Ein Hyperflugzeug ist ein Konzept in der Geometrie. Es ist eine Generalisation des Flugzeugs in eine verschiedene Zahl von Dimensionen.

Ein Hyperflugzeug eines n-dimensional Raums ist eine flache Teilmenge mit der Dimension n − 1. Durch seine Natur trennt es den Raum in zwei Hälften von Räumen.

Technische Beschreibung

In der Geometrie ist ein Hyperflugzeug eines n-dimensional Raums V eine "flache" Teilmenge der Dimension n − 1, oder gleichwertig, codimension 1 in V; es kann deshalb genannt werden (n − 1) - Wohnung V. Der Raum V kann ein Euklidischer Raum oder mehr allgemein ein affine Raum, oder ein Vektorraum oder ein projektiver Raum sein, und der Begriff des Hyperflugzeugs ändert sich entsprechend; in allen Fällen jedoch kann jedes Hyperflugzeug in Koordinaten als die Lösung einer Single (wegen "codimension 1" Einschränkung) algebraische Gleichung des Grads 1 (wegen der "flachen" Einschränkung) gegeben werden. Wenn V ein Vektorraum ist, unterscheidet man "Vektor-Hyperflugzeuge" (die Subräume sind, und deshalb den Ursprung durchführen müssen) und "affine Hyperflugzeuge" (der den Ursprung nicht durchzuführen braucht; sie können durch die Übersetzung eines Vektor-Hyperflugzeugs erhalten werden). Ein Hyperflugzeug in einem Euklidischen Raum trennt diesen Raum in zwei Hälften von Räumen, und definiert ein Nachdenken, das das Hyperflugzeug befestigt und jene zwei Hälfte von Räumen auswechselt.

Zweiflächige Winkel

Der zweiflächige Winkel zwischen zwei nichtparallelen Hyperflugzeugen eines Euklidischen Raums ist der Winkel zwischen den entsprechenden normalen Vektoren. Das Produkt des Nachdenkens in den zwei Hyperflugzeugen ist eine Folge, deren Achse der Subraum von codimension 2 erhaltene durch das Schneiden der Hyperflugzeuge ist, und dessen Winkel zweimal der Winkel zwischen den Hyperflugzeugen ist.

Spezielle Typen von Hyperflugzeugen

Mehrere spezifische Typen von Hyperflugzeugen werden mit Eigenschaften definiert, denen zu besonderen Zwecken gut angepasst wird. Einige dieser Spezialisierungen werden hier beschrieben.

Hyperflugzeuge von Affine

Ein affine Hyperflugzeug ist ein affine Subraum von codimension 1 in einem affine Raum.

In Kartesianischen Koordinaten kann solch ein Hyperflugzeug mit einer einzelnen geradlinigen Gleichung der folgenden Form beschrieben werden (wo mindestens ein 's Nichtnull ist):

Im Fall von einem echten affine Raum mit anderen Worten wenn die Koordinaten reelle Zahlen sind, trennt dieser affine Raum den Raum in zwei Halbräume, die die verbundenen Bestandteile der Ergänzung des Hyperflugzeugs sind, und durch die Ungleichheit gegeben werden

und

Als ein Beispiel ist eine Linie ein Hyperflugzeug im 2-dimensionalen Raum, und ein Flugzeug ist ein Hyperflugzeug im 3-dimensionalen Raum. Eine Linie im 3-dimensionalen Raum ist nicht ein Hyperflugzeug, und trennt den Raum in zwei Teile nicht (die Ergänzung solch einer Linie wird verbunden).

Jedes Hyperflugzeug eines Euklidischen Raums hat genau zwei Einheit normale Vektoren.

Hyperflugzeuge von Affine werden verwendet, um Entscheidungsgrenzen in vielen Maschinenlernalgorithmen wie geradlinige Kombination (schiefe) Entscheidungsbäume und Perceptrons zu definieren.

Vektor-Hyperflugzeuge

In einem Vektorraum ist ein Vektor-Hyperflugzeug ein geradliniger Subraum von codimension 1. Solch ein Hyperflugzeug ist die Lösung einer einzelnen homogenen geradlinigen Gleichung.

Projektive Hyperflugzeuge

Projektive Hyperflugzeuge, werden in der projektiven Geometrie verwendet. Projektive Geometrie kann als affine Geometrie mit verschwindenden Punkten (Punkte an der Unendlichkeit) hinzugefügt angesehen werden. Ein affine Hyperflugzeug zusammen mit den verbundenen Punkten an der Unendlichkeit bildet ein projektives Hyperflugzeug. Ein spezieller Fall eines projektiven Hyperflugzeugs ist das unendliche oder ideale Hyperflugzeug, das mit dem Satz aller Punkte an der Unendlichkeit definiert wird.

Im echten projektiven Raum teilt ein Hyperflugzeug den Raum in zwei Teile nicht; eher bringt es zwei Hyperflugzeuge, um Punkte zu trennen und den Raum zu zerteilen. Der Grund dafür besteht darin, dass im echten projektiven Raum sich der Raum im Wesentlichen "ringsherum einhüllt", so dass beide Seiten eines einsamen Hyperflugzeugs mit einander verbunden werden.

Siehe auch

• Hyperoberfläche
• Entscheidungsgrenze
• Schinkenbrot-Lehrsatz
• Einordnung von Hyperflugzeugen
• das Trennen des Hyperflugzeug-Lehrsatzes
• das Unterstützen des Hyperflugzeug-Lehrsatzes
• Charles W. Curtis (1968) Geradlinige Algebra, Seite 62, Allyn & Bacon, Boston.
• Heinrich Guggenheimer (1977) Anwendbare Geometrie, Seite 7, Krieger, internationale Standardbuchnummer von Huntington 0-88275-368-1.
• Victor V. Prasolov & VM Tikhomirov (1997,2001) Geometrie, Seite 22, Band 200 in Übersetzungen von Mathematischen Monografien, amerikanischer Mathematischer Gesellschaft, internationale Vorsehungsstandardbuchnummer 0-8218-2038-9.

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