Eine logarithmische Spirale, equiangular Spirale oder Wachstumsspirale ist eine spezielle Art der spiralförmigen Kurve, die häufig in der Natur erscheint. Die logarithmische Spirale wurde zuerst von Descartes beschrieben und später umfassend von Jacob Bernoulli untersucht, der sie Spira mirabilis, "die erstaunliche Spirale genannt hat".

Definition

In Polarkoordinaten kann die logarithmische Kurve als geschrieben werden

oder

damit, die Basis von natürlichen Logarithmen zu sein, und und willkürliche positive echte Konstanten zu sein.

In der parametrischen Form ist die Kurve

mit reellen Zahlen und.

Die Spirale hat das Eigentum, dass der Winkel φ zwischen der Tangente und radialen Linie am Punkt unveränderlich ist. Dieses Eigentum kann in geometrischen Differenzialbegriffen als ausgedrückt werden

Die Ableitung dessen ist zum Parameter proportional. Mit anderen Worten kontrolliert es wie "dicht" und in der Richtung die spiralförmigen Spiralen. Im äußersten Fall, dass die Spirale ein Kreis des Radius wird. Umgekehrt in der Grenze, die sich Unendlichkeit nähert (φ  0) neigt die Spirale zu einer geraden Halblinie. Die Ergänzung von φ wird den Wurf genannt.

Spira mirabilis und Jacob Bernoulli

Spira mirabilis, Latein für die "wunderbare Spirale", ist ein anderer Name für die logarithmische Spirale. Obwohl diese Kurve bereits von anderen Mathematikern genannt worden war, wurde der besondere Name ("wunderbare" oder "erstaunliche" Spirale) dieser Kurve von Jacob Bernoulli gegeben, weil er durch einen seiner einzigartigen mathematischen Eigenschaften fasziniert wurde: Die Größe der spiralförmigen Zunahmen, aber seiner Gestalt ist mit jeder aufeinander folgenden Kurve, ein als Selbstähnlichkeit bekanntes Eigentum unverändert. Vielleicht infolge dieses einzigartigen Eigentums hat sich der spira mirabilis in der Natur entwickelt, in bestimmten wachsenden Formen wie Nautilus-Schalen und Sonnenblume-Köpfe erscheinend. Jakob Bernoulli hat solch eine Spirale gewollt, die auf seinem Grabstein zusammen mit dem Ausdruck "Eadem mutata resurgo" eingraviert ist ("Obwohl geändert, ich werde dasselbe entstehen."), aber, durch den Fehler, wurde eine Spirale von Archimedean dorthin stattdessen gelegt.

Eigenschaften

Die logarithmische Spirale kann von der Spirale von Archimedean durch die Tatsache bemerkenswert sein, dass die Entfernungen zwischen dem turnings einer logarithmischen spiralförmigen Zunahme im geometrischen Fortschritt, während in einer Spirale von Archimedean diese Entfernungen unveränderlich sind.

Logarithmische Spiralen sind darin selbstähnlich sie sind unter allen Ähnlichkeitstransformationen selbstkongruent (sie erkletternd gibt dasselbe Ergebnis wie das Drehen von ihnen). Das Schuppen durch einen Faktor gibt dasselbe als das Original ohne Folge. Sie sind auch zu ihrem eigenen involutes, evolutes, und den auf ihren Zentren gestützten Pedal-Kurven kongruent.

An einem Punkt und dem Bewegen nach innen entlang der Spirale anfangend, kann man den Ursprung eine unbegrenzte Zahl von Zeiten umkreisen, ohne es zu erreichen; noch ist die auf diesem Pfad bedeckte Gesamtentfernung begrenzt; d. h. die Grenze, als dazu geht, ist begrenzt. Dieses Eigentum wurde zuerst von Evangelista Torricelli sogar begriffen, bevor Rechnung erfunden worden war.

Die bedeckte Gesamtentfernung ist, wo die lineare Entfernung von zum Ursprung ist.

Die Exponentialfunktion stellt genau alle Linien nicht Parallele mit der echten oder imaginären Achse im komplizierten Flugzeug, zu allen logarithmischen Spiralen im komplizierten Flugzeug mit dem Zentrum an 0 kartografisch dar. (Bis zum Hinzufügen von Vielfachen der ganzen Zahl zu den Linien aller Linien zu allen logarithmischen Spiralen kartografisch darzustellen, ist darauf.) Der Wurf-Winkel der logarithmischen Spirale ist der Winkel zwischen der Linie und der imaginären Achse.

Die Funktion, wo die Konstante eine komplexe Zahl mit dem imaginären Nichtnullteil ist, stellt die echte Linie zu einer logarithmischen Spirale im komplizierten Flugzeug kartografisch dar.

Man kann eine goldene Spirale bauen, eine logarithmische Spirale, die äußer durch einen Faktor des goldenen Verhältnisses für alle 90 Grade der Folge wächst (stellen ungefähr 17.03239 Grade auf), oder kommt ihr mit Fibonacci-Zahlen näher.

Logarithmische Spiralen in der Natur

In mehreren natürlichen Phänomenen kann man Kurven finden, die nah sind logarithmische Spiralen zu sein. Hier folgt einigen Beispielen und Gründen:

• Die Annäherung eines Falken zu seiner Beute. Ihre schärfste Ansicht ist in einem Winkel zu ihrer Richtung des Flugs; dieser Winkel ist dasselbe als der Wurf der Spirale.
• Die Annäherung eines Kerbtiers zu einer leichten Quelle. Sie sind gewohnt, die leichte Quelle in einem unveränderlichen Winkel zu ihrer Flugroute zu haben. Gewöhnlich ist die Sonne (oder Mond für nächtliche Arten) die einzige leichte Quelle und das Fliegen dieser Weg wird auf eine praktisch gerade Linie hinauslaufen.
• Die Arme spiralförmiger Milchstraßen. Unsere eigene Milchstraße, die Milchstraße, hat mehrere spiralförmige Arme, von denen jeder grob eine logarithmische Spirale mit dem Wurf von ungefähr 12 Graden ist.
• Die Nerven der Hornhaut (ist das, Hornhautnerven der subepithelischen Schicht, die in der Nähe von der oberflächlichen epithelischen Schicht der Hornhaut in einem logarithmischen spiralförmigen Muster begrenzt ist).
• Die Bänder von tropischen Zyklonen, wie Orkane.
• Viele biologische Strukturen einschließlich der Schalen von Weichtieren. In diesen Fällen kann der Grund Aufbau davon sein, ähnliche Gestalten, wie gezeigt, für polygonale Zahlen im grafischen Begleiten auszubreiten.
• Logarithmische spiralförmige Strände können sich als das Ergebnis der Welle-Brechung und Beugung durch die Küste formen. Halbmond-Bucht, Kalifornien ist ein Beispiel solch eines Typs des Strands.

Siehe auch

• Spirale von Archimedean
• Goldene Spirale
• Jim Wilson, Equiangular Spirale (oder logarithmische Spirale) und seine zusammenhängenden Kurven, Universität Georgias (1999)
• Alexander Bogomolny, Spira Mirabilis - Wunderbare Spirale, an der Knoten-Kürzung

Links

• Geschichte von Spira mirabilis und Mathematik
• Astronomie-Bild des Tages, Orkan Isabel gegen die Massagebad-Milchstraße
• Astronomie-Bild des Tages, Taifun Rammasun gegen die Feuerrad-Milchstraße
• SpiralZoom.com, eine Bildungswebsite über die Wissenschaft der Muster-Bildung, Spiralen in der Natur und Spiralen in der mythischen Einbildungskraft.
• Online-Erforschung mit JSXGraph (JavaScript)