Theorie von Ergodic ist ein Zweig der Mathematik, die dynamische Systeme mit einem Invariant-Maß und verwandten Problemen studiert. Seine anfängliche Entwicklung wurde durch Probleme der statistischen Physik motiviert.

Eine Hauptsorge der ergodic Theorie ist das Verhalten eines dynamischen Systems, wenn es erlaubt wird, seit langem zu laufen. Die ersten laufen auf diese Richtung hinaus ist der Wiederauftreten-Lehrsatz von Poincaré, der behauptet, dass fast alle Punkte in jeder Teilmenge des Phase-Raums schließlich den Satz wieder besuchen. Genauere Auskunft wird durch verschiedene ergodic Lehrsätze gegeben, die behaupten, dass, unter bestimmten Bedingungen, der Zeitdurchschnitt einer Funktion entlang den Schussbahnen fast überall besteht und mit dem Raumdurchschnitt verbunden ist. Zwei der wichtigsten Beispiele sind ergodic Lehrsätze von Birkhoff und von Neumann. Für die spezielle Klasse von ergodic Systemen ist der Zeitdurchschnitt dasselbe für fast alle anfänglichen Punkte: Statistisch sprechend, "vergisst" das System, das sich seit langem entwickelt, seinen anfänglichen Staat. Stärkere Eigenschaften, wie das Mischen und equidistribution, sind auch umfassend studiert worden.

Das Problem der metrischen Klassifikation von Systemen ist ein anderer wichtiger Teil des Auszugs ergodic Theorie. Eine hervorragende Rolle in der ergodic Theorie und seinen Anwendungen auf stochastische Prozesse wird durch die verschiedenen Begriffe des Wärmegewichtes für dynamische Systeme gespielt.

Die Konzepte von ergodicity und der ergodic Hypothese sind zu Anwendungen der ergodic Theorie zentral. Die zu Grunde liegende Idee besteht darin, dass für bestimmte Systeme der Zeitdurchschnitt ihrer Eigenschaften dem Durchschnitt über den kompletten Raum gleich ist. Anwendungen der ergodic Theorie zu anderen Teilen der Mathematik schließen gewöhnlich das Herstellen ergodicity Eigenschaften für Systeme der speziellen Art ein. In der Geometrie sind Methoden der ergodic Theorie verwendet worden, um den geodätischen Fluss auf Sammelleitungen von Riemannian zu studieren, mit den Ergebnissen von Eberhard Hopf für Oberflächen von Riemann der negativen Krümmung anfangend. Ketten von Markov bilden einen allgemeinen Zusammenhang für Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Theorie von Ergodic hat fruchtbare Verbindungen mit der harmonischen Analyse, Lügen Sie Theorie (Darstellungstheorie, Gitter in algebraischen Gruppen), und Zahlentheorie (die Theorie von diophantine Annäherungen, L-Funktionen).

Transformationen von Ergodic

Theorie von Ergodic ist häufig ergodic mit Transformationen beschäftigt.

Lässt T: X  X, eine Maß bewahrende Transformation auf einem Maß-Raum (X, Σ, μ), mit μ (X) =1 sein. Eine Maß bewahrende Transformation T ist als oben ergodic wenn für jeden

: mit, dann entweder μ (E) =0 oder μ (E) =1.

Beispiele

• Eine vernunftwidrige Folge des Kreises R/Z, T: x  x +θ wo θ vernunftwidrig ist, ist ergodic. Diese Transformation hat noch stärkere Eigenschaften von einzigartigem ergodicity, minimality, und equidistribution. Im Vergleich, wenn θ = p/q (in niedrigsten Begriffen) dann T vernünftig ist, ist mit der Periode q periodisch, und kann nicht so ergodic sein: Für jeden Zwischenraum I der Länge a, 0 (I), der das Image davon enthält, bin mir unter jeder Zahl von Anwendungen von T) T-invariant mod 0 Satz, der eine Vereinigung von q Zwischenräumen der Länge a ist, folglich hat es Maß qa ausschließlich zwischen 0 und 1.
• Lassen Sie G eine abelian Kompaktgruppe, μ das normalisierte Maß von Haar und T eine Gruppe automorphism von G sein. Lassen Sie G Pontryagin Doppelgruppe sein, aus den dauernden Charakteren von G und T bestehend, der entsprechende adjoint automorphism G sein. Der automorphism T ist ergodic, wenn, und nur wenn die Gleichheit (T) (χ) =χ nur möglich ist, wenn n = 0 oder χ der triviale Charakter von G ist. Insbesondere wenn G der n-dimensional Ring ist und der automorphism T durch eine integrierte Matrix dann T vertreten wird, ist ergodic, wenn, und nur wenn kein eigenvalue von A eine Wurzel der Einheit ist.
• Eine Verschiebung von Bernoulli ist ergodic. Mehr allgemein, ergodicity der Verschiebungstransformation, die mit einer Folge von i.i.d. zufälligen Variablen und einigen allgemeineren stationären Prozessen vereinigt ist, folgt aus der Null von Kolmogorov ein Gesetz.
• Ergodicity eines dauernden dynamischen Systems meint, dass sich seine Schussbahnen "um" den Phase-Raum ausgebreitet haben. Ein System mit einem Kompaktphase-Raum, der ein nichtunveränderliches erstes Integral hat, kann nicht ergodic sein. Das, gilt insbesondere für Systeme von Hamiltonian mit einem ersten Integral, das ich funktionell unabhängig von der Funktion von Hamilton H und einem Kompaktniveau X = {(p, q) setze: H (p, q) =E} der unveränderlichen Energie. Der Lehrsatz von Liouville bezieht die Existenz eines begrenzten Invariant-Maßes auf X ein, aber die Dynamik des Systems wird zu den Niveau-Sätzen von mir auf X beschränkt, folglich besitzt das System invariant Sätze von positiven, aber weniger als volles Maß. Ein Eigentum von dauernden dynamischen Systemen, das das Gegenteil von ergodicity ist, ist ganzer integrability.

Lehrsätze von Ergodic

Lassen Sie, eine Maß bewahrende Transformation auf einem Maß-Raum (X, Σ, μ) zu sein. Man kann dann den "Zeitdurchschnitt" einer μ-Integrable-Funktion f denken, d. h. Der "Zeitdurchschnitt" wird als der Durchschnitt definiert (wenn es besteht) über Wiederholungen von T, der von einem Initiale-Punkt-x anfängt.

:

\frac {1} {n} \sum_ {k=0} ^ {n-1} f\left (T^k x\right). </Mathematik>

Wenn μ (X) begrenzt ist und Nichtnull, können wir den ""oder" durchschnittlichen Raumphase-Durchschnitt" von f, definiert als denken

:

Im Allgemeinen können der Zeitdurchschnitt und Raumdurchschnitt verschieden sein.

Aber wenn die Transformation ergodic ist, und das Maß invariant ist, dann ist der Zeitdurchschnitt dem Raumdurchschnitt fast überall gleich. Das ist der berühmte ergodic Lehrsatz in einer abstrakten Form wegen George David Birkhoffs. (Wirklich zieht das Papier von Birkhoff nicht den abstrakten allgemeinen Fall, aber nur den Fall von dynamischen Systemen in Betracht, die aus Differenzialgleichungen auf einer glatten Sammelleitung entstehen.) Der equidistribution Lehrsatz ist ein spezieller Fall des ergodic Lehrsatzes, sich spezifisch mit dem Vertrieb von Wahrscheinlichkeiten auf dem Einheitszwischenraum befassend.

Genauer stellen der pointwise oder starke ergodic Lehrsatz fest, dass die Grenze in der Definition des Zeitdurchschnitts von f für fast jeden x besteht, und dass (fast überall definiert) Grenze-Funktion integrable ist:

:

Außerdem, ist T-invariant, das heißt

:

hält fast überall, und wenn μ (X) begrenzt ist, dann ist die Normalisierung dasselbe:

:

Insbesondere wenn T ergodic ist, dann eine Konstante (fast überall) sein muss, und so hat man das

:

fast überall. Wenn man sich dem ersten mit dem letzten Anspruch anschließt und annimmt, dass μ (X) begrenzt ist und Nichtnull, hat man das

:

für fast den ganzen x, d. h., für den ganzen x abgesehen von einer Reihe der Maß-Null.

Für eine ergodic Transformation kommt der Zeitdurchschnitt dem Raumdurchschnitt fast sicher gleich.

Als ein Beispiel, nehmen Sie an, dass der Maß-Raum (X, Σ, μ) die Partikeln eines Benzins als oben modelliert, und lassen Sie f (x), zeigt die Geschwindigkeit der Partikel an der Position x an. Dann sagt der pointwise ergodic Lehrsätze, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit aller Partikeln in einer gegebenen Zeit der durchschnittlichen Geschwindigkeit einer Partikel mit der Zeit gleich ist.

Formulierung von Probabilistic: Birkhoff-Khinchin Lehrsatz

Birkhoff-Khinchin Lehrsatz. Lassen Sie f messbar sein,

:

\frac {1} {n} \sum_ {k=0} ^ {n-1} f\left (T^k x\right) =E (f |\mathcal {C}), </Mathematik>

wo die bedingte Erwartung gegeben der σ-algebra von invariant Sätzen von T ist.

Folgeerscheinung (Lehrsatz von Pointwise ergodic)

Insbesondere wenn T auch ergodic ist, dann der triviale σ-algebra, und so mit der Wahrscheinlichkeit 1 ist:

:

Haben Sie ergodic Lehrsatz vor

Der ergodic Mittellehrsatz von Von Neumann, hält in Räumen von Hilbert.

Lassen Sie U ein einheitlicher Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert H sein; mehr allgemein, ein isometrischer geradliniger Maschinenbediener (d. h. nicht notwendigerweise surjective geradliniger Maschinenbediener, der für alle, oder gleichwertig befriedigt, U*U=I, aber nicht notwendigerweise UU * = I befriedigend). Lassen Sie P der orthogonale Vorsprung darauf sein.

Dann, für irgendwelchen, haben wir:

:

wo die Grenze in Bezug auf die Norm auf H ist. Mit anderen Worten, die Folge von Durchschnitten

:

läuft zu P in der starken Maschinenbediener-Topologie zusammen.

Dieser Lehrsatz spezialisiert sich zum Fall, in dem der Raum von Hilbert H aus L-Funktionen auf einem Maß-Raum besteht und U ein Maschinenbediener der Form ist

:

wo T ein Maß bewahrender Endomorphismus X, gedacht in Anwendungen als das Darstellen eines Zeitsprunges eines getrennten dynamischen Systems ist. Der ergodic Lehrsatz behauptet dann, dass dem durchschnittlichen Verhalten einer Funktion f über genug große Zeitskalen durch den orthogonalen Bestandteil von f näher gekommen wird, der Zeit-Invariant ist.

In einer anderen Form des ergodic Mittellehrsatzes, lassen Sie U eine stark dauernde Ein-Parameter-Gruppe von einheitlichen Maschinenbedienern auf H sein. Dann der Maschinenbediener

:

läuft in der starken Maschinenbediener-Topologie als T   zusammen. Tatsächlich streckt sich dieses Ergebnis auch bis zu den Fall der stark dauernden Ein-Parameter-Halbgruppe von zusammenziehenden Maschinenbedienern auf einem reflexiven Raum aus.

Bemerkung: Eine Intuition für den ergodic Mittellehrsatz kann entwickelt werden, indem sie den Fall in Betracht gezogen wird, wo komplexe Zahlen der Einheitslänge als einheitliche Transformationen auf dem komplizierten Flugzeug (durch die linke Multiplikation) betrachtet werden. Wenn wir eine einzelne komplexe Zahl der Einheitslänge aufpicken (an den wir als U denken), ist es intuitiv, dass seine Mächte den Kreis voll füllen werden. Da der Kreis ungefähr 0 symmetrisch ist, hat er Sinn, dass die Durchschnitte der Mächte von U zu 0 zusammenlaufen werden. Außerdem 0 ist der einzige feste Punkt von U, und so muss der Vorsprung auf den Raum von festen Punkten der Nullmaschinenbediener sein (der mit der Grenze gerade beschrieben übereinstimmt).

Die Konvergenz des ergodic bedeutet in den L Normen

Lassen Sie (X, Σ, μ), als über einem Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Maß-Bewahrungstransformation T zu sein und zu lassen. Die bedingte Erwartung in Bezug auf das U-Boot \U 03C3\Algebra Σ der T-Invariant-Sätze ist ein geradliniger Kinoprojektor E der Norm 1 des Banachraums L (X, Σ, μ) auf seinen geschlossenen Subraum L (X, Σ, μ) Die Letzteren können auch als der Raum aller T-invariant L-Funktionen auf X charakterisiert werden. Die Ergodic-Mittel, weil geradlinige Maschinenbediener auf L (X, Σ, μ) auch Einheitsmaschinenbediener-Norm haben; und, als eine einfache Folge des Birkhoff-Khinchin Lehrsatzes, laufen Sie zum Kinoprojektor E in der starken Maschinenbediener-Topologie von L wenn zusammen

Aufenthalt-Zeit

Lassen Sie (X, Σ, μ), ein solcher Maß-Raum zu sein, dass μ (X) begrenzt ist und Nichtnull. Die Zeit, die in einer messbaren Menge A verbracht ist, wird die Aufenthalt-Zeit genannt. Eine unmittelbare Folge des ergodic Lehrsatzes ist, dass, in einem ergodic System, das Verhältnismaß von A der Mittelaufenthalt-Zeit gleich ist:

:

für den ganzen x abgesehen von einer Reihe der Maß-Null, wo die Anzeigefunktion von A ist.

Lassen Sie die Ereignis-Zeiten einer messbaren Menge A als der Satz k, k, k..., von Zeiten k solch definiert werden, dass T (x) in A ist, der in der zunehmenden Ordnung sortiert ist. Die Unterschiede zwischen Konsekutivereignis-Zeiten

R = k &minus; k werden die Wiederauftreten-Zeiten von A genannt. Eine andere Folge des ergodic Lehrsatzes ist, dass die durchschnittliche Wiederauftreten-Zeit von A zum Maß von A umgekehrt proportional ist, annehmend, dass der anfängliche Punkt x in A, so dass k = 0 ist.

:

\quad\mbox {(fast sicher)} </Mathematik>

(Sieh fast sicher.) D. h. je kleinerer A ist, desto länger er bringt, um dazu zurückzukehren.

Ergodic fließt auf Sammelleitungen

Der ergodicity des geodätischen Flusses auf Kompaktoberflächen von Riemann der variablen negativen Krümmung und auf Kompaktsammelleitungen der unveränderlichen negativen Krümmung jeder Dimension wurde von Eberhard Hopf 1939 bewiesen, obwohl spezielle Fälle früher studiert worden waren: Sieh zum Beispiel, das Billard von Hadamard (1898) und Billardspiel von Artin (1924). Die Beziehung zwischen geodätischen Flüssen auf Oberflächen von Riemann und Ein-Parameter-Untergruppen auf SL (2, R) wurde 1952 von S. V. Fomin und mir beschrieben. M. Gelfand. Der Artikel über Flüsse von Anosov stellt ein Beispiel von Ergodic-Flüssen auf SL (2, R) und auf Oberflächen von Riemann der negativen Krümmung zur Verfügung. Viel von der Entwicklung beschrieben dort verallgemeinert zu Hyperbelsammelleitungen, da sie als Quotienten des Hyperbelraums durch die Handlung eines Gitters in der halbeinfachen Lüge-Gruppe SO (n, 1) angesehen werden können. Ergodicity des geodätischen Flusses auf Riemannian symmetrische Räume wurde von F. I. Mautner 1957 demonstriert. 1967 D. V. Anosov und Ya. G. Sinai hat ergodicity des geodätischen Flusses auf Kompaktsammelleitungen der variablen negativen Schnittkrümmung bewiesen. Ein einfaches Kriterium für den ergodicity eines homogenen Flusses auf einem homogenen Raum einer halbeinfachen Lüge-Gruppe wurde von Calvin C. Moore 1966 gegeben. Viele der Lehrsätze und Ergebnisse von diesem Gebiet der Studie sind für die Starrheitstheorie typisch.

In den 1930er Jahren hat G. A. Hedlund bewiesen, dass der Horocycle-Fluss auf einer Kompakthyperbeloberfläche minimal ist und ergodic. Einzigartiger ergodicity des Flusses wurde von Hillel Fürstenberg 1972 gegründet. Die Lehrsätze von Ratner stellen eine Hauptgeneralisation von ergodicity für Unipotent-Flüsse auf den homogenen Räumen der Form Γ\\G zur Verfügung, wo G eine Lüge-Gruppe ist und Γ ein Gitter in G ist.

In den letzten 20 Jahren hat es viele Arbeiten gegeben, die versuchen, einen Lehrsatz der Maß-Klassifikation ähnlich den Lehrsätzen von Ratner, aber für diagonalizable Handlungen zu finden, die durch Vermutungen von Furstenberg und Margulis motiviert sind.

Ein wichtiges teilweises Ergebnis (jene Vermutungen mit einer Extraannahme des positiven Wärmegewichtes lösend), wurde von Elon Lindenstrauss bewiesen, und ihm wurde dem Feldorden 2010 für dieses Ergebnis verliehen.

Siehe auch

• Verwirrungstheorie
• Hypothese von Ergodic
• Ergodischer Prozess
• Maximaler ergodic Lehrsatz
• Statistische Mechanik
• Symbolische Dynamik

Historische Verweisungen

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Moderne Verweisungen

• Vladimir Igorevich Arnol'd und André Avez, Ergodic Probleme der Klassischen Mechanik. New York: W.A. Benjamin. 1968.
• Leo Breiman, Wahrscheinlichkeit. Ursprüngliche Ausgabe, die von Addison-Wesley, 1968 veröffentlicht ist; nachgedruckt von der Gesellschaft für die Industrielle und Angewandte Mathematik, 1992. Internationale Standardbuchnummer 0-89871-296-3. (Sieh Kapitel 6.)
• Peter Walters, Eine Einführung in die ergodic Theorie, den Springer, New York, 1982, internationale Standardbuchnummer 0-387-95152-0.

• (Ein Überblick über Themen in der ergodic Theorie; mit Übungen.)
• Karl Petersen. Ergodic Theorie (Studien von Cambridge in der Fortgeschrittenen Mathematik). Cambridge: Universität von Cambridge Presse. 1990.
• Joseph M. Rosenblatt und Máté Weirdl, Lehrsätze von Pointwise ergodic über die harmonische Analyse, (1993) das Erscheinen in der Ergodic Theorie und seine Verbindungen mit der Harmonischen Analyse, den Verhandlungen von 1993 Alexandriner Konferenz, (1995) Karl E. Petersen und Ibrahim A. Salama, Hrsg., Universität von Cambridge Presse, Cambridge, internationale Standardbuchnummer 0-521-45999-0. (Ein umfassender Überblick über die ergodic Eigenschaften von Generalisationen des equidistribution Lehrsatzes der Verschiebung stellt auf dem Einheitszwischenraum kartografisch dar. Konzentriert sich auf von Bourgain entwickelte Methoden.)
• A.N. Shiryaev, Wahrscheinlichkeit, 2. Hrsg., Springer 1996, Sec. V.3. Internationale Standardbuchnummer 0-387-94549-0.

Links

• Ergodic Theorie (am 29. Oktober 2007) Zeichen durch Cosma Rohilla Shalizi
• Lehrsatz von Ergodic besteht den Test Von der Physik-Welt