraisch abhängig genannt, wenn es ein Nichtnullpolynom P in 2 indeterminates mit solchen Koeffizienten der ganzen Zahl dass P (x, y) = 0 gibt. Es gibt einen starken Lehrsatz, dass 2 komplexe Zahlen, die algebraisch abhängig sind, derselben Klasse von Mahler gehören. Das erlaubt Aufbau von neuen transzendenten Zahlen wie die Summe einer Zahl von Liouville mit e oder.

Es wird häufig nachgesonnen, dass S für den Namen des Lehrers von Mahler Carl Ludwig Siegel eingetreten ist, und dass T und U gerade die folgenden zwei Briefe sind.

Die gleichwertige Klassifikation von Koksma

Jurjen Koksma 1939 hat eine andere Klassifikation vorgeschlagen, die auf der Annäherung durch algebraische Zahlen gestützt ist.

Denken Sie die Annäherung einer komplexen Zahl x durch algebraische Zahlen des Grads  n und Höhe  H. Lassen Sie α eine algebraische Zahl dieses begrenzten solchen Satzes sein, dass |x - α den minimalen positiven Wert hat. Definieren Sie ω (x, H, n) durch |x - α = H. Lassen Sie ω (x, n)

Wenn für eine kleinste positive ganze Zahl n, ω (x, n) unendlich ist, wird x eine Unumbra des Grads n genannt.

Wenn die ω (x, n) begrenzt werden und zu 0 nicht zusammenlaufen, wird x eine S-Zahl, genannt

Eine Nummer x wird eine A-Zahl genannt, wenn die ω (x, n) zu 0 zusammenlaufen.

Wenn die ω (x, n) alle begrenzt, aber unbegrenzt sind, wird x eine T-Zahl, genannt

Die Klassifikationen von Koksma und Mahlers sind darin gleichwertig sie teilen die transzendenten Zahlen in dieselben Klassen. Die A-Zahlen sind die algebraischen Zahlen.

Typ

Das Supremum der Folge {ω (x, n)} wird den Typ genannt. Fast alle reellen Zahlen sind S Zahlen des Typs 1, der für echte S Zahlen minimal ist. Fast alle komplexen Zahlen sind S Zahlen des Typs 1/2, der auch minimal ist. Die Ansprüche fast aller Zahlen wurden von Mahler vermutet und 1965 von Vladimir Sprindzhuk bewiesen.

Siehe auch

• Überlegenheitstheorie, die Studie von Fragen hat sich auf transzendente Zahlen bezogen

Zeichen

• David Hilbert "sterben Über Transcendenz der Zahlen e und", Mathematische Annalen 43:216-219 (1893).
• A. O. Gelfond, Transzendente und Algebraische Zahlen, Nachdruck von Dover (1960).
• Alan Baker, Theorie der Transzendenten Zahl, Universität von Cambridge Presse, 1975, internationale Standardbuchnummer 0 521 39791 X.
• Vladimir G. Sprindzhuk, metrische Theorie von Diophantine Annäherungen, John Wiey und Söhnen (1979).
• Burger von Edward und Robert Tubbs, Überlegenheit durchsichtig, Springer (2004) machend.
• Peter M Higgins, "Zahl-Geschichte" Bücher von Copernicus, 2008, internationale Standardbuchnummer 978-1-84800-001-8.

Außenverbindungen

• Beweis, dass e transzendentaler ist

• Beweis, dass der Liouville Constant transzendentaler ist

• Beweis, dass e (PDF) transzendental

ist

• Beweis, der (PDF) transzendental

ist