Principia Mathematica

Der Principia Mathematica ist eine dreibändige Arbeit an den Fundamenten der Mathematik, die von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell geschrieben ist und 1910, 1912, und 1913 veröffentlicht ist. 1927 ist es in einer zweiten Ausgabe mit einer wichtigen Einführung In die Zweite Ausgabe, einen Anhang erschienen, der 9 und ein vollneuer Anhang C ersetzt hat.

PREMIERMINISTER, weil es häufig abgekürzt wird, ist ein Versuch, alle mathematischen Wahrheiten von einem bestimmten Satz von Axiomen und Interferenzregeln in der symbolischen Logik abzuleiten. Eine der Hauptinspirationen und Motivationen für den PREMIERMINISTER war die frühere Arbeit von Frege an der Logik, die zu von Russell entdeckten Paradoxen geführt hatte. Diese wurden im PREMIERMINISTER durch das Gebäude eines wohl durchdachten Systems von Typen vermieden: Eine Reihe von Elementen ist eines verschiedenen Typs, als jedes seiner Elemente ist (ein Satz ist nicht ein Element; ein Element ist nicht der Satz), und man kann vom "Satz aller Sätze" und ähnlicher Konstruktionen nicht sprechen, die zu Paradoxen führen würden (sieh das Paradox von Russell).

PREMIERMINISTER soll mit den 1903 Grundsätzen von Russell der Mathematik nicht verwirrt sein. PREMIERMINISTER setzt fest: "Die vorliegende Arbeit war von uns ursprünglich beabsichtigt, um in einem zweiten Volumen von Grundsätzen der Mathematik umfasst zu werden..., Aber weil wir vorwärts gegangen sind, ist es immer offensichtlicher geworden, dass das Thema sehr viel größeres ist, als wir gedacht hatten; außerdem auf vielen grundsätzlichen Fragen, die dunkel und zweifelhaft in der ehemaligen Arbeit verlassen worden waren, haben wir jetzt erreicht, was wir glauben, um befriedigende Lösungen zu sein."

Wie man

weit betrachtet, ist der PREMIERMINISTER von Fachmännern im Thema einer der wichtigsten und Arbeiten in der mathematischen Logik und Philosophie seit Aristoteles Organon. Die Moderne Bibliothek hat es 23. in eine Liste der 100 ersten Englischsprachigen Sachliteratur-Bücher des zwanzigsten Jahrhunderts gelegt.

Das Spielraum von Fundamenten hat gelegen

Der Principia hat nur Mengenlehre, Grundzahlen, Ordinalzahlen und reelle Zahlen bedeckt. Tiefere Lehrsätze von der echten Analyse wurden nicht eingeschlossen, aber am Ende des dritten Volumens war es Experten klar, dass ein großer Betrag der bekannten Mathematik im Prinzip im angenommenen Formalismus entwickelt werden konnte. Es war auch klar, wie lang solch eine Entwicklung sein würde.

Ein viertes Volumen auf den Fundamenten der Geometrie war geplant worden, aber die Autoren, die auf die intellektuelle Erschöpfung nach der Vollziehung des dritten eingelassen sind.

Der Aufbau der Theorie des PREMIERMINISTERS

Wie bemerkt, in der Kritik der Theorie durch Kurt Gödel (unten), verschieden von einer Formalist-Theorie, hat die "logicistic" Theorie des PREMIERMINISTERS keine "genaue Behauptung der Syntax des Formalismus". Eine andere Beobachtung besteht darin, dass fast sofort in der Theorie Interpretationen (im Sinne der Mustertheorie) in Bezug auf Wahrheitswerte für das Verhalten der Symbole "" (Behauptung der Wahrheit), "~" (logisch nicht), und "V" (logisch einschließlich ODER) präsentiert werden.

Wahrheitswerte: PREMIERMINISTER bettet die Begriffe "der Wahrheit" und "Unehrlichkeit" im Begriff "primitiver Vorschlag" ein. Eine rohe (reine) Formalist-Theorie würde die Bedeutung der Symbole nicht zur Verfügung stellen, die einen "primitiven Vorschlag" bilden — konnten die Symbole selbst absolut willkürlich und fremd sein. Die Theorie würde nur angeben, wie sich die Symbole gestützt auf der Grammatik der Theorie benehmen. Dann später, durch die Anweisung von "Werten", würde ein Modell eine Interpretation dessen angeben, was die Formeln sagen. So im formellen Zeichensatz von Kleene unten wird die "Interpretation" dessen, was die Symbole allgemein, und als natürliche Folgerung bedeuten, wie sie damit enden, verwendet zu werden, in Parenthesen, z.B, "¬ gegeben (nicht)". Aber das ist nicht eine reine Formalist-Theorie.

Der zeitgenössische Aufbau einer formellen Theorie

Die folgende Formalist-Theorie wird als Unähnlichkeit zur logicistic Theorie des PREMIERMINISTERS angeboten. Ein zeitgenössisches formelles System würde wie folgt gebaut:

  1. Symbole haben verwendet: Dieser Satz ist der Startsatz, und andere Symbole können erscheinen, aber nur definitionsgemäß von diesen beginnenden Symbolen. Ein Startsatz könnte der folgende Satz sein ist auf Kleene 1952 zurückzuführen gewesen: Logische Symbole "" (bezieht ein, WENN DANN, " ") ", &" (und), "V" (oder), "¬" (nicht), "" (für alle), "" (dort besteht); Prädikat-Symbol "=" (ist gleich); Funktionssymbole "+" (arithmetische Hinzufügung), "" (arithmetische Multiplikation), "'" (Nachfolger); individuelles Symbol "0" (Null); Variablen "a", "b", "c", usw.; und Parenthesen" (" und")".
  2. Symbol-Schnuren: Die Theorie wird "Reihen" von diesen Symbolen durch die Verkettung (Nebeneinanderstellung) bauen.
  3. Bildungsregeln: Die Theorie gibt die Regeln der Syntax (Regeln der Grammatik) gewöhnlich als eine rekursive Definition an, die mit "0" anfängt und angibt, wie man annehmbare Schnuren oder "gut gebildete Formeln" (wffs) baut. Das schließt eine Regel für "den Ersatz" ein. Schnuren für die Symbole hat "Variablen" (im Vergleich mit den anderen Symbol-Typen) genannt.
  4. Transformationsregel (N): Die Axiome, die die Handlungsweisen der Symbole und Symbol-Folgen angeben.
  5. Regel der Schlussfolgerung, des Abstands, Modus ponens: Die Regel, die der Theorie erlaubt, einen "Beschluss" von den "Propositionen" "loszumachen", die bis dazu geführt haben, und danach die "Propositionen" (Symbole links von der Linie  oder Symbole über der Linie wenn horizontal) zu verwerfen. Wenn das nicht der Fall wäre, dann würde Ersatz auf längere und längere Schnuren hinauslaufen, die vorgetragen werden müssen. Tatsächlich, nach der Anwendung des Modus ponens, wird nichts verlassen, aber der Beschluss, der Rest verschwindet für immer.

: Zeitgenössische Theorien geben häufig als ihr erstes Axiom das klassische oder den Modus ponens oder "die Regel des Abstands" an:

:: A, EIN  B  B

: Das Symbol "" wird gewöhnlich geschrieben, wie eine horizontale Linie hier "" bedeutet, "bezieht ein". Die Symbole A und B sind "Stellvertreter" für Schnuren; diese Form der Notation wird ein "Axiom-Diagramm" genannt (d. h. es gibt eine unzählbare Zahl von spezifischen Formen, die die Notation annehmen konnte). Das kann gewissermaßen ähnlich WENN DANN, aber mit einem Unterschied gelesen werden: Gegebenes Symbol spannt, WENN A und A B DANN B einbeziehen (und behalten Sie nur B für den weiteren Gebrauch). Aber bemerken Sie, dass die Symbole keine "Interpretation" (z.B, keine "Wahrheitstabelle" oder "Wahrheitswerte" oder "Wahrheitsfunktionen") und Modus ponens Erlös mechanistisch, durch die Grammatik allein haben.

Der logicistic Aufbau der Theorie des PREMIERMINISTERS

Der Leser wird sowohl bedeutende Ähnlichkeiten als auch ähnliche Unterschiede zu einer zeitgenössischen formellen Theorie beobachten. Kleene stellt fest, dass "dieser Abzug der Mathematik von der Logik als intuitiver axiomatics angeboten wurde. Die Axiome waren beabsichtigt, um geglaubt zu werden, oder mindestens als plausible Hypothesen bezüglich der Welt akzeptiert zu werden". Tatsächlich verschieden von einer Formalist-Theorie, die Symbole gemäß Regeln der Grammatik manipuliert, führt PREMIERMINISTER den Begriff von "Wahrheitswerten", d. h., Wahrheit und Unehrlichkeit im wirklichen Sinn und die "Behauptung der Wahrheit" fast sofort als die fünften und sechsten Elemente in der Struktur der Theorie (PREMIERMINISTER 1962:4-36) ein:

  • 1. Variablen.
  • 2. Gebrauch von verschiedenen Briefen.
  • 3. Die grundsätzlichen Funktionen von Vorschlägen: "Die Widersprechende Funktion, die" durch "~" und die "Logische Summe oder Abtrennende Funktion" symbolisiert ist, die durch "" symbolisiert ist, der als primitive und logische definierte Implikation wird nimmt (hat das folgende Beispiel auch gepflegt, 9 zu illustrieren. Definition unten) als

:: p  q. =. ~ p  q Df. (PREMIERMINISTER 1962:11)

: und logisches Produkt definiert als

:: p. q. =. ~ (~p  ~q) Df. (PREMIERMINISTER 1962:12)

: (Sieh mehr über die verwirrenden "Punkte" verwendet sowohl als ein grammatisches Gerät als auch als um logische Verbindung (logisch UND) an der Abteilung auf der Notation zu symbolisieren.)

  • 4. Gleichwertigkeit: Logische Gleichwertigkeit, nicht arithmetische Gleichwertigkeit: "" gegeben als eine Demonstration dessen, wie die Symbole verwendet werden, d. h., "So 'p  'tritt' q (p  q) 'ein'. (q  p)'." (PREMIERMINISTER 1962:7). Bemerken Sie, dass, einen Notations-PREMIERMINISTER zu besprechen, einen "meta" - Notation mit" [dem Raum]... [Raum] identifiziert":

:Logical-Gleichwertigkeit erscheint wieder als eine Definition:

::p  q. =. (p  q). (q  p.) (PREMIERMINISTER 1962:12),

:Notice das Äußere von Parenthesen. Dieser grammatische Gebrauch wird nicht angegeben und erscheint sporadisch; Parenthesen spielen wirklich eine wichtige Rolle in Symbol-Schnuren, jedoch, z.B, der Notation "(x)" für den zeitgenössischen "x".

  • 5. Wahrheitswerte: "Der 'Wahrheitswert' eines Vorschlags ist Wahrheit, wenn es wahre und "Lüge ist, wenn es" falsch ist (dieser Ausdruck ist wegen Frege) (PREMIERMINISTER 1962:7).
  • 6. Behauptungszeichen: "'. p' kann gelesen werden 'es ist dass'... so ' wahr:p. . q' bedeutet, dass 'es wahr ist, dass p q', wohingegen ' einbezieht. p. . q' bedeutet 'p ist wahr; deshalb ist q wahr'. Der erste von diesen schließt die Wahrheit entweder p oder q nicht notwendigerweise ein, während das zweite die Wahrheit von beiden" (PREMIERMINISTER 1962:92) einschließt.
  • 7. Schlussfolgerung: PREMIERMINISTER 's Version des Modus ponens." [Wenn] '. p' und ' (p  q)', sind dann'  vorgekommen. q 'wird vorkommen, wenn es gewünscht wird, um es in den Akten zu stellen. Der Prozess der Schlussfolgerung kann auf Symbole nicht reduziert werden. Seine alleinige Aufzeichnung ist das Ereignis' . p '[mit anderen Worten verschwinden die Symbole links oder können]" (PREMIERMINISTER 1962:9) gelöscht werden.
  • 8. Der Gebrauch von Punkten: Sieh die Abteilung auf der Notation.
  • 9. Definitionen: Diese verwenden "=" Zeichen mit "Df" am richtigen Ende. Sieh die Abteilung auf der Notation.
  • 10. Zusammenfassung von vorhergehenden Behauptungen: kurze Diskussion der primitiven Ideen "~ p" und "p  q" und zu einem Vorschlag vorbefestigter "".
  • 11. Primitive Vorschläge: die Axiome oder Postulate. Das wurde in der 2. Ausgabe bedeutsam modifiziert.
  • 12. Aussagefunktionen: Der Begriff "des Vorschlags" wurde in der 2. Ausgabe einschließlich der Einführung von durch logische Zeichen verbundenen "Atom"-Vorschlägen bedeutsam modifiziert, "molekulare" Vorschläge und den Gebrauch des Ersatzes von molekularen Vorschlägen in atomare oder molekulare Vorschläge zu bilden, um neue Ausdrücke zu schaffen.
  • 13. Der Wertbereich und die Gesamtschwankung.
  • 14. Zweideutige Behauptung und die echte Variable: Das und die folgenden zwei Abteilungen wurden modifiziert oder in der 2. Ausgabe aufgegeben. Insbesondere die Unterscheidung zwischen den Konzepten, die in Abteilungen 15 definiert sind. Definition und die echte Variable und 16 Vorschläge, die echte und offenbare Variablen verbinden, wurden in der zweiten Ausgabe aufgegeben.
  • 17. Formelle Implikation und formelle Gleichwertigkeit.
  • 18. Identität: Sieh die Abteilung auf der Notation. Das Symbol "=" zeigt "Prädikat" oder arithmetische Gleichheit an.
  • 19. Klassen und Beziehungen.
  • 20. Verschiedene beschreibende Funktionen von Beziehungen.
  • 21. Beschreibende Mehrzahlfunktionen.
  • 22. Einheitsklassen.

Primitive Ideen

Vgl Premierminister 1962:90-94, für die Erstausgabe:

  • (1) Elementare Vorschläge.
  • (2) Elementare Vorschläge von Funktionen.
  • (3) Behauptung: Führt die Begriffe "der Wahrheit" und "Unehrlichkeit" ein.
  • (4) Behauptung einer Aussagefunktion.
  • (5) Ablehnung: "Wenn p ein Vorschlag ist, ist der Vorschlag "nicht-p", oder "p falsch," wird durch "~p" vertreten".
  • (6) Trennung: "Wenn p und q ein propositons sind, der Vorschlag "p oder q, d. h. "ist entweder p wahr oder q ist wahr," wo die Alternativen nicht gegenseitig exklusiv sein sollen, wird durch "p  q"" vertreten.
  • (vgl Abschnitt B)

Primitive Vorschläge (Seiten)

Die Erstausgabe (sieh discusion hinsichtlich der zweiten Ausgabe, unten), beginnt mit einer Definition des Zeichens ""

1.01. p  q. =. ~ p  q. Df.

1.1. Irgendetwas Einbezogenes durch einen wahren elementaren Vorschlag ist wahr. Seiten-Modus ponens

(1.11 wurde in der zweiten Ausgabe aufgegeben.)

1.2. : p  p. . p. Seiten-Grundsatz der Tautologie

1.3. :q. . p  q. Seiten-Grundsatz der Hinzufügung

1.4. : p  q. . q  p. Seiten-Grundsatz der Versetzung

1.5. : p  (q  r). . q  (p  r). Seiten assoziativer Grundsatz

1.6. :. q  r. : p  q. . p  r. Seiten-Grundsatz der Summierung

1.7. Wenn p ein elementarer Vorschlag ist, ist ~p ein elementarer Vorschlag. Seiten

1.71. Wenn p und q elementare Vorschläge sind, p  ist q ein elementarer Vorschlag. Seiten

1.72. Wenn φp und ψp elementare Aussagefunktionen sind, die elementare Vorschläge als Argumente nehmen, φp  ist ψp ein elementarer Vorschlag. Seiten

Zusammen mit der "Einführung in die Zweite Ausgabe", der Anhang der zweiten Ausgabe Hemmungslosigkeiten der komplette Abschnitt 9. Das schließt sechs primitive Vorschläge 9 bis 9.15 zusammen mit den Axiomen von reducibility ein.

Die revidierte Theorie wird schwierig durch die Einführung des Schlags von Sheffer (" | ") gemacht, "um Inkompatibilität" zu symbolisieren (d. h., wenn sowohl elementare Vorschläge p als auch q wahr sind, ist ihr "Schlag" p | q falsch), der zeitgenössische logische NAND (nicht - UND). In der revidierten Theorie präsentiert die Einführung den Begriff des "Atomvorschlags", eine "Gegebenheit", die "dem philosophischen Teil der Logik gehört". Diese haben keine Teile, die Vorschläge sind und die Begriffe "alle" oder "einige" nicht enthalten. Zum Beispiel: "Das ist rot", oder "das ist früher als das". Solche Dinge können Anzeige finitum, d. h., sogar ein "unendlicher eunumeration" von ihnen bestehen, "um Allgemeinheit" (d. h., der Begriff "für alle") zu ersetzen. PREMIERMINISTER dann "Fortschritt [s] zu molekularen Vorschlägen", die alle durch "den Schlag" verbunden werden. Definitionen geben Gleichwertigkeiten für" ~ ","  ","  ", und". ".

Die neue Einführung definiert "elementare Vorschläge" als atomare und molekulare Positionen zusammen. Es ersetzt dann alle primitiven Vorschläge 1.2 zu 1.72 mit einem einzelnen primitiven in Bezug auf den Schlag eingerahmten Vorschlag:

: "Wenn p, q, r elementare Vorschläge, gegeben p und p (qr) sind, können wir r ableiten. Das ist ein primitiver Vorschlag."

Die neue Einführung behält die Notation für "dort besteht" (jetzt umgearbeitet als "manchmal wahr") und "für alle" (umgearbeitet als "immer wahr"). Anhang Kräfte der Begriff "der Matrix" oder "aussagenden Funktion" (eine "primitive Idee", PREMIERMINISTER 1962:164) und Geschenke vier neue Primitive Vorschläge als 8.1- 8.13.

88. Axiom von Multiplicative

102. Axiom der Unendlichkeit

Notation im PREMIERMINISTER verwendet

Ein Autor bemerkt, dass "Die Notation in dieser Arbeit durch die nachfolgende Entwicklung der Logik während des 20. Jahrhunderts im Ausmaß ersetzt worden ist, dass der Anfänger Schwierigkeiten hat, PREMIERMINISTER überhaupt zu lesen"; während viel vom symbolischen Inhalt zur modernen Notation umgewandelt werden kann, ist die ursprüngliche Notation selbst "ein Thema des wissenschaftlichen Streits" und eine Notation "embod [y] substantivische logische Doktrinen, so dass es durch die zeitgenössische Symbolik nicht einfach ersetzt werden kann".

Kurt Gödel war gegenüber der Notation hart kritisch:

: "Es soll bedauert werden, dass diese erste umfassende und gründliche Präsentation einer mathematischen Logik und die Abstammung der Mathematik davon in der formellen Präzision in den Fundamenten so außerordentlich fehlen (enthalten in 1- 21 von Principia [d. h., Abschnitte 1- 5 (Satzlogik), 8-14 (Prädikat-Logik mit der Identität/Gleichheit), 20 (Einführung in die Mengenlehre), und 21 (Einführung in die Beziehungstheorie)]), dass es in dieser Beziehung einen beträchtlichen Schritt umgekehrt im Vergleich zu Frege vertritt. Was vor allem vermisst wird, ist eine genaue Behauptung der Syntax des Formalismus. Syntaktische Rücksichten werden sogar in Fällen weggelassen, wo sie für die Überzeugungskraft der Beweise notwendig sind".

Das wird im Beispiel unten der Symbole "p", "q", "r" und "" widerspiegelt, der in die Schnur "p  q  r" gebildet werden kann. PREMIERMINISTER verlangt eine Definition dessen, was diese Symbol-Schnur in Bezug auf andere Symbole bedeutet; in zeitgenössischen Behandlungen hätten die "Bildungsregeln" (syntaktische Regeln, die "zu gut gebildeten Formeln" führen), die Bildung dieser Schnur verhindert.

Quelle der Notation: Kapitel I "Einleitende Erklärungen von Ideen und Notationen" beginnt mit der Quelle der Notation:

: "Die in der vorliegenden Arbeit angenommene Notation basiert auf diesen von Peano, und die folgenden Erklärungen werden einigermaßen auf denjenigen der er Präfixe zu seinem Formulario Mathematico [d. h., Peano 1889] modelliert. Sein Gebrauch von Punkten als Klammern wird angenommen, und ist auch viele seiner Symbole" (PREMIERMINISTER 1927:4).

PREMIERMINISTER nimmt das Behauptungszeichen "" von 1879 Begriffsschrift von Frege an:

: "(I) kann t gelesen werden 'es ist das'" wahr

So einen Vorschlag p PREMIERMINISTER zu behaupten, schreibt:

: ". p." (PREMIERMINISTER 1927:92)

(Bemerken Sie, dass, als im Original, der linke Punkt quadratisch ist und der größeren Größe als die Periode rechts.)

Eine Einführung in die Notation der "Abteilung Eine Mathematische Logik" (Formeln 1- 5.71)

PREMIERMINISTER 's Punkte wird gewissermaßen ähnlich Parenthesen verwendet. Später im Abschnitt 14 erscheinen Klammern" []", und in Abteilungen 20 und im Anschluss an, geschweifte Klammern "{}" erscheinen. Ob diese Symbole spezifische Bedeutungen haben oder gerade für die Seherläuterung sind, ist unklar. Mehr als ein Punkt zeigt die "Tiefe" der Parenthesen z.B an,".", ":" oder ":." "::" usw. Leider für zeitgenössische Leser, der einzelne Punkt (sondern auch ":" ":." ":: ", usw.) wird verwendet, um "logisches Produkt" (zeitgenössisch logisch UND häufig symbolisiert durch" &" oder "") zu symbolisieren.

Logische Implikation wird durch den zu "" vereinfachten "Ɔ" von Peano vertreten, logische Ablehnung wird durch eine verlängerte Tilde, d. h., "~" (zeitgenössischer "~" oder "¬"), das logische ODER durch "v" symbolisiert. Das Symbol "=" zusammen mit "Df" wird verwendet, um anzuzeigen, "wird als definiert", wohingegen in Abteilungen 13 und im Anschluss an, "=" als (mathematisch) "identisch mit", d. h., zeitgenössische mathematische "Gleichheit" (vgl Diskussion im Abschnitt 13) definiert wird. Logische Gleichwertigkeit wird durch "" (zeitgenössisch "wenn und nur wenn") vertreten; "elementare" Aussagefunktionen werden auf die übliche Weise z.B geschrieben, "f (p)", aber später erscheint das Funktionszeichen direkt vor der Variable ohne Parenthese z.B, "φx", "χx" usw.

Beispiel, PREMIERMINISTER führt die Definition des "logischen Produktes" wie folgt ein:

: 3.01. p. q. =. ~ (~p v ~q) Df.

:: wo "p. q" das logische Produkt von p und q ist.

: 3.02. p  q  r. =. p  q. q  r Df.

:: Diese Definition dient bloß, um Beweise abzukürzen.

Übersetzung der Formeln in zeitgenössische Symbole: Verschiedene Autoren verwenden abwechselnde Symbole, so kann keine endgültige Übersetzung gegeben werden. Jedoch, wegen Kritiken wie die von Kurt Gödel unten, werden die besten zeitgenössischen Behandlungen in Bezug auf die "Bildungsregeln" (die Syntax) der Formeln sehr genau sein.

Die erste Formel könnte in die moderne Symbolik wie folgt umgewandelt werden:

: (p & q) = (~ (~p v ~q))

abwechselnd

: (p & q) = (¬ (¬ p v ¬ q))

abwechselnd

: (p  q) = (¬ (¬ p v ¬ q))

usw.

Die zweite Formel könnte wie folgt umgewandelt werden:

: (p  q  r) = (p  q) & (q  r)

Aber bemerken Sie, dass das zu (p  (q  r)) noch dazu nicht (logisch) gleichwertig ist ((p  q)  r), und diese zwei auch nicht logisch gleichwertig sind. Die Tatsache, dass solch eine zweideutige Formel als p  q  r infolge der Anwendung des Formalismus des PREMIERMINISTERS erscheinen könnte, widerspiegelt die harte Kritik von Kurt Gödel.

Eine Einführung in die Notation der "Theorie des Abschnitts B von Offenbaren Variablen" (Formeln 8- 14.34)

Diese Abteilungen betreffen, was jetzt als Prädikat-Logik und Prädikat-Logik mit der Identität (Gleichheit) bekannt ist.

:* NB: Infolge der Kritik und Fortschritte ersetzt die zweite Ausgabe des PREMIERMINISTERS (1927) 9 durch einen neuen 8 (Anhang A). Diese neue Abteilung beseitigt die Unterscheidung der Erstausgabe zwischen echten und offenbaren Variablen, und es beseitigt "die primitive Idee 'Behauptung einer Aussagefunktion'. Zur Kompliziertheit der Behandlung, 8 beizutragen, führt den Begriff ein, eine "Matrix" und den Schlag von Sheffer einzusetzen:

:::* Matrix: Im Zeitgenössischen Gebrauch ist PREMIERMINISTER 's Matrix (mindestens für Aussagefunktionen), eine Wahrheitstabelle, d. h., alle Wahrheitswerte einer Satzfunktion oder Prädikat-Funktion.

:::* Schlag von Sheffer: Ist der zeitgenössische logische NAND (NICHT - UND), d. h., "Inkompatibilität", bedeutend:

:::: "In Anbetracht zwei Vorschläge p und q, dann 'p | q' bedeutet, dass "Vorschlag p mit dem Vorschlag q unvereinbar ist, d. h., wenn beide Vorschläge p und q so falsch bewerten, dann bewertet p | q wie wahr." Nach dem Abschnitt 8 sieht der Schlag von Sheffer keinen Gebrauch.

Abschnitt 10: Die existenziellen und universalen "Maschinenbediener": PREMIERMINISTER trägt" (x) bei", um die zeitgenössische Symbolik "für den ganzen x "d. h.," x" zu vertreten, und es verwendet umgekehrt serifed E, um zu vertreten, "dort besteht ein x", d. h., "(Ǝx)", d. h., der zeitgenössische "x". Die typische Notation würde dem folgenden ähnlich sein:

: "(x). φx" bedeutet "für alle Werte der Variable x, Funktion φ bewertet zum wahren"

: "(Ǝx). φx" bedeutet "für einen Wert der Variable x, Funktion φ bewertet zum wahren"

Abschnitte 10, 11, 12: Eigenschaften einer Variable haben sich bis zu alle Personen ausgestreckt: Abschnitt 10 führt den Begriff "eines Eigentums" einer "Variable" ein. PREMIERMINISTER führt das Beispiel an: φ ist eine Funktion, die anzeigt, "ist ein Grieche", und ψ zeigt an "ist ein Mann", und χ zeigt an "ist ein Sterblicher" diese Funktionen dann gelten für eine Variable x. PREMIERMINISTER kann jetzt schreiben und bewerten:

: (x). ψx

Die Notation über Mitteln "für den ganzen x, x ist ein Mann". In Anbetracht einer Sammlung von Personen kann man die obengenannte Formel für die Wahrheit oder Unehrlichkeit bewerten. Zum Beispiel, in Anbetracht der eingeschränkten Sammlung von Personen {Sokrates, Plato, Russell, Zeus} bewertet der obengenannte zum "wahren", wenn wir Zeus berücksichtigen, um ein Mann zu sein. Aber es scheitert für:

: (x). φx

weil Russell nicht Grieche ist. Und es scheitert für

: (x). χx

weil Zeus nicht ein Sterblicher ist.

Ausgestattet mit diesem Notations-PREMIERMINISTER kann Formeln schaffen, um den folgenden auszudrücken: "Wenn alle Griechen Männer sind, und wenn alle Männer Sterbliche dann sind, sind alle Griechen Sterbliche". (PREMIERMINISTER 1962:138)

: (x). φx  ψx: (x). ψx  χx: : (x). φx  χx

Ein anderes Beispiel: die Formel:

: 10.01. (Ǝx). φx. =. ~ (x). ~ φx Df.

bedeutet, dass "Die Symbole, die die Behauptung 'Dort vertreten, mindestens ein x bestehen, der befriedigt, wird Funktion φ' durch die Symbole definiert, die die Behauptung vertreten, 'Es ist dass in Anbetracht aller Werte von x nicht wahr, es gibt keine Werte von x, der φ' befriedigt".

Die Symboliken  und "" erscheinen an 10.02 und 10.03. Beide sind Abkürzungen für die Allgemeinheit (d. h., für alle), die die Variable x dem logischen Maschinenbediener binden. Zeitgenössische Notation hätte einfach Parenthesen außerhalb der Gleichheit (" = ") Zeichen verwendet:

: 10.02 φx  ψx. =. (x). φx  ψx Df

:: Zeitgenössische Notation: x (φ (x)  ψ (x)) (oder eine Variante)

: 10.03 φx  ψx. =. (x). φx  ψx Df

:: Zeitgenössische Notation: x (φ (x)  ψ (x)) (oder eine Variante)

PREMIERMINISTER schreibt die erste Symbolik Peano zu.

Abschnitt 11 wendet diese Symbolik auf zwei Variablen an. So die folgenden Notationen: , , konnte  alles in einer einzelnen Formel erscheinen.

Abschnitt 12 führt den Begriff "der Matrix" (zeitgenössische Wahrheitstabelle), den Begriff von logischen Typen, und insbesondere die Begriffe von Funktionen der ersten Ordnung und zweiten Ordnung und Vorschlägen wiederein.

Neue Symbolik "φ! x" vertritt jeden Wert einer Funktion der ersten Ordnung. Wenn ein Zirkumflex "^" über eine Variable gelegt wird, dann ist das ein "individueller" Wert von y, bedeutend, dass "ŷ" "Personen" (z.B, eine Reihe in einer Wahrheitstabelle) anzeigt; diese Unterscheidung ist wegen der Matrix/Verlängerungs-Natur von Aussagefunktionen notwendig.

Jetzt ausgestattet mit dem Matrixbegriff kann PREMIERMINISTER sein umstrittenes Axiom von reducibility behaupten: Eine Funktion von einer oder zwei Variablen (zwei, für den PREMIERMINISTER 's Gebrauch genügend seiend), wo alle seine Werte gegeben werden (d. h., in seiner Matrix) ist ("  ") zu etwas "aussagender" Funktion derselben Variablen (logisch) gleichwertig. Die Ein-Variable-Definition wird unten als eine Illustration der Notation (PREMIERMINISTER 1962:166-167) gegeben:

12.1 :f): φx. . f! x Seiten;

:: Seiten sind ein "Primitiver Vorschlag" ("Vorschläge, die ohne Beweis" (PREMIERMINISTER 1962:12, d. h., zeitgenössische "Axiome") angenommen sind, zu den 7 beitragend, die im Abschnitt 1 definiert sind (mit 1.1 Modus ponens anfangend). Diese sollen von den "primitiven Ideen" bemerkenswert sein, die das Behauptungszeichen "", Ablehnung "~", logisch ODER "V", die Begriffe des "elementaren Vorschlags" und "der elementaren Aussagefunktion" einschließen; diese sind so nah, wie PREMIERMINISTER zu Regeln der notational Bildung, d. h., Syntax kommt.

Das bedeutet: "Wir behaupten die Wahrheit des folgenden: Dort besteht eine Funktion f mit dem Eigentum dass: In Anbetracht aller Werte von x sind ihre Einschätzungen in der Funktion φ (d. h., ihre Matrix resultierend), zu einem f logisch gleichwertig, der an jenen denselben Werten von x. (und umgekehrt, folglich logische Gleichwertigkeit) bewertet ist". Mit anderen Worten: In Anbetracht einer Matrix, die durch das Eigentum φ bestimmt ist, angewandt auf die Variable x, dort besteht eine Funktion f, der, wenn angewandt, auf den x zur Matrix logisch gleichwertig ist. Oder: Jede Matrix φx kann durch eine Funktion f angewandt auf x, und umgekehrt vertreten werden.

13: Der Identitätsmaschinenbediener "=": Das ist eine Definition, die das Zeichen auf zwei verschiedene Weisen, wie bemerkt, durch das Zitat aus dem PREMIERMINISTER verwendet:

: 13.01. x = y. =: (φ): φ! x. . φ! y Df

Mittel:

: "Diese Definition stellt fest, dass x und y identisch genannt werden sollen, wenn jede aussagende durch x zufriedene Funktion auch durch y zufrieden ist... Bemerken Sie, dass das zweite Zeichen der Gleichheit in der obengenannten Definition mit "Df" verbunden wird, und so nicht wirklich dasselbe Symbol wie das Zeichen der Gleichheit ist, die definiert wird."

Das Nicht-Gleichheitszeichen "" macht sein Äußeres als eine Definition an 13.02.

14: Beschreibungen:

: "Eine Beschreibung ist ein Ausdruck der Form "der Begriff y, der φŷ befriedigt, wo φŷ etwas durch ein und nur ein Argument zufriedene Funktion ist."

Von diesem PREMIERMINISTER Angestellte zwei neue Symbole, ein Vorwärts"E" und ein umgekehrtes Jota "". Hier ist ein Beispiel:

: 14.02. E! (y) (φy). =: (Ǝb):φy. . y = b Df.

Das hat die Bedeutung:

: "Der y, der φŷ befriedigt, besteht," der hält, wenn, und nur wenn φŷ durch einen Wert von y und durch keinen anderen Wert zufrieden ist." (PREMIERMINISTER 1967:173-174)

Einführung in die Notation der Theorie von Klassen und Beziehungen

Der Text springt vom Abschnitt 14 direkt zu den foundational Abteilungen 20 ALLGEMEINE THEORIE VON KLASSEN und 21 ALLGEMEINE THEORIE VON BEZIEHUNGEN. "Beziehungen" sind was bekannt in der zeitgenössischen Mengenlehre als befohlene Paare. Abschnitte 20 und 22 führen viele der Symbole noch im zeitgenössischen Gebrauch ein. Diese schließen die Symbole "ε", "", "", "", "-", "Λ", und "V" ein: "ε" ist wichtig "ist ein Element" (PREMIERMINISTER 1962:188); "" (22.01) ist wichtig "wird darin enthalten" "ist eine Teilmenge"; "" (22.02) bedeutet die Kreuzung (logisches Produkt) Klassen (Sätze); "" (22.03) bedeutet die Vereinigung (logische Summe) Klassen (Sätze); "-" (22.03) bedeutet Ablehnung einer Klasse (Satz); "Λ" bedeutet die ungültige Klasse; und "V" bedeutet die universale Klasse oder das Weltall des Gesprächs.

Kleine griechische Briefe (anders als "ε", "ι", "π", "φ", "ψ", "χ", und "θ") vertreten Klassen (z.B, "α", "β", "γ", "δ", usw.) (PREMIERMINISTER 1962:188):

: x ε α\

:: "Der Gebrauch des einzelnen Briefs im Platz von Symbolen wie  (φz) oder ! z) ist fast unentbehrlicher practicallly, da sonst die Notation schnell unerträglich lästig wird. So 'x ε α' wird 'x bedeuten ist ein Mitglied der Klasse α'". (PREMIERMINISTER 1962:188)

:α -α = V

:: Die Vereinigung eines Satzes und seines Gegenteils ist der universale (vollendete) Satz.

:α -α = Λ\

:: Die Kreuzung eines Satzes und seines Gegenteils ist der ungültige (leere) Satz.

Wenn angewandt, auf Beziehungen in der RECHNUNG des Abschnitts 23 VON BEZIEHUNGEN erwerben die Symbole "", "", "", und "-" einen Punkt: zum Beispiel: "", "".

Der Begriff und die Notation, "einer Klasse" (gehen unter): In der Erstausgabe behauptet PREMIERMINISTER, dass keine neuen primitiven Ideen notwendig sind, um zu definieren, was durch "eine Klasse" gemeint wird, und nur zwei neue "primitive Vorschläge" die Axiome von reducibility für Klassen und Beziehungen beziehungsweise (PREMIERMINISTER 1962:25) genannt haben. Aber bevor dieser Begriff definiert werden kann, fühlt PREMIERMINISTER es notwendig, um eine eigenartige Notation " (φz)" zu schaffen, dass es einen "Romangegenstand" nennt. (PREMIERMINISTER 1962:188)

: : x ε  (φz). . (φx)

:: "d. h., 'x ist ein Mitglied der Klasse, die durch (φ ) bestimmt ist', ist zu 'x [logisch] gleichwertig befriedigt (φ ),' oder zu' (φx) ist wahr. '". (PREMIERMINISTER 1962:25)

Mindestens kann PREMIERMINISTER dem Leser erzählen, wie sich diese Romangegenstände benehmen, weil "Eine Klasse ganz bestimmt ist, wenn seine Mitgliedschaft bekannt ist, d. h. kann es nicht zwei verschiedene classses geben ihn dieselbe Mitgliedschaft" (PREMIERMINISTER 1962:26) zu haben. Das wird durch die folgende Gleichheit symbolisiert (ähnlich 13.01 oben:

:  (φz) =  (ψz). : (x): φx. . ψx

:: "Das dauert ist die unterscheidende Eigenschaft von Klassen, und rechtfertigt uns im Behandeln  (ψz) als die Klasse, die durch [die Funktion] ψ  bestimmt ist." (PREMIERMINISTER 1962:188)

Vielleicht kann der obengenannte klarer durch die Diskussion von Klassen in der Einführung in die 2. Ausgabe gemacht werden, die über das Axiom von Reducibility verfügt und es durch den Begriff ersetzt: "Alle Funktionen von Funktionen sind" (PREMIERMINISTER 1962:xxxix), d. h., Verlängerungs-

: φx  ψx. . (x): ƒ (φ )  ƒ (ψ ) (PREMIERMINISTER 1962:xxxix)

Das hat das angemessene Meinen, dass, "WENN für alle Werte von x die Wahrheitswerte der Funktionen φ und ψ von x [logisch] gleichwertig sind, DANN sind der Funktions-ƒ eines gegebenen φ  und ƒ von ψ  [logisch] gleichwertig." PREMIERMINISTER behauptet, dass das "offensichtlich" ist:

: "Das ist offensichtlich, da φ nur im ƒ (φ ) durch den Ersatz von Werten von φ für p, q, r... in [logisch-] Funktion vorkommen kann, und, wenn φx  ψx der Ersatz von φx für p in [logisch-] Funktion denselben Wahrheitswert der Wahrheitsfunktion wie der Ersatz von ψx gibt. Folglich gibt es nicht mehr jeden Grund, zwischen Funktionsklassen zu unterscheiden, weil wir, auf Grund vom obengenannten, haben

: φx  ψx. . (x). φ  =. ψ  ".

Beobachten Sie die Änderung zur Gleichheit "=" Zeichen rechts. PREMIERMINISTER setzt fort festzustellen, dass das fortsetzen wird, auf die Notation " (φz)" zu hängen, aber das ist zu φ  bloß gleichwertig, und das eine Klasse ist. (alle Notierungen: PREMIERMINISTER 1962:xxxix).

Konsistenz und Kritiken

Gemäß den Logicist "Fundamenten von Carnap der Mathematik" hat Russell eine Theorie gewollt, die, wie man glaubhaft sagen konnte, die ganze Mathematik von rein logischen Axiomen abgeleitet hat. Jedoch hat Principia Mathematica, zusätzlich zu den grundlegenden Axiomen der Typ-Theorie, drei weitere Axiome verlangt, die geschienen sind, als bloße Sachen der Logik, nämlich das Axiom der Unendlichkeit, das Axiom der Wahl und das Axiom von reducibility nicht wahr zu sein. Seitdem die ersten zwei existenzielle Axiome waren, hat Russell mathematische Behauptungen abhängig von ihnen als conditionals ausgedrückt. Aber reducibility war erforderlich, sicher zu sein, dass die formellen Behauptungen sogar richtig Behauptungen der echten Analyse ausdrücken, so dass Behauptungen, je nachdem es als conditionals nicht wiederformuliert werden konnte. Frank P. Ramsey hat versucht zu behaupten, dass die Implikation von Russell der Theorie von Typen unnötig war, so dass reducibility entfernt werden konnte, aber diese Argumente sind nicht überzeugend geschienen.

Außer dem Status der Axiome als logische Wahrheiten sind die Fragen geblieben:

Wie man

bekannt, hat Satzlogik selbst entsprochen, aber dasselbe war für die Axiome von Principia der Mengenlehre nicht gegründet worden. (Sieh das zweite Problem von Hilbert.)

Gödel 1930, 1931

1930 hat der Vollständigkeitslehrsatz von Gödel gezeigt, dass Satzlogik selbst in einem viel schwächeren Sinn abgeschlossen war — d. h. muss jeder Satz, der von einem gegebenen Satz von Axiomen unbeweisbar ist, wirklich in einem Modell der Axiome falsch sein. Jedoch ist das nicht der stärkere Sinn der für Principia Mathematica gewünschten Vollständigkeit, da ein gegebenes System von Axiomen (wie diejenigen von Principia Mathematica) viele Modelle haben kann, in von dem etwas eine gegebene Behauptung wahr ist und in anderen, deren diese Behauptung falsch ist, so dass die Behauptung unbestimmt durch die Axiome verlassen wird.

Die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel werfen unerwartetes Licht auf diese zwei zusammenhängenden Fragen.

Der erste Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel hat gezeigt, dass Principia nicht sowohl konsequent als auch abgeschlossen sein konnte. Gemäß dem Lehrsatz, für jedes genug starke logische System (wie Principia), dort besteht eine Behauptung G, die im Wesentlichen liest, "Kann die Behauptung G nicht bewiesen werden." Solch eine Behauptung ist eine Art Fang 22: Wenn G nachweisbar ist, dann ist es falsch, und das System ist deshalb inkonsequent; und wenn G nicht nachweisbar ist, dann ist es wahr, und das System ist deshalb unvollständig.

Der zweite Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel (1931) Shows, dass kein formelles System, das grundlegende Arithmetik erweitert, verwendet werden kann, um seine eigene Konsistenz zu beweisen. So die Behauptung "gibt es keine Widersprüche im System von Principia" kann im System von Principia nicht bewiesen werden, wenn es Widersprüche im System nicht gibt (in welchem Fall es sowohl wahr als auch falsch bewiesen werden kann).

Wittgenstein 1919, 1939

Durch die zweite Ausgabe des PREMIERMINISTERS hatte Russell sein Axiom von reducibility zu einem neuen Axiom entfernt (obwohl er es als solcher nicht festsetzt). Gödel 1944:126 beschreibt es dieser Weg: "Diese Änderung wird mit dem neuen Axiom verbunden, dass Funktionen in Vorschlägen nur "durch ihre Werte", d. h. Verlängerungs-vorkommen können... [das ist] ziemlich einwandfrei sogar von der konstruktiven Einstellung... vorausgesetzt, dass quantifiers immer auf bestimmte Ordnungen eingeschränkt werden". Diese Änderung von einer quasi-intensional Positur bis eine völlig Verlängerungspositur schränkt auch Prädikat-Logik auf die zweite Ordnung, d. h. Funktionen von Funktionen ein: "Wir können entscheiden, dass sich Mathematik auf Funktionen von Funktionen beschränken soll, die der obengenannten Annahme" (PREMIERMINISTER 2. Ausgabe p. 401, Anhang C) folgen.

Dieser neue Vorschlag ist auf ein schreckliches Ergebnis hinausgelaufen. Eine "Verlängerungspositur" und Beschränkung zu einer Prädikat-Logik der zweiten Ordnung bedeuten, dass eine Aussagefunktion, die allen Personen wie "der Ganze 'x' erweitert ist, blau ist", jetzt muss alle 'x' verzeichnen, die befriedigen (sind in wahr) der Vorschlag, sie in einer vielleicht unendlichen Verbindung verzeichnend: z.B x V x V... V x V.... Komischerweise ist diese Änderung als das Ergebnis der Kritik von Wittgenstein in seinen 1919 Tractatus Logico-Philosophicus geschehen. Wie beschrieben, durch Russell in der Einleitung zur 2. Ausgabe des PREMIERMINISTERS:

: "Es gibt einen anderen Kurs, der von Wittgenstein + (+Tractatus Logico-Philosophicus, *5.54ff) aus philosophischen Gründen empfohlen ist. Das soll annehmen, dass Funktionen von Vorschlägen immer Wahrheitsfunktionen sind, und dass eine Funktion nur in einem Vorschlag durch seine Werte vorkommen kann.... Es wenn durch die Folgen] arbeitet, scheint es dass alles in Vol. Ich bleibe wahr... die Theorie von induktiven Kardinälen und Ordnungszahlen überlebt; aber es scheint, dass die Theorie von unendlichem Dedekindian und gut bestellter Reihe größtenteils zusammenbricht, so dass Irrationalzahlen und reelle Zahlen allgemein, nicht mehr entsprechend befasst werden können. Auch der Beweis des Kantoren, dass 2> n zusammenbricht, wenn n nicht begrenzt ist." (PREMIERMINISTER 2. Ausgabe nachgedruckt 1962:xiv, auch vgl neuer Anhang C).

Mit anderen Worten, die Tatsache, dass eine unendliche Liste Mittel nicht realistisch angegeben werden kann, dass das Konzept "der Zahl" im unendlichen Sinn (d. h. das Kontinuum) durch die neue Theorie nicht beschrieben werden kann, die im PREMIERMINISTER die Zweite Ausgabe vorgeschlagen ist.

Wittgenstein in seinen Vorträgen auf den Fundamenten der Mathematik Cambridge hat 1939 Principia auf dem verschiedenen Boden kritisiert wie:

  • Es gibt vor, die grundsätzliche Basis für die Arithmetik zu offenbaren. Jedoch sind es unsere täglichen arithmetischen Methoden wie das Zählen, die grundsätzlich sind; weil, wenn eine beharrliche Diskrepanz zwischen Zählen und Principia entstanden ist, das als Beweise eines Fehlers in Principia behandelt würde (z.B, dass Principia Zahlen oder Hinzufügung richtig nicht charakterisiert hat), nicht als Beweise eines Fehlers im täglichen Zählen.
  • Die Rechenmethoden in Principia können nur in der Praxis mit sehr kleinen Zahlen verwendet werden. Um große Verwenden-Anzahl (z.B, Milliarden) zu berechnen, würden die Formeln zu lang werden, und eine Abkürzungsmethode würde verwendet werden müssen, der sich zweifellos auf tägliche Techniken wie das Zählen (oder auf dem nichtgrundsätzlichen und folglich den zweifelhaften Methoden wie Induktion) verlassen würde. So wieder hängt Principia von täglichen Techniken nicht umgekehrt ab.

Wittgenstein hat wirklich jedoch zugegeben, dass Principia dennoch einige Aspekte der täglichen Arithmetik klarer machen kann.

Gödel 1944

In der mathematischen Logik von Russell seines 1944 bietet Gödel eine "kritische, aber mitfühlende Diskussion der logicistic Ordnung von Ideen" an:

: "Es soll bedauert werden, dass diese erste umfassende und gründliche Präsentation einer mathematischen Logik und die Abstammung der Mathematik davon in der formellen Präzision in den Fundamenten so außerordentlich fehlen (enthalten in *1-*21 von Principia), dass es in dieser Beziehung einen beträchtlichen Schritt umgekehrt im Vergleich zu Frege vertritt. Was vor allem vermisst wird, ist eine genaue Behauptung der Syntax des Formalismus. Syntaktische Rücksichten werden sogar in Fällen weggelassen, wo sie für die Überzeugungskraft der Beweise notwendig sind... Die Sache ist für die Regel des Ersatzes besonders zweifelhaft und definierte Symbole durch ihren definiens zu ersetzen... es ist hauptsächlich die Regel des Ersatzes, der" (Gödel 1944:124) würde bewiesen werden

müssen

Zitate

  • "Von diesem Vorschlag wird es folgen, als arithmetische Hinzufügung, das 1+1=2 definiert worden ist." — Band I, 1. Ausgabe, Seite 379 (Seite 362 in der 2. Ausgabe; Seite 360 in der gekürzten Version). (Der Beweis wird wirklich im Band II, der 1. Ausgabe, der Seite 86 vollendet, die durch die Anmerkung begleitet ist, "Der obengenannte Vorschlag ist gelegentlich nützlich.")

Siehe auch

Kommentare

Primär:

  • Whitehead, Alfred North und Bertrand Russell. Principia Mathematica, 3 vols, Universität von Cambridge Presse, 1910, 1912, und 1913. Die zweite Ausgabe, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3). Gekürzt als Principia Mathematica zu *56, Universität von Cambridge Presse, 1962.

Sekundär:

  • 1952-Einführung von Stephen Kleene in die Meta-Mathematik, den 6. Nachdruck, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, internationale Standardbuchnummer 0-7204-2103-9.
  • Ivor Grattan-Guinness (2000) Die Suche nach Mathematischen Wurzeln 1870-1940, Universität von Princeton Presse, Princeton N.J. internationale Standardbuchnummer 0-691-05857-1 (alk. Papier).
  • Ludwig Wittgenstein 2009 Hauptarbeiten: Ausgewählte Philosophische Schriften, HarperrCollins, New York, New York, internationale Standardbuchnummer 978-0-06-155024-9. Insbesondere:

:: Tractatus Logico-Philosophicus (Wien 1918, ursprüngliche Veröffentlichung in Deutsch).

  • Redakteur von Jean van Heijenoort 1967 Von Frege bis Gödel: Ein Quellbuch in der Mathematischen Logik, 1879-1931, dem 3. Druck, Universität von Harvard Presse, Magister artium von Cambridge, internationale Standardbuchnummer 0-674-32449-8 (pbk).

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