In der Wahrscheinlichkeitstheorie, dem Geburtstag-Problem oder Geburtstag-Paradox betrifft die Wahrscheinlichkeit, dass, in einer Reihe von n zufällig gewählte Leute, ein Paar von ihnen denselben Geburtstag haben wird. Durch den Ablegefach-Grundsatz erreicht die Wahrscheinlichkeit 100 %, wenn die Anzahl der Leute 366 reicht (da es 365 mögliche Geburtstage gibt, am 29. Februar ausschließend). Jedoch wird 99-%-Wahrscheinlichkeit mit gerade 57 Menschen und 50-%-Wahrscheinlichkeit mit 23 Menschen erreicht. Diese Beschlüsse basieren in der Annahme, dass jeden Tag des Jahres (außer am 29. Februar) seit einem Geburtstag ebenso wahrscheinlich ist.

Die Mathematik hinter diesem Problem hat zu einem wohl bekannten kryptografischen Angriff genannt den Geburtstag-Angriff geführt, der dieses probabilistic Modell verwendet, um die Kompliziertheit zu reduzieren, eine Kuddelmuddel-Funktion zu knacken.

Das Verstehen des Problems

Das Geburtstag-Problem fragt, ob einige der Leute in einer gegebenen Gruppe einen Geburtstag hat, einigen von anderen — nicht ein vergleichend insbesondere. (Sieh "Denselben Geburtstag wie Sie" unten für eine Analyse dieses viel weniger überraschenden alternativen Problems.)

Im Beispiel angeführt früher erlaubt eine Liste von 23 Menschen, den Geburtstag der ersten Person auf der Liste zu anderen vergleichend, 22 Chancen seit einem zusammenpassenden Geburtstag (Die zweite Person auf der Liste zu anderen erlaubt 21 Chancen seit einem zusammenpassenden Geburtstag, die dritte Person hat 20 Chancen und so weiter. Folglich sind Gesamtchancen: 22+21+20 +.... +1 = 253), so erlaubt das Vergleichen jeder Person zu allen anderen 253 verschiedene Chancen (Kombinationen): In einer Gruppe von 23 Menschen gibt es Paare.

Annahme aller Geburtstage ist ebenso wahrscheinlich, die Wahrscheinlichkeit eines gegebenen Geburtstages für eine Person, die aus der kompletten Bevölkerung aufs Geratewohl gewählt ist, ist 1/365 (Sprung-Tag, am 29. Februar ignorierend). Obwohl die Paarung in einer Gruppe von 23 Menschen 253 Paaren gewählt unabhängig nicht statistisch gleichwertig ist, wird das Geburtstag-Paradox weniger überraschend, wenn von einer Gruppe in Bezug auf die Zahl von möglichen Paaren, aber nicht als die Zahl von Personen gedacht wird.

Das Rechnen der Wahrscheinlichkeit

Das Problem ist, die ungefähre Wahrscheinlichkeit zu schätzen, dass in einem Zimmer von n Leuten mindestens zwei denselben Geburtstag haben. Für die Einfachheit, Missachtungsschwankungen im Vertrieb, wie Schaltjahre, Zwillinge, jahreszeitlich oder Werktagsschwankungen, und nehmen an, dass die 365 möglichen Geburtstage ebenso wahrscheinlich sind. Wahrer Geburtstag-Vertrieb ist seitdem nicht nicht gleichförmig alle Daten sind ebenso wahrscheinlich.

Wenn P (A) die Wahrscheinlichkeit von mindestens zwei Menschen im Zimmer ist, das denselben Geburtstag hat, kann es einfacher sein, P (A), die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dort irgendwelche zwei Menschen nicht zu sein, die denselben Geburtstag haben. Dann, weil P (A) und P (A) die nur zwei Möglichkeiten sind und auch, P (A) = 1 &minus gegenseitig exklusiv sind; P (A).

Zum Schutze von weit veröffentlichten Lösungen, die beschließen, dass 23 die Anzahl der Leute ist, die notwendig ist, um einen P (A) zu haben, der größer ist als 50 %, wird die folgende Berechnung von P (A) 23 Menschen als ein Beispiel verwenden.

Wenn Ereignisse von einander unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit vom ganzen Ereignis-Auftreten einem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von jedem des Ereignis-Auftretens gleich. Deshalb, wenn P (') beschrieben werden kann, weil 23 unabhängige Ereignisse P (A) als P (1) × P (2) × P (3) × berechnet werden konnte... × P (23).

Die 23 unabhängigen Ereignisse entsprechen den 23 Menschen, und können in der Ordnung definiert werden. Jedes Ereignis kann als die entsprechende Person definiert werden, die nicht ihren Geburtstag mit einigen der vorher analysierten Leute teilt. Für das Ereignis 1 gibt es keine vorher analysierten Leute. Deshalb teilt sich die Wahrscheinlichkeit, P (1), diese Person Nummer 1 nicht sein/ihr Geburtstag mit vorher analysierten Leuten ist 1, oder 100 %. Schaltjahre für diese Analyse ignorierend, kann die Wahrscheinlichkeit 1 auch als 365/365 aus Gründen geschrieben werden, die klar unten werden werden.

Für das Ereignis 2 sind die einzigen vorher analysierten Leute Person 1. Das Annehmen, dass Geburtstage ebenso wahrscheinlich auf jeden der 365 Tage des Jahres, der Wahrscheinlichkeit, P (2) stoßen werden, dass Person 2 einen verschiedenen Geburtstag hat als Person 1, ist 364/365. Das ist, weil, wenn Person 2 in einigen der anderen 364 Tage des Jahres geboren gewesen ist, Personen 1 und 2 denselben Geburtstag nicht teilen werden.

Ähnlich, wenn Person 3 in einigen der 363 Tage des Jahres außer den Geburtstagen von Personen 1 und 2 geboren ist, wird Person 3 ihren Geburtstag nicht teilen. Das macht die Wahrscheinlichkeit P (3) = 363/365.

Diese Analyse geht weiter, bis Person 23 erreicht wird, wessen Wahrscheinlichkeit, ihren Geburtstag mit Leuten nicht zu teilen, die vorher, P (23) analysiert sind, 343/365 ist.

P ist (A) dem Produkt dieser individuellen Wahrscheinlichkeiten gleich:

: (1) P (A) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 ×... × 343/365

Die Begriffe der Gleichung (1) können gesammelt werden, um zu erreichen:

: (2) P (A) = (1/365) × (365 × 364 × 363 ×... × 343)

Das Auswerten der Gleichung (2) gibt P (A) = 0.492703

Deshalb, P (A) = 1 − 0.492703 = 0.507297 (50.7297 %)

Dieser Prozess kann zu einer Gruppe von n Leuten verallgemeinert werden, wo p (n) die Wahrscheinlichkeit von mindestens zwei der n Leute ist, die einen Geburtstag teilen. Es ist leichter, zuerst die Wahrscheinlichkeit (n) zu berechnen, dass alle n Geburtstage verschieden sind. Gemäß dem Ablegefach-Grundsatz ist (n) Null wenn n> 365. Wenn n  365:

:

wo '!' der factorial Maschinenbediener ist und der binomische Koeffizient ist.

Die Gleichung drückt die Tatsache aus, dass für keine Personen, um einen Geburtstag zu teilen, eine zweite Person denselben Geburtstag wie das erste (364/365) nicht haben kann, kann das dritte nicht denselben Geburtstag wie die ersten zwei (363/365) haben, und im Allgemeinen kann der n Geburtstag dasselbe als keiner der n &minus sein; 1 vorhergehende Geburtstage.

Das Ereignis von mindestens zwei der n Personen, die denselben Geburtstag haben, ist zu allen n Geburtstagen ergänzend verschieden seiend. Deshalb ist seine Wahrscheinlichkeit p (n)

:

Diese Wahrscheinlichkeit übertrifft 1/2 für n = 23 (mit dem Wert ungefähr 50.7 %). Der folgende Tisch zeigt die Wahrscheinlichkeit für einige andere Werte von n (dieser Tisch ignoriert die Existenz von Schaltjahren, wie beschrieben, oben):

Annäherungen

Die Reihenentwicklung von Taylor der Exponentialfunktion (der unveränderliche e = 2.718281828, ungefähr)

:

stellt eine Annäherung der ersten Ordnung für e für x zur Verfügung

Diese Annäherung an den ersten Ausdruck anzuwenden, hat für (n) Satz abgeleitet.

Dann, Dann für jeden Begriff in der Formel für

(n).

Dem ersten für (n) abgeleiteten Ausdruck kann als näher gekommen werden

:

\begin {richten }\aus

\bar p (n) & \approx 1 \times e^ {-1/365} \times e^ {-2/365} \cdots e^ {-(n-1)/365} \\

& = 1 \times e^ {-(1+2 + \cdots + (n-1))/365} \\

& = e^ {-(n (n-1)/2) / 365}.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Deshalb,

:

Eine noch rauere Annäherung wird durch gegeben

:

der, weil der Graph illustriert, noch ziemlich genau ist.

Es ist leicht zu sehen, dass dieselbe Annäherung auf jede Zahl von "Leuten" und "Tage" angewandt werden kann. Wenn aber nicht 365 Tage dort n sind, wenn es M Personen, und wenn M gibt

Ein einfacher exponentiation

Die Wahrscheinlichkeit irgendwelcher zwei Menschen, die nicht denselben Geburtstag haben, ist 364/365. In einem Zimmer, das n Leute enthält, gibt es C (n, 2) =n (n-1)/2 Paare von Leuten, d. h. C (n, 2) Ereignisse. Der Wahrscheinlichkeit keiner zwei Menschen, die denselben Geburtstag teilen, kann durch das Annehmen näher gekommen werden, dass diese Ereignisse unabhängig sind und folglich durch das Multiplizieren ihrer Wahrscheinlichkeit zusammen. Kurzum kann 364/365 allein C (n, 2) Zeiten multipliziert werden, der uns gibt

:

Und wenn das die Wahrscheinlichkeit von keinem ist, denselben Geburtstag habend, dann ist die Wahrscheinlichkeit von jemandem, einen Geburtstag teilend

,:

Annäherung von Poisson

Mit der Annäherung von Poisson für das Binom,

::

Wieder ist das mehr als 50 %.

Annäherung der Anzahl der Leute

Dem kann auch mit der folgenden Formel für die Anzahl der Leute näher gekommen werden, die notwendig ist, um mindestens eine 50-%-Chance zu haben, zusammenzupassen:

:

Das ist ein Ergebnis der guten Annäherung, dass ein Ereignis mit 1 in der k Wahrscheinlichkeit eine 50-%-Chance haben wird, mindestens einmal vorzukommen, wenn es k ln 2mal wiederholt wird.

Wahrscheinlichkeitstisch

:

:The, den weiße Quadrate in diesem Tisch der Zahl des Kuddelmuddels zeigen, musste die gegebene Wahrscheinlichkeit der Kollision (Säule) gegeben ein hashspace einer bestimmten Größe in Bit (Reihe) erreichen. (Das Verwenden der Geburtstag-Analogie: Die "Kuddelmuddel-Raumgröße" (Reihe) würde "365 Tage" sein, die "Wahrscheinlichkeit der Kollision" (Säule) würde "50 %" sein, und die "erforderliche Anzahl der Leute" würde "26" (Kreuzung des Reihe-Gebirgspasses) sein.) Konnte man natürlich auch diese Karte verwenden, um die minimale Kuddelmuddel-Größe erforderlich (gegeben obere Grenzen auf dem Kuddelmuddel und der Wahrscheinlichkeit des Fehlers) zu bestimmen, oder die Wahrscheinlichkeit der Kollision (für die festgelegte Zahl des Kuddelmuddels und Wahrscheinlichkeit des Fehlers).For Vergleich, 10 bis 10 ist die unkorrigierbare Bit-Fehlerrate einer typischen Festplatte http://arxiv.org/abs/cs/0701166. In der Theorie sollte MD5, 128 Bit, innerhalb dieser Reihe bis zu ungefähr 820 Milliarden Dokumenten bleiben, selbst wenn seine möglichen Produktionen noch viele sind.

Ein gebundener oberer

Das Argument wird unten von einem Argument von Paul Halmos angepasst.

Wie oben angegeben ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine zwei Geburtstage zusammenfallen

:

Als in früheren Paragrafen liegt Interesse im kleinsten solchem n dass p (n)> 1/2; oder gleichwertig, der kleinste solcher n, dass (n) im obengenannten Ausdruck wir 1  k/365 durch e ersetzen. Das gibt nach

:

Deshalb ist der Ausdruck oben nicht nur eine Annäherung, sondern auch ein (n) gebundener oberer. Die Ungleichheit

:

bezieht (n) ein

Jetzt sind 730 ln 2 etwa 505.997, der kaum unten 506, der Wert von n &minus ist; n erreicht wenn n = 23. Deshalb genügen 23 Menschen.

Das Lösen n &minus; n = 2 · 365 · ln 2 für n, gibt übrigens, die ungefähre Formel von Frank H. Mathis, der oben zitiert ist.

Diese Abstammung zeigt nur, dass höchstens 23 Menschen erforderlich sind, um ein Geburtstag-Match mit sogar der Chance zu sichern; es verlässt offen die Möglichkeit, die, sagen wir, n = 22 auch arbeiten konnte.

Generalisationen

Das verallgemeinerte Geburtstag-Problem

In Anbetracht eines Jahres mit d Tagen bittet das verallgemeinerte Geburtstag-Problem um die minimale solche Nummer n (d), dass, in einer Reihe von n (d) zufällig gewählte Leute, die Wahrscheinlichkeit eines Geburtstag-Zufalls mindestens 50 % ist.

Mit anderen Worten n ist (d) die minimale ganze Zahl n solch dass

:

Das klassische Geburtstag-Problem entspricht so Bestimmung n (365). Die ersten 99 Werte von n (d) werden hier gegeben:

:

Mehrere Grenzen und Formeln für n (d) sind veröffentlicht worden.

Für irgendwelchen d&ge;1 befriedigt die Nummer n (d)

:

Diese Grenzen sind im Sinn dass die Folge optimal

kommt willkürlich in der Nähe davon, während es als sein Maximum hat, das für d=43 genommen ist.

Die Grenzen sind genug dicht, um den genauen Wert von n (d) in 99 % aller Fälle, zum Beispiel n (365) =23 zu geben.

Im Allgemeinen folgt es aus diesen Grenzen, dass n (d) immer irgendeinem gleichkommt

oder wo die Decke-Funktion anzeigt.

Die Formel

:

hält für 73 % aller ganzen Zahlen d.

Die Formel:

hält für fast den ganzen d, d. h., für eine Reihe von ganzen Zahlen d mit der asymptotischen Dichte 1. Die Formel

:

\right\rceil </Mathematik>

hält für den ganzen d bis zu 10, aber er wird vermutet, dass es ungeheuer viele Gegenbeispiele zu dieser Formel gibt.

Die Formel:

- \frac {2 (\ln2) ^2} {135d }\\right\rceil </Mathematik>

hält auch für den ganzen d bis zu 10, und er wird vermutet, dass diese Formel für den ganzen d hält.

Wurf als ein Kollisionsproblem

Das Geburtstag-Problem kann wie folgt verallgemeinert werden: Gegebene n zufällige ganze Zahlen, die von einer getrennten Rechteckverteilung mit der Reihe [1, d] gezogen sind, was die Wahrscheinlichkeit p ist (n; d) dass mindestens zwei Zahlen dasselbe sind? (d=365 gibt das übliche Geburtstag-Problem.)

Die allgemeinen Ergebnisse können mit denselben Argumenten abgeleitet werden, die oben gegeben sind.

:::

Umgekehrt, wenn n (p; d) zeigt die Zahl von zufälligen ganzen Zahlen an, die von [1, d] gezogen sind, um eine Wahrscheinlichkeit p zu erhalten, dass mindestens zwei Zahlen dasselbe, dann sind

:

Das Geburtstag-Problem in diesem mehr allgemeinen Sinn gilt für Kuddelmuddel-Funktionen: Die erwartete Zahl des N-Bit-Kuddelmuddels, das vor dem Bekommen einer Kollision erzeugt werden kann, ist nicht 2, aber ziemlich nur 2. Das wird durch Geburtstag-Angriffe auf kryptografische Kuddelmuddel-Funktionen ausgenutzt und ist der Grund, warum eine kleine Anzahl von Kollisionen in einer Hash-Tabelle, zu allen praktischen Zwecken, unvermeidlich ist.

Die Theorie hinter dem Geburtstag-Problem wurde von Zoe Schnabel unter dem Namen der Statistik der Festnahme-Wiedererlangung verwendet, um die Größe der Fischbevölkerung in Seen zu schätzen.

Generalisation zu vielfachen Typen

Das grundlegende Problem denkt, dass alle Proben von einem "Typ" sind. Das Geburtstag-Problem ist verallgemeinert worden, um eine beliebige Zahl von Typen zu denken. In der einfachsten Erweiterung gibt es gerade zwei Typen, sagt M "Männer" und n "Frauen", und das Problem wird das Charakterisieren der Wahrscheinlichkeit eines geteilten Geburtstages zwischen mindestens einem Mann und einer Frau. (Geteilte Geburtstage zwischen, sagen wir, zwei Frauen zählen nicht.) Die Wahrscheinlichkeit nicht (d. h. Null) geteilte Geburtstage hier ist

:

wo d = 365 und S Zahlen von Stirling der zweiten Art sind. Folglich ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit 1 &minus; p.

Diese Schwankung des Geburtstag-Problems ist interessant, weil es nicht eine einzigartige Lösung für die Gesamtzahl von Leuten M + n gibt. Zum Beispiel wird der übliche 0.5 Wahrscheinlichkeitswert sowohl für eine 32-Mitglieder-Gruppe von 16 Männern als auch für 16 Frauen und eine 49-Mitglieder-Gruppe von 43 Frauen und 6 Männern begriffen.

Andere Geburtstag-Probleme

Rückproblem

Für eine feste Wahrscheinlichkeit p:

• Finden Sie den größten n, für den die Wahrscheinlichkeit p (n) kleiner ist als der gegebene p oder
• Finden Sie den kleinsten n, für den die Wahrscheinlichkeit p (n) größer ist als der gegebene p.

Wenn wir

die obengenannte Formel für d = 365 nehmen, haben wir:

:

Beispielberechnungen

Zeichen: Einige Werte, die außerhalb der Grenzen fallen, haben zeigen sollen, dass die Annäherung nicht immer genau ist.

Das erste Match

Eine zusammenhängende Frage ist, weil Leute in ein Zimmer einer nach dem anderen eingehen, welcher wird höchstwahrscheinlich erst sein, um denselben Geburtstag wie jemand bereits im Zimmer zu haben? D. h. weil, welcher n p (n) &minus ist; p (n &minus; 1) Maximum? Die Antwort ist 20 — wenn es einen Preis für das erste Match gibt, ist die beste Position in der Linie 20.

Derselbe Geburtstag wie Sie

Bemerken Sie, dass im Geburtstag-Problem keiner der zwei Menschen im Voraus gewählt wird. Über die Unähnlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit q (n), dass jemand in einem Zimmer von n andere Leute denselben Geburtstag wie eine besondere Person (zum Beispiel, Sie) hat, durch gegeben

:

und für allgemeinen d durch

:

Im Standardfall von d = gibt das 365 Ersetzen n = 23 ungefähr 6.1 %, der weniger als 1 Chance in 16 ist. Für einen größeren als 50-%-Chance, dass eine Person in einem Zimmer voll n Leute denselben Geburtstag hat, wie würden Sie, n mindestens 253 sein müssen. Bemerken Sie, dass diese Zahl bedeutsam höher ist als 365/2 = 182.5: Der Grund besteht darin, dass es wahrscheinlich ist, dass es einige Geburtstag-Matchs unter den anderen Leuten im Zimmer gibt.

Es ist nicht ein Zufall das; ein ähnliches ungefähres Muster kann mit mehreren Möglichkeiten gefunden werden, die von 365, oder eine von 50 % verschiedene Zielwahrscheinlichkeit verschieden sind.

In der Nähe von Matchs

Eine andere Generalisation soll fragen, was die Wahrscheinlichkeit ist, mindestens ein Paar in einer Gruppe von n Leuten mit Geburtstagen innerhalb von k Kalendertagen jedes eines anderen zu finden, wenn es M ebenso wahrscheinliche Geburtstage gibt.

:

Die Anzahl der Leute hat verlangt, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paar einen Geburtstag vor k Tagen trennen lassen wird oder weniger werden höher sein, als 50 % sind:

So in einer Gruppe von gerade sieben zufälligen Menschen ist es wahrscheinlicher als nicht, dass zwei von ihnen einen Geburtstag innerhalb einer Woche einander haben werden.

Das Kollisionszählen

Die Wahrscheinlichkeit, dass die kth ganze Zahl, die zufällig aus [1, d] gewählt ist, mindestens eine vorherige Wahl wiederholen wird, kommt q gleich (k &minus; 1; d) oben. Die erwartete Gesamtzahl von Zeiten eine Auswahl wird eine vorherige Auswahl als n solche ganzen Zahlen wiederholen, wird gewählt kommt gleich

:

Durchschnittliche Anzahl der Leute

In einer alternativen Formulierung des Geburtstag-Problems fragt man die durchschnittliche Anzahl der Leute, die erforderlich ist, ein Paar mit demselben Geburtstag zu finden. Das Problem ist für mehrere hashing Algorithmen wichtig, die von Donald Knuth in seinem Buch Die Kunst der Computerprogrammierung analysiert sind. Es kann das gezeigt werden, wenn Proben gleichförmig, mit dem Ersatz, von einer Bevölkerung der Größe M, die Zahl von für die erste wiederholte Stichprobenerhebung von einer Person erforderlichen Proben Wert, wo erwartet haben

:

Die Funktion

:

ist von Srinivasa Ramanujan studiert worden und hat asymptotische Vergrößerung:

:

Mit der M = 365 Tage in einem Jahr hat die durchschnittliche Anzahl der Leute verlangt, um zu finden, dass ein Paar mit demselben Geburtstag ein bisschen mehr ist als die für eine 50-%-Chance erforderliche Zahl. Im besten Fall werden zwei Menschen genügen; schlimmstenfalls ist die maximale mögliche Zahl der M + 1 = 366 Menschen erforderlich; aber durchschnittlich sind nur 25 Menschen erforderlich.

Eine informelle Demonstration des Problems kann von der Liste der Premierminister Australiens, in der Paul Keating, der 24. Premierminister, und Edmund Barton, der erste Premierminister, Anteil derselbe Geburtstag d. h. am 18. Januar gemacht werden.

James K. Polk und Warren G. Harding, die 11. und 29. Präsidenten der Vereinigten Staaten, wurden beide am 2. November geboren.

Herr John A. Macdonald und Jean Chrétien, die 1. und 20. Premierminister Kanadas, wurden beide am 11. Januar geboren.

Der 73 Schauspieler männlichen Geschlechts, um den Oscar für den Besten Schauspieler zu gewinnen, gibt es sechs Paare von Schauspielern, die denselben Geburtstag teilen.

Der 67 Schauspielerinnen, um den Oscar für die Beste Schauspielerin zu gewinnen, gibt es drei Paare von Schauspielerinnen, die denselben Geburtstag teilen.

Der 61 Direktoren, um den Oscar für den Besten Direktor zu gewinnen, gibt es fünf Paare von Direktoren, die denselben Geburtstag teilen.

Der 52 Menschen, um als der Premierminister des Vereinigten Königreichs zu dienen, gibt es zwei Paare von Männern, die denselben Geburtstag teilen.

Teilungsproblem

Ein zusammenhängendes Problem ist das Teilungsproblem, eine Variante des Rucksack-Problems von der Operationsforschung. Einige Gewichte werden auf eine Gleichgewicht-Skala gestellt; jedes Gewicht ist eine Zahl der ganzen Zahl von Grammen, die zufällig zwischen einem Gramm und einer Million Grammen (eine Metertonne) gewählt sind. Die Frage besteht darin, ob man gewöhnlich kann (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit in der Nähe von 1) übertragen die Gewichte zwischen dem verlassenen und den rechten Armen, um die Skala zu erwägen. (Im Falle dass die Summe aller Gewichte eine ungerade Zahl von Grammen ist, wird einer Diskrepanz von einem Gramm erlaubt.), Wenn es nur zwei oder drei Gewichte gibt, ist die Antwort sehr klar nein; obwohl es einige Kombinationen gibt, die arbeiten, die Mehrheit zufällig ausgewählter Kombinationen von drei Gewichten tun nicht. Wenn es sehr viele Gewichte gibt, ist die Antwort klar ja. Die Frage ist, wie viele sind gerade genügend? D. h. wie ist die Zahl von solchen Gewichten, dass es dafür ebenso wahrscheinlich ist, möglich zu sein, sie zu erwägen, weil es unmöglich sein soll?

Intuition einiger Leute ist, dass die Antwort oben 100,000 ist. Intuition der meisten Leute ist, dass es in den Tausenden oder Zehntausenden ist, während andere finden, dass es mindestens in den Hunderten sein sollte. Die richtige Antwort ist etwa 23.

Der Grund besteht darin, dass der richtige Vergleich zur Zahl von Teilungen der Gewichte in den linken und das richtige ist. Es gibt 2 verschiedene Teilungen für N Gewichte, und von der linken Summe minus die richtige Summe kann als eine neue zufällige Menge für jede Teilung gedacht werden. Der Vertrieb der Summe von Gewichten ist ungefähr Gaussian, mit einer Spitze an 1,000,000 N und Breite, so dass, wenn 2 dem Übergang ungefähr gleich ist, vorkommt. 2 ist ungefähr 4 Millionen, während die Breite des Vertriebs nur 5 Millionen ist.

Zeichen

• John G. Kemeny, J. Laurie Snell und Einführung von Gerald Thompson in die Begrenzte Mathematik. Die Erstausgabe, 1957
• E. H. McKinney (1966) Verallgemeinertes Geburtstag-Problem, amerikanische Mathematische Monatliche 73, 385-387.
• M. Klamkin und D. Newman (1967) Erweiterungen der Geburtstag-Überraschung, Zeitschrift der Kombinatorischen Theorie 3, 279-282.
• M. Abramson und W. O. J. Moser (noch 1970) Geburtstag-Überraschungen, amerikanische Mathematische Monatliche 77, 856-858
• D. Blüte (1973) Ein Geburtstag-Problem, amerikanische Mathematische Monatliche 80, 1141-1142.
• Shirky, Ton Hier Kommt Jeder: Die Macht des Organisierens Ohne Organisationen, (2008). New York. 25-27.

Links

• Zufälle: Die Wahrheit ist dort Experimenteller Test des Geburtstag-Paradoxes und der anderen Zufälle
• http://www.efgh.com/math/birthday.htm

http://planetmath.org/encyclopedia/BirthdayProblem.html

• Ein humorvoller Artikel, der das Paradox erklärt
• SOCR Tätigkeitsgeburtstag-Experiment von EduMaterials

• Das Verstehen des Geburtstag-Problems (besser erklärt)