In der Mathematik sind die Polynome von Tschebyscheff, genannt nach Pafnuty Tschebyscheff, eine Folge von orthogonalen Polynomen, die mit der Formel von de Moivre verbunden sind, und die rekursiv definiert werden können. Man unterscheidet gewöhnlich zwischen Polynomen von Tschebyscheff der ersten Art, die T und Polynome von Tschebyscheff der zweiten Art angezeigt werden, die U angezeigt werden. Der Brief T wird wegen der alternativen Transkriptionen des Namens Tschebyscheff als Tchebycheff (Französisch) oder Tschebyschow (Deutsch) verwendet.

Die Polynome von Tschebyscheff T oder U sind Polynome des Grads n, und die Folge von Polynomen von Tschebyscheff jeder Art setzt eine polynomische Folge zusammen.

Polynome von Tschebyscheff sind in der Annäherungstheorie wichtig, weil die Wurzeln der Polynome von Tschebyscheff der ersten Art, die auch Knoten von Tschebyscheff genannt werden, als Knoten in der polynomischen Interpolation verwendet werden. Das resultierende Interpolationspolynom minimiert das Problem des Phänomenes von Runge und stellt eine Annäherung zur Verfügung, die dem Polynom der besten Annäherung an eine dauernde Funktion unter der maximalen Norm nah ist. Diese Annäherung führt direkt zur Methode der Quadratur von Clenshaw-Curtis.

In der Studie von Differenzialgleichungen entstehen sie als die Lösung der Differenzialgleichungen von Tschebyscheff

:

und

:

für die Polynome der ersten und zweiten Art, beziehungsweise. Diese Gleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouville Differenzialgleichung.

Definition

Die Polynome von Tschebyscheff der ersten Art werden durch die Wiederauftreten-Beziehung definiert

:\begin {richten }\aus

T_0 (x) & = 1 \\

T_1 (x) & = x \\

T_ {n+1} (x) & = 2xT_n (x) - T_ {n-1} (x).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die herkömmliche Erzeugen-Funktion für T ist

:

Die Exponentialerzeugen-Funktion ist

:

Die Erzeugen-Funktion, die für die 2-dimensionale potenzielle Theorie und Mehrpol-Vergrößerung wichtig ist, ist

:

Die Polynome von Tschebyscheff der zweiten Art werden durch die Wiederauftreten-Beziehung definiert

:\begin {richten }\aus

U_0 (x) & = 1 \\

U_1 (x) & = 2x \\

U_ {n+1} (x) & = 2xU_n (x) - U_ {n-1} (x).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Ein Beispiel einer Erzeugen-Funktion für U ist

:

Trigonometrische Definition

Die Polynome von Tschebyscheff der ersten Art können kompakt in einer Bahn durch den trigonometrischen definiert werden

conjugacy:

:

woher:

:

für n = 0, 1, 2, 3... der eine Variante ist (gleichwertig stellen um), der Gleichung von Schröder,

nämlich. T (x) ist zu nx funktionell verbunden, der in kodifiziert ist

das nistende Eigentum unten. Vergleichen Sie sich weiter mit den Ausbreitungspolynomen in der Abteilung unten.

Die Polynome der zweiten Art befriedigen:

:

der dem Kern von Dirichlet strukturell ziemlich ähnlich ist:

:

Das, weil (nx) ein Polynom des n-ten Grads darin ist, weil (x) durch das Bemerken gesehen werden kann, dass, weil (nx) der echte Teil einer Seite der Formel von de Moivre ist, und der echte Teil der anderen Seite ein Polynom darin ist, weil (x) und Sünde (x), in dem alle Mächte der Sünde (x) sogar und so ersetzbar durch die Identität sind, weil (x) + (x) = 1 sündigen.

Diese Identität ist in Verbindung mit der rekursiven Erzeugen-Formel ziemlich nützlich, weil es ermöglicht, den Kosinus jedes integrierten Vielfaches eines Winkels allein in Bezug auf den Kosinus des Grundwinkels zu berechnen.

Das Auswerten der ersten zwei Polynome von Tschebyscheff:

:und::

man kann dass aufrichtig beschließen:

:

\cos (2 \vartheta) =2\cos\vartheta \cos\vartheta - \cos (0 \vartheta) = 2\cos^ {2 }\\, \vartheta - 1 \, \!

</Mathematik>:

\cos (3 \vartheta) =2\cos\vartheta \cos (2\vartheta) - \cos\vartheta = 4\cos^3 \,\vartheta - 3\cos\vartheta \, </Mathematik>

und so weiter.

Zwei unmittelbare Folgeerscheinungen sind die Zusammensetzungsidentität (oder nistendes Eigentum, das eine Halbgruppe angibt)

::

und der Ausdruck des Komplexes exponentiation in Bezug auf Polynome von Tschebyscheff: gegebener z = + bi,

:\begin {richten }\aus

z^n & = |z |^n \left (\cos \left (n\arccos \frac a\right) + ich \sin \left (n\arccos \frac a\right) \right) \\

& = |z |^n T_n\left (\frac a\right) + ib\|z |^ {n - 1 }\\ist U_ {n-1 }\\(\frac a\right) abgereist.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Gleichungsdefinition von Pell

Die Polynome von Tschebyscheff können auch als die Lösungen der Gleichung von Pell definiert werden

:

in einem Ring R [x]. So können sie durch die Standardtechnik für Gleichungen von Pell von Machtergreifungen einer grundsätzlichen Lösung erzeugt werden:

:

Beziehung zwischen Polynomen von Tschebyscheff der ersten und zweiten Arten

Die Polynome von Tschebyscheff der ersten und zweiten Art sind nah durch die folgenden Gleichungen verbunden

::::

:, wo n seltsam ist.

:, wo n gleich ist.

Die Wiederauftreten-Beziehung der Ableitung von Polynomen von Tschebyscheff kann aus diesen Beziehungen abgeleitet werden

:

Diese Beziehung wird im Tschebyscheff geisterhafte Methode verwendet, Differenzialgleichungen zu lösen.

Gleichwertig können die zwei Folgen auch von einem Paar von gegenseitigen Wiederauftreten-Gleichungen definiert werden:

::::

Diese können aus den trigonometrischen Formeln abgeleitet werden; zum Beispiel, wenn, dann

:

T_ {n+1} (x) &= T_ {n+1} (\cos (\vartheta)) \\

&= \cos ((n + 1) \vartheta) \\

&= \cos (n\vartheta) \cos (\vartheta) - \sin (n\vartheta) \sin (\vartheta) \\

&= T_n (\cos (\vartheta)) \cos (\vartheta) - U_ {n-1} (\cos (\vartheta)) \sin^2 (\vartheta) \\

&= xT_n (x) - (1 - x^2) U_ {n-1} (x). \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Bemerken Sie, dass sowohl diese Gleichungen als auch die trigonometrischen Gleichungen eine einfachere Form annehmen, wenn wir, wie einige Arbeiten, der abwechselnden Tagung folgen, unseren U (das Polynom des Grads n) mit U stattdessen anzuzeigen.

Die Ungleichheit von Turán für die Polynome von Tschebyscheff ist

::

Ausführliche Ausdrücke

Verschiedene Annäherungen an das Definieren von Polynomen von Tschebyscheff führen zu verschiedenen ausführlichen Ausdrücken wie:

:

\begin {Fälle }\

\cos (n\arccos (x)), & \x \in [-1,1] \\

\cosh (n \, \mathrm {arccosh} (x)), & \x \ge 1 \\

(-1) ^n \cosh (n \, \mathrm {arccosh} (-x)), & \x \le-1 \\

\end {Fälle} \, \!

</Mathematik>:\begin {richten }\aus

T_n (x) & = \frac {(x-\sqrt {x^2-1}) ^n + (x +\sqrt {x^2-1}) ^n} {2} \\

& = \sum_ {k=0} ^ {\\lfloor n/2\rfloor} \binom {n} {2k} (X^2-1) ^k X^ {n-2k} \\

& = X^n \sum_ {k=0} ^ {\\lfloor n/2\rfloor} \binom {n} {2k} (1 - x^ {-2}) ^k \\

& = \frac {n} {2 }\\sum_ {k=0} ^ {\\lfloor n/2\rfloor} (-1) ^k \frac {(n-k-1)!} {k! (N-2k)!} ~ (2x) ^ {n-2k} \quad (n> 0) \\

& = n \sum_ {k=0} ^ {n} (-2) ^ {k} \frac {(n+k-1)!} {(n-k)! (2k)!} (1 - x) ^k \quad (n> 0) \\

& = \, _2F_1\left (-n, n; \frac 1 2; \frac {1-x} 2 \right) \\

\end {richten }\aus</Mathematik>:\begin {richten }\aus

U_n (x) & = \frac {(x +\sqrt {x^2-1}) ^ {n+1} - (x-\sqrt {x^2-1}) ^ {n+1}} {2\sqrt {x^2-1}} \\

& = \sum_ {k=0} ^ {\\lfloor n/2\rfloor} \binom {n+1} {2k+1} (X^2-1) ^k X^ {n-2k} \\

& = X^n \sum_ {k=0} ^ {\\lfloor n/2\rfloor} \binom {n+1} {2k+1} (1 - x^ {-2}) ^k \\

& = \sum_ {k=0} ^ {\\lfloor n/2\rfloor} \binom {2k-(n+1)} {k} ~ (2x) ^ {n-2k} \quad (n> 0) \\

& = \sum_ {k=0} ^ {\\lfloor n/2\rfloor} (-1) ^k \binom {n-k} {k} ~ (2x) ^ {n-2k} \quad (n> 0) \\

& = \sum_ {k=0} ^ {n} (-2) ^ {k} \frac {(n+k+1)!} {(n-k)! (2k+1)!} (1 - x) ^k \quad (n> 0) \\

& = (n+1) \, _2F_1\left (-n, n+2; \frac 3 2; \frac {1-x} 2 \right)

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo eine hypergeometrische Funktion ist.

Eigenschaften

Wurzeln und extrema

Ein Polynom von Tschebyscheff jeder Art mit dem Grad n hat n verschiedene einfache Wurzeln, genannt Wurzeln von Tschebyscheff, im Zwischenraum [&minus;1,1]. Die Wurzeln werden manchmal Knoten von Tschebyscheff genannt, weil sie als Knoten in der polynomischen Interpolation verwendet werden. Das Verwenden der trigonometrischen Definition und der Tatsache das

:

man kann leicht beweisen, dass die Wurzeln von T sind

:

Ähnlich sind die Wurzeln von U

:

Ein einzigartiges Eigentum der Polynome von Tschebyscheff der ersten Art besteht darin, dass auf dem Zwischenraum alle extrema Werte haben, die entweder &minus;1 oder 1 sind. So haben diese Polynome nur zwei begrenzte kritische Werte, das Definieren-Eigentum von Polynomen von Shabat. Sowohl die ersten als auch zweiten Arten des Polynoms von Tschebyscheff haben extrema an den Endpunkten, die gegeben sind durch:

::::

Unterscheidung und Integration

Die Ableitungen der Polynome können weniger als aufrichtig sein. Durch das Unterscheiden der Polynome in ihren trigonometrischen Formen ist es leicht, dass zu zeigen:

:::

Die letzten zwei Formeln können wegen der Abteilung durch die Null (0/0 unbestimmte Form, spezifisch) an numerisch lästig sein und. Es kann dass gezeigt werden:

::

:Proof

----

Die zweite Ableitung des Polynoms von Tschebyscheff der ersten Art ist

:

der, wenn bewertet, wie gezeigt, oben, ein Problem aufwirft, weil es an x = ±1 unbestimmt ist. Da die Funktion ein Polynom ist, (ganzer), müssen die Ableitungen für alle reellen Zahlen bestehen, so sollte die Einnahme, um auf dem Ausdruck zu beschränken, oben den Sollwert nachgeben:

:

wo nur für jetzt betrachtet wird. Factoring der Nenner:

:

\lim_ {x \to 1} n \frac {\\frac {n T_n - x U_ {n - 1}} {x - 1}} {x + 1}. </Mathematik>

Da die Grenze als Ganzes bestehen muss, muss die Grenze des Zählers und Nenners, und unabhängig bestehen

:

\frac {n} {2} \lim_ {x \to 1} \frac {n T_n - x U_ {n - 1}} {x - 1 }\

. </Mathematik>

Der Nenner beschränkt (noch) auf die Null, die andeutet, dass der Zähler auf die Null beschränken muss, d. h. der später nützlich sein wird. Da der Zähler und Nenner beide auf die Null beschränken, gilt die Regierung von L'Hôpital:

:

T_n (1) & = \frac {n} {2} \lim_ {x \to 1} \frac {\\frac {d} {dx} (n T_n - x U_ {n - 1})} {\\frac {d} {dx} (x - 1)} \\

& = \frac {n} {2} \lim_ {x \to 1} \frac {d} {dx} (n T_n - x U_ {n - 1}) \\

& = \frac {n} {2} \lim_ {x \to 1} \left (n^2 U_ {n - 1} - U_ {n - 1} - x \frac {d} {dx} (U_ {n - 1}) \right) \\

& = \frac {n} {2} \left (n^2 U_ {n - 1} (1) - U_ {n - 1} (1) - \lim_ {x \to 1} x \frac {d} {dx} (U_ {n - 1}) \right) \\

& = \frac {n^4} {2} - \frac {n^2} {2} - \frac {1} {2} \lim_ {x \to 1} \frac {d} {dx} (n U_ {n - 1}) \\

& = \frac {n^4} {2} - \frac {n^2} {2} - \frac {T_n (1)} {2} \\

T_n (1) & = \frac {n^4 - n^2} {3}. \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Der Beweis dafür, ist mit der Tatsache dieser ähnlich wichtig seiend.

----

Tatsächlich hält die folgende, allgemeinere Formel:

:

Dieses letzte Ergebnis ist von großem Nutzen in der numerischen Lösung von eigenvalue Problemen.

Bezüglich der Integration bezieht die erste Ableitung des T das ein

:

und die Wiederauftreten-Beziehung für die ersten freundlichen Polynome, die Ableitungen einschließen, gründet das

:

Orthogonality

Sowohl der T als auch der U bilden eine Folge von orthogonalen Polynomen. Die Polynome der ersten Art sind in Bezug auf das Gewicht orthogonal

:

auf dem Zwischenraum (&minus;1,1), d. h. haben wir:

:\begin {Fälle }\

0 &: n\ne M \\

\pi &: n=m=0 \\

\pi/2 &: n=m\ne 0

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Das kann durch das Lassen und das Verwenden der Identität bewiesen werden

.

Ähnlich sind die Polynome der zweiten Art in Bezug auf das Gewicht orthogonal

:

auf dem Zwischenraum [&minus;1,1], d. h. haben wir:

:\begin {Fälle }\

0 &: n\ne M, \\

\pi/2 &: n=m.

\end {Fälle }\</Mathematik>

(Bemerken Sie, dass das Gewicht, zu innerhalb eines Normalisierens unveränderlich, die Dichte des Halbkreis-Vertriebs von Wigner ist).

Die T befriedigen auch eine getrennte orthogonality Bedingung:

:\begin {Fälle }\

0 &: i\ne j \\

N &: i=j=0 \\

N/2 &: i=j\ne 0

\end {Fälle} \, \!</Mathematik>

wo der Nullen von N Gauss-Lobatto von zu sein

:

Minimaler  - Norm

Für irgendwelchen gegeben n  1, unter den Polynomen des Grads n mit dem Hauptkoeffizienten 1,

:

ist derjenige, dessen der maximale absolute Wert auf dem Zwischenraum [&minus;1, 1] minimal ist.

Dieser maximale absolute Wert ist

:

und | (x) ƒ | erreicht dieses Maximum genau Zeiten an

::Proof----

Wollen wir annehmen, dass das ein Polynom des Grads n mit dem Hauptkoeffizienten 1 mit dem maximalen absoluten Wert auf dem Zwischenraum [&minus;1, 1] weniger ist als.

Definieren Sie

:

Weil an äußersten Punkten von uns haben

::

Vom Zwischenwertlehrsatz, hat mindestens n Wurzeln. Jedoch ist das unmöglich, wie ein Polynom des Grads ist, so deutet der Hauptsatz der Algebra an, dass es an den meisten Wurzeln hat.

Andere Eigenschaften

Die Polynome von Tschebyscheff sind ein spezieller Fall des ultrakugelförmigen oder der Polynome von Gegenbauer, die selbst ein spezieller Fall der Polynome von Jacobi sind:

Für jede natürliche Zahl sind n, T (x) und U (x) beide Polynome des Grads n. Sie sind sogar oder sonderbare Funktionen von x, weil n sogar oder seltsam, so wenn geschrieben, als Polynome von x ist, hat es nur sogar oder sonderbare Grad-Begriffe beziehungsweise. Tatsächlich,

:und:

Der Hauptkoeffizient von T ist wenn, aber 1 wenn.

T sind ein spezieller Fall von Kurven von Lissajous mit dem n gleichen Frequenzverhältnis.

Mehrere polynomische Folgen wie Polynome von Lucas (L), Polynome von Dickson (D), Polynome von Fibonacci (F) sind mit Polynomen von Tschebyscheff T und U verbunden.

Die Polynome von Tschebyscheff der ersten Art befriedigen die Beziehung

:

der von der Formel des Produktes zur Summe für den Kosinus leicht bewiesen wird. Die Polynome der zweiten Art befriedigen die ähnliche Beziehung

:

Ähnlich der Formel

:

wir haben die analoge Formel

:.

Da

:

der aus der Tatsache folgt, dass das definitionsgemäß dafür hält.

Lassen Sie

:.

Dann und tauschen Polynome ein:

:

wie im Nisten-Eigentum von Abelian offensichtlich ist, das oben angegeben ist.

Beispiele

</Mathematik>

der gibt

:

a_n=

\begin {Fälle }\

- \log (2) &:n = 0 \\

\frac {-2 (-1) ^n} {n} &: n> 0.

\end {Fälle }\</Mathematik>

Wechselweise, wenn Sie das Skalarprodukt der Funktion nicht bewerten können, versuchen Sie näher zu kommen, die getrennte orthogonality Bedingung gibt

:

a_n =\frac {2-\delta_ {0n}} {N }\\sum_ {k=0} ^ {n-1} T_n (x_k) \log (1+x_k),

</Mathematik>

wo die Delta-Funktion von Kronecker ist und der Nullen von N Gauss-Lobatto von zu sein

:

Das erlaubt uns zu rechnen die Koeffizienten sehr effizient durch den getrennten Kosinus gestalten um

:

a_n =\frac {2-\delta_ {0n}} {N }\\sum_ {k=0} ^ {n-1 }\\cos\left (\frac {n\pi\left (k +\frac {1} {2 }\\Recht)} {N }\\Recht) \log (1+x_k).

</Mathematik>

Beispiel 2

Ein anderes Beispiel zur Verfügung zu stellen:

:

Teilweise Summen

Die teilweisen Summen von

:sind

in der Annäherung von verschiedenen Funktionen und in der Lösung von Differenzialgleichungen sehr nützlich (sieh geisterhafte Methode). Zwei übliche Methodik, für die Koeffizienten zu bestimmen, durch den Gebrauch des Skalarprodukts als in der Methode von Galerkin und durch den Gebrauch der Kollokation zu sein, die mit der Interpolation verbunden ist.

Als ein interpolant werden die N Koeffizienten der teilweisen Summe gewöhnlich auf den Chebyshev-Gauss-Lobatto-Punkten erhalten (oder Bratrost von Lobatto), der auf minimalen Fehler hinausläuft und das mit einem gleichförmigen Bratrost vereinigte Phänomen von Runge vermeidet. Diese Sammlung von Punkten entspricht dem extrema des höchsten Ordnungspolynoms in der Summe plus die Endpunkte und wird gegeben durch:

:

Polynom in der Form von Tschebyscheff

Ein willkürliches Polynom des Grads N kann in Bezug auf die Polynome von Tschebyscheff der ersten Art geschrieben werden. Solch ein Polynom p (x) ist der Form

:

Polynome in der Form von Tschebyscheff können mit dem Algorithmus von Clenshaw bewertet werden.

Ausbreitungspolynome

Die Ausbreitungspolynome sind gewissermaßen zu den Polynomen von Tschebyscheff der ersten Art gleichwertig, aber ermöglichen, Quadratwurzeln und herkömmliche trigonometrische Funktionen in bestimmten Zusammenhängen namentlich in der vernünftigen Trigonometrie zu vermeiden.

Siehe auch

• Knoten von Tschebyscheff
• Filter von Tschebyscheff
• Würfel von Tschebyscheff lässt einwurzeln
• Polynome von Dickson
• Polynome von Legendre
• Polynome von Hermite
• Tschebyscheff vernünftige Funktionen
• Quadratur von Clenshaw-Curtis
• Annäherungstheorie
• Das Chebfun System
• Getrennter Tschebyscheff gestaltet um

Referenzen

• Dette, Holger (1995), Ein Zeichen auf Einigen Eigenartigen Nichtlinearen Extremal Phänomenen der Polynome von Tschebyscheff, Verhandlungen Edinburghs Mathematische Gesellschaft 38, 343-355
• Eremenko, A.; Lempert, L. (1994), Ein Extremal Problem Für Polynome, Verhandlungen der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft, des Bands 122, der Nummer 1, 191-193
• Remes, Eugene, auf einem Extremal Eigentum von Polynomen von Tschebyscheff

Links

• Modul für Polynome von Tschebyscheff durch John H. Mathews
• Tschebyscheff Interpolation: Eine Interaktive Tour, schließt das veranschaulichende Java applet ein.
• Numerische Computerwissenschaft mit Funktionen: Das Chebfun-Projekt
• Gibt es eine intuitive Erklärung für ein extremal Eigentum von Polynomen von Tschebyscheff?