In der Mathematik, insbesondere die Theorie von Lüge-Algebra, ist die Gruppe von Weyl eines Wurzelsystems Φ eine Untergruppe der Isometrie-Gruppe des Wurzelsystems. Spezifisch ist es die Untergruppe, die durch das Nachdenken durch die Hyperflugzeuge erzeugt wird, die zu den Wurzeln orthogonal sind, und weil solcher eine begrenzte Nachdenken-Gruppe ist. Abstrakt sind Gruppen von Weyl begrenzte Gruppen von Coxeter, und sind wichtige Beispiele von diesen.

Die Weyl Gruppe einer halbeinfachen Lüge-Gruppe, einer halbeinfachen Lüge-Algebra, einer halbeinfachen geradlinigen algebraischen Gruppe, ist usw. die Gruppe von Weyl des Wurzelsystems dieser Gruppe oder Algebra.

Es wird nach Hermann Weyl genannt.

Beispiele

Zum Beispiel besteht das Wurzelsystem von A aus den Scheitelpunkten eines regelmäßigen am Ursprung in den Mittelpunkt gestellten Sechseckes. Die Weyl Gruppe dieses Wurzelsystems ist eine Untergruppe des Index zwei der zweiflächigen Gruppe des Auftrags 12. Es ist zu S, die symmetrische Gruppe isomorph, die durch das drei Nachdenken über die Hauptdiagonalen des Sechseckes erzeugt ist.

Räume von Weyl

Das Entfernen der durch die Wurzeln von Φ definierten Hyperflugzeuge schneidet Euklidischen Raum in eine begrenzte Zahl von offenen Gebieten, genannt Räume von Weyl. Diese werden durch die Handlung der Gruppe von Weyl permutiert, und es ist ein Lehrsatz, dass diese Handlung einfach transitiv ist. Insbesondere die Zahl von Räumen von Weyl kommt der Ordnung der Gruppe von Weyl gleich. Jeder Nichtnullvektor v teilt den Euklidischen Raum in zwei Halbräume, die das Hyperflugzeug v orthogonal zu v, nämlich v und v begrenzen. Wenn v einem Raum von Weyl gehört, liegt keine Wurzel in v, so liegt jede Wurzel in v oder v, und wenn α in einem dann − liegt, liegt im anderen. So Φ: = Φ  besteht v aus genau der Hälfte der Wurzeln von Φ. Natürlich hängt Φ von v ab, aber es ändert sich nicht, wenn v in demselben Raum von Weyl bleibt. Die Basis des Wurzelsystems in Bezug auf die Wahl Φ ist der Satz von einfachen Wurzeln in Φ, d. h., Wurzeln, die als eine Summe von zwei Wurzeln in Φ nicht geschrieben werden können. So bestimmen die Räume von Weyl, der Satz Φ, und die Basis einander und die Gruppentaten von Weyl einfach transitiv in jedem Fall. Die folgende Illustration zeigt die sechs Räume von Weyl des Wurzelsystems A, eine Wahl von v, das Hyperflugzeug v (angezeigt durch eine punktierte Linie), und positive Wurzeln α, β, und γ. Die Basis ist in diesem Fall {α,γ}.

Gruppenstruktur von Coxeter

Gruppen von Weyl sind Beispiele von begrenzten Nachdenken-Gruppen, weil sie durch das Nachdenken erzeugt werden; die abstrakten Gruppen (nicht betrachtet als Untergruppen einer geradlinigen Gruppe) sind entsprechend begrenzte Gruppen von Coxeter, der ihnen erlaubt, durch ihr Coxeter-Dynkin Diagramm klassifiziert zu werden.

Konkret eine Gruppe von Coxeter zu sein, bedeutet, dass eine Gruppe von Weyl eine spezielle Art der Präsentation hat, in der jeder Generator x von der Ordnung zwei, und die Beziehungen anders ist, als x von der Form (xx) sind. Die Generatoren sind das Nachdenken, das durch einfache Wurzeln gegeben ist, und M ist 2, 3, 4, oder 6 je nachdem, ob Wurzeln i und j einen Winkel 90, 120, 135, oder 150 Grade machen, d. h., ob im Diagramm von Dynkin sie unverbunden, durch einen einfachen Rand verbunden sind, der durch einen doppelten Rand verbunden ist, oder durch einen dreifachen Rand verbunden ist.

Gruppen von Weyl lassen Bruhat und Länge-Funktion in Bezug auf diese Präsentation bestellen: Die Länge eines Gruppenelements von Weyl ist die Länge des kürzesten Wortes, das dieses Element in Bezug auf diese Standardgeneratoren vertritt. Es gibt ein einzigartiges längstes Element einer Gruppe von Coxeter, die gegenüber der Identität in der Ordnung von Bruhat ist.

Beispiel

Die Weyl Gruppe der Lüge-Algebra ist gerade die symmetrische Gruppe auf Elementen. Die Handlung kann wie folgt begriffen werden. Wenn die Subalgebra von Cartan aller Diagonalmatrizen mit der Spur-Null ist, dann folgt S über die Konjugation durch die Versetzung matrices. Diese Handlung veranlasst eine Handlung auf dem Doppelraum, der die erforderliche Gruppenhandlung von Weyl ist.

Definition

Die Weyl Gruppe kann auf verschiedene Weisen definiert werden, abhängig vom Zusammenhang (Lügen Sie Algebra, Lügen Sie Gruppe, symmetrischer Raum, usw.), und eine spezifische Verwirklichung hängt von einer Wahl - von der Subalgebra von Cartan für eine Lüge-Algebra vom maximalen Ring für eine Lüge-Gruppe ab. Die Weyl Gruppen einer Lüge-Gruppe und seiner entsprechenden Lüge-Algebra sind isomorph, und tatsächlich gibt eine Wahl des maximalen Rings eine Wahl der Subalgebra von Cartan.

Für eine Lüge-Algebra ist die Gruppe von Weyl die Nachdenken-Gruppe, die durch das Nachdenken in den Wurzeln - die spezifische Verwirklichung des Wurzelsystems abhängig von einer Wahl der Subalgebra von Cartan (maximaler abelian) erzeugt ist.

Für eine Lüge-Gruppe G Zufriedenheit bestimmter Bedingungen, in Anbetracht eines Rings

Die Gruppe W ist - Z begrenzt ist vom begrenzten Index in N. Wenn ein maximaler Ring ist (so kommt er seinem eigenen centralizer gleich:) dann wird der resultierende Quotient die Gruppe von Weyl von G genannt, und hat Zeichen angezeigt, dass der spezifische Quotient-Satz von einer Wahl des maximalen Rings abhängt, aber die resultierenden Gruppen sind alle (durch einen inneren automorphism von G) isomorph, da maximale Ringe verbunden sind. Jedoch ist der Isomorphismus nicht natürlich, und hängt von der Wahl der Konjugation ab.

Zum Beispiel, für die allgemeine geradlinige Gruppe GL, ist ein maximaler Ring die Untergruppe D von invertible Diagonalmatrizen, deren normalizer die verallgemeinerte Versetzung matrices (matrices in der Form der Versetzung matrices, aber mit irgendwelchen Nichtnullzahlen im Platz '1's) ist, und dessen Gruppe von Weyl die symmetrische Gruppe ist. In diesem Fall können die Quotient-Karte-Spalte (über die Versetzung matrices), so der normalizer ist N ein halbdirektes Produkt des Rings und der Gruppe von Weyl und der Gruppe von Weyl, als eine Untergruppe von G ausgedrückt werden. Im Allgemeinen ist das nicht immer der Fall - der Quotient spaltet sich nicht immer auf, der normalizer N ist nicht immer das halbdirekte Produkt von N und Z, und die Gruppe von Weyl kann als eine Untergruppe von G nicht immer begriffen werden.

Zergliederung von Bruhat

Wenn B eine Untergruppe von Borel von G ist, d. h. eine maximale verbundene lösbare Untergruppe und ein maximaler Ring werden gewählt, um in B zu liegen, dann erhalten wir die Zergliederung von Bruhat

der die Zergliederung der Fahne-Vielfalt G/B in Zellen von Schubert verursacht (sieh Grassmannian).

Die Struktur des Diagramms von Hasse der Gruppe ist geometrisch mit dem cohomology der Sammelleitung verbunden (eher, der echten und komplizierten Formen der Gruppe), der durch die Dualität von Poincaré beschränkt wird. So entsprechen algebraische Eigenschaften der Gruppe von Weyl allgemeinen topologischen Eigenschaften von Sammelleitungen. Zum Beispiel gibt Dualität von Poincaré eine Paarung zwischen Zellen in der Dimension k und in der Dimension (wo n die Dimension einer Sammelleitung ist): Der Boden (0) entspricht dimensionale Zelle dem Identitätselement der Gruppe von Weyl, und die spitzendimensionale Doppelzelle entspricht dem längsten Element einer Gruppe von Coxeter.

Analogie mit algebraischen Gruppen

Es gibt mehrere analoge Ergebnisse zwischen algebraischen Gruppen und Gruppen von Weyl - zum Beispiel, die Zahl der Elemente der symmetrischen Gruppe ist, und die Zahl der Elemente der allgemeinen geradlinigen Gruppe über ein begrenztes Feld ist der q-factorial; so benimmt sich die symmetrische Gruppe, als ob es eine geradlinige Gruppe über "das Feld mit einem Element" war. Das wird durch das Feld mit einem Element formalisiert, das denkt, dass Gruppen von Weyl einfache algebraische Gruppen über das Feld mit einem Element sind.

Cohomology

Für einen non-abelian verbundene Kompaktlüge-Gruppe G hat die erste Gruppe cohomology der Gruppe von Weyl W mit Koeffizienten im maximalen Ring T gepflegt, es zu definieren, ist mit der automorphism Außengruppe des normalizer als verbunden:

Die Außenautomorphisms der Gruppe (G) sind im Wesentlichen das Diagramm automorphisms vom Diagramm von Dynkin, während die Gruppe cohomology darin geschätzt wird und ein begrenzter elementarer abelian 2-Gruppen- ist; für einfache Lüge-Gruppen hat es Auftrag 1, 2, oder 4. Der 0th und die 2. Gruppe cohomology sind auch nah mit dem normalizer verbunden.

Referenzen