In der Mathematik, der niedrigeren Grenze-Topologie oder richtigen halb offenen Zwischenraum-Topologie ist eine Topologie, die auf dem Satz R von reellen Zahlen definiert ist; es ist von der Standardtopologie auf R verschieden und hat mehrere interessante Eigenschaften. Es ist die Topologie, die durch die Basis aller halb offenen Zwischenräume a, b erzeugt ist, wo a und b reelle Zahlen sind.

Der resultierende topologische Raum, manchmal schriftlicher R und genannt die Linie von Sorgenfrey nach Robert Sorgenfrey, dient häufig als ein nützliches Gegenbeispiel in der allgemeinen Topologie, wie der Kantor-Satz und die lange Linie.

Das Produkt von R mit sich ist auch ein nützliches Gegenbeispiel, das als das Flugzeug von Sorgenfrey bekannt ist.

In der ganzen Analogie kann man auch die obere Grenze-Topologie definieren, oder hat halb offene Zwischenraum-Topologie verlassen.

Eigenschaften

• Die niedrigere Grenze-Topologie ist feiner (hat offenere Sätze) als die Standardtopologie auf den reellen Zahlen (der wird durch die offenen Zwischenräume erzeugt). Der Grund besteht darin, dass jeder offene Zwischenraum als eine zählbar unendliche Vereinigung von halb offenen Zwischenräumen geschrieben werden kann.
• Für jeden echten a und b ist der Zwischenraum a, b clopen in R (d. h. beide öffnen sich und geschlossen). Außerdem, für den ganzen echten a, die Sätze {x ∈ R: x) in R läuft zur Grenze L iff zusammen es "nähert sich L vom Recht", das Bedeuten für jeden ε>0 dort besteht ein Index α solch das für alle α> α: L ≤ x ist ein vollkommen normaler Raum von Hausdorff.
• In Bezug auf countability Axiome ist es erst-zählbar und trennbar, aber nicht zweit-zählbar.
• In Bezug auf Kompaktheitseigenschaften ist R Lindelöf und parakompakt, aber nicht σ-compact noch lokal kompakt.
• R ist nicht metrizable, da trennbare metrische Räume zweit-zählbar sind. Jedoch wird die Topologie einer Linie von Sorgenfrey durch einen vormetrischen erzeugt.
• R ist ein Raum von Baire