In der Algebra stellen der Lehrsatz von Abel-Ruffini (auch bekannt als der Unmöglichkeitslehrsatz von Abel) fest, dass es keine allgemeine algebraische Lösung - d. h. Lösung in Radikalen - zu polynomischen Gleichungen des Grads fünf oder höher gibt.

Interpretation

Der Inhalt dieses Lehrsatzes wird oft missverstanden. Es behauptet nicht, dass Polynom-Gleichungen des höheren Grads unlösbar sind. Tatsächlich ist das Gegenteil wahr: Jede nichtunveränderliche polynomische Gleichung in einem unbekanntem, mit echten oder komplizierten Koeffizienten, hat mindestens eine komplexe Zahl als Lösung; das ist der Hauptsatz der Algebra. Obwohl die Lösungen genau mit Radikalen nicht immer ausgedrückt werden können, können sie zu jedem gewünschten Grad der Genauigkeit mit numerischen Methoden wie die Methode des Newtons-Raphson oder Methode von Laguerre geschätzt werden, und auf diese Weise sind sie nicht von Lösungen bis polynomische Gleichungen der zweiten, dritten oder vierten Grade verschieden.

Der Lehrsatz betrifft nur die Form, die solch eine Lösung annehmen muss. Der Lehrsatz sagt, dass nicht alle Lösungen von Gleichungen des höheren Grads durch das Starten mit den Koeffizienten der Gleichung und vernünftigen Konstanten, und wiederholt das Formen von Summen, Unterschieden, Produkten, Quotienten und Radikalen (die n-ten Wurzeln, für eine ganze Zahl n) vorher erhaltener Zahlen erhalten werden können. Das schließt klar die Möglichkeit aus, jede Formel zu haben, die die Lösungen einer willkürlichen Gleichung des Grads 5 oder höher in Bezug auf seine Koeffizienten mit nur jene Operationen ausdrückt, oder sogar verschiedene Formeln für verschiedene Wurzeln oder für verschiedene Klassen von Polynomen auf solche Art und Weise zu haben, um alle Fälle zu bedecken. (Im Prinzip konnte man sich Formeln mit irrationalen Zahlen als Konstanten vorstellen, aber selbst wenn eine begrenzte Zahl von denjenigen am Anfang, nicht zugelassen wurde, konnten alle Wurzeln von Gleichungen des höheren Grads erhalten werden.) Jedoch sind einige polynomische Gleichungen, des willkürlich hohen Grads, mit solchen Operationen lösbar. Tatsächlich, wenn die Wurzeln zufällig rationale Zahlen sind, können sie als Konstanten trivial ausgedrückt werden. Das einfachste nichttriviale Beispiel ist die Gleichung, deren Lösungen sind

:

Hier gibt der Ausdruck, der scheint, den Gebrauch der Exponentialfunktion einzuschließen, tatsächlich gerade die verschiedenen möglichen Werte dessen (die n-ten Wurzeln der Einheit), so schließt es nur Förderung von Radikalen ein.

Polynome des niedrigeren Grads

Die Lösungen jeder zweiten Grades polynomischen Gleichung können in Bezug auf Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation, Abteilung und Quadratwurzeln mit der vertrauten quadratischen Formel ausgedrückt werden: Die Wurzeln der folgenden Gleichung werden unten gezeigt:

:

x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2-4ac\}} {2a}.

</Mathematik>

Analoge Formeln für das Drittel - und Gleichungen des vierten Grads, mit Würfel-Wurzeln und den vierten Wurzeln, waren seit dem 16. Jahrhundert bekannt gewesen.

Quintics und höher

Der Lehrsatz von Abel-Ruffini sagt, dass es einige Gleichungen des fünften Grads gibt, deren Lösung nicht so ausgedrückt werden kann. Die Gleichung ist ein Beispiel. (Sieh Bringen radikal.) Können einige andere fünfte Grad-Gleichungen von Radikalen zum Beispiel gelöst werden, der dazu faktorisiert. Das genaue Kriterium, das zwischen jenen Gleichungen unterscheidet, die von Radikalen und denjenigen gelöst werden können, die nicht können, wurde von Évariste Galois gegeben und ist jetzt ein Teil der Theorie von Galois: Eine polynomische Gleichung kann von Radikalen gelöst werden, wenn, und nur wenn seine Gruppe von Galois (über die rationalen Zahlen, oder mehr allgemein über das Grundfeld von zugelassenen Konstanten) eine lösbare Gruppe ist.

Heute, im modernen algebraischen Zusammenhang, sagen wir, dass die zweiten, dritten und vierten Grad-Polynom-Gleichungen immer von Radikalen gelöst werden können, weil die symmetrischen Gruppen S, S und S lösbare Gruppen sind, wohingegen S für n  5 nicht lösbar ist. Das ist so, weil für ein Polynom des Grads n mit unbestimmten Koeffizienten (d. h., gegeben durch symbolische Rahmen), die Gruppe von Galois die volle symmetrische Gruppe S ist (das ist, was die "allgemeine Gleichung des n-ten Grads" genannt wird). Das bleibt wahr, wenn die Koeffizienten konkrete, aber algebraisch unabhängige Werte über das Grundfeld sind.

Beweis

Der folgende Beweis basiert auf der Theorie von Galois. Historisch gehen die Beweise von Ruffini und Abels Theorie von Galois voran.

Einer der Hauptsätze der Theorie von Galois stellt fest, dass eine Gleichung in Radikalen lösbar ist, wenn, und nur wenn es eine lösbare Gruppe von Galois hat, so läuft der Beweis des Lehrsatzes von Abel-Ruffini auf Computerwissenschaft der Gruppe von Galois des allgemeinen Polynoms des fünften Grads hinaus.

Lassen Sie, eine reelle Zahl zu sein, die über das Feld von rationalen Zahlen transzendental ist und zu lassen, eine reelle Zahl zu sein, transzendental zu Ende, und so weiter zu dem zu Ende transzendental ist. Diese Zahlen werden unabhängige transzendentale Elemente über Q genannt. Lassen Sie und lassen Sie

:

f (x) = (x - y_1) (x - y_2) (x - y_3) (x - y_4) (x - y_5) \in E [x].

</Mathematik>

Das Multiplizieren gibt die elementaren symmetrischen Funktionen nach:

:

s_1 = y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5

</Mathematik>:

s_2 = y_1y_2 + y_1y_3 + y_1y_4 + y_1y_5 + y_2y_3 + y_2y_4 + y_2y_5 + y_3y_4 + y_3y_5 + y_4y_5

</Mathematik>:

s_3 = y_1y_2y_3 + y_1y_2y_4 + y_1y_2y_5 + y_1y_3y_4 + y_1y_3y_5 + y_1y_4y_5 +y_2y_3y_4 + y_2y_3y_5 + y_2y_4y_5 + y_3y_4y_5

</Mathematik>:

s_4 = y_1y_2y_3y_4 + y_1y_2y_3y_5 + y_1y_2y_4y_5 + y_1y_3y_4y_5 + y_2y_3y_4y_5

</Mathematik>:

s_5 = y_1y_2y_3y_4y_5.

</Mathematik>

Der Koeffizient darin ist so. Weil unsere unabhängigen transcendentals als indeterminates handeln, veranlasst jede Versetzung in der symmetrischen Gruppe auf 5 Briefen einen automorphism darauf Blätter befestigt und permutiert die Elemente. Da eine willkürliche Neuordnung der Wurzeln der Produktform noch dasselbe Polynom z.B erzeugt:

:

(y - y_3) (y - y_1) (y - y_2) (y - y_5) (y - y_4)

</Mathematik>

ist noch dasselbe Polynom wie

:

(y - y_1) (y - y_2) (y - y_3) (y - y_4) (y - y_5)

</Mathematik>

die automorphisms verlassen auch befestigt, so sind sie Elemente der Gruppe von Galois. Jetzt, da es sein muss, dass weil es vielleicht automorphisms dort geben konnte, die nicht darin sind.

Jedoch, da das zerreißende Feld eines quintic Polynoms höchstens 5 hat! Elemente, und müssen so dazu isomorph sein. Generalisierung dieses Arguments zeigt, dass die Gruppe von Galois jedes allgemeinen Polynoms des Grads dazu isomorph ist.

Und was dessen? Die einzige Zusammensetzungsreihe dessen ist (wo die Wechselgruppe auf fünf Briefen, auch bekannt als die icosahedral Gruppe ist). Jedoch ist die Quotient-Gruppe (isomorph zu sich) nicht eine abelian Gruppe, und ist so nicht lösbar, so muss es sein, dass das allgemeine Polynom des fünften Grads keine Lösung in Radikalen hat. Da die erste nichttriviale normale Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf n Briefen immer die Wechselgruppe auf n Briefen ist, und da die Wechselgruppen auf n Briefen dafür immer einfach und non-abelian, und folglich nicht lösbar sind, sagt es auch, dass die allgemeinen Polynome aller Grade höher als das fünfte auch keine Lösung in Radikalen haben.

Bemerken Sie, dass der obengenannte Aufbau der Gruppe von Galois für ein fünftes Grad-Polynom nur für das allgemeine Polynom gilt, können spezifische Polynome des fünften Grads verschiedene Gruppen von Galois mit ziemlich verschiedenen Eigenschaften haben, z.B ließ ein zerreißendes Feld durch eine primitive 5. Wurzel der Einheit erzeugen, und folglich ist seine Gruppe von Galois abelian und die durch Radikale selbst lösbare Gleichung. Jedoch, da das Ergebnis auf dem allgemeinen Polynom ist, sagt es wirklich, dass ein General "quintic Formel" für die Wurzeln eines quintic das Verwenden nur einer begrenzten Kombination der arithmetischen Operationen und Radikalen in Bezug auf die Koeffizienten unmöglich ist.

Q.E.D.

Geschichte

1770 hat Joseph Louis Lagrange den Grundstein begonnen, der die vielen verschiedenen Tricks vereinigt hat, die bis zu diesem Punkt verwendet worden waren, um Gleichungen zu lösen, sie mit der Theorie von Gruppen von Versetzungen in der Form von Wiederlösungsmitteln von Lagrange verbindend. Diese innovative Arbeit von Lagrange war ein Vorgänger zur Theorie von Galois, und sein Misserfolg, Lösungen für Gleichungen der fünften und höheren Grade zu entwickeln, hat angedeutet, dass solche Lösungen unmöglich sein könnten, aber es hat abschließenden Beweis nicht zur Verfügung gestellt. Der Lehrsatz wurde zuerst fast jedoch von Paolo Ruffini 1799 bewiesen, aber sein Beweis wurde größtenteils ignoriert. Er hatte mehrere Male versucht, es verschiedenen Mathematikern zu senden, um es, unter ihnen, französischem Mathematiker Augustin-Louis Cauchy anerkennen zu lassen, aber es wurde vielleicht nie anerkannt, weil der Beweis 500 Seiten abmaß. Der Beweis auch, wie später entdeckt wurde, hat einen Fehler enthalten. Ruffini hat angenommen, dass eine Lösung eine Funktion der Radikalen notwendigerweise sein würde (in modernen Begriffen, hat er gescheitert zu beweisen, dass das zerreißende Feld eines der Felder im Turm von Radikalen ist, der einer Lösung entspricht, die in Radikalen ausgedrückt ist). Während Cauchy gefunden hat, dass die Annahme gering war, glauben die meisten Historiker, dass der Beweis nicht abgeschlossen war, bis Abel diese Annahme bewiesen hat. Der Lehrsatz wird so allgemein Niels Henrik Abel kreditiert, der einen Beweis veröffentlicht hat, der gerade sechs Seiten 1824 verlangt hat.

Einblicke in diese Probleme wurden auch mit der von Évariste Galois den Weg gebahnten Theorie von Galois gewonnen. 1885 haben John Stuart Glashan, George Paxton Young und Carl Runge einen Beweis mit dieser Theorie zur Verfügung gestellt.

1963 hat Vladimir Arnold einen topologischen Beweis des Lehrsatzes von Abel-Ruffini entdeckt, der als ein Startpunkt für die topologische Theorie von Galois gedient hat.

Siehe auch

• Gleichungstheorie

Zeichen

• Edgar Dehn. Algebraische Gleichungen: Eine Einführung in die Theorien von Lagrange und Galois. Universität von Columbia Presse, 1930. Internationale Standardbuchnummer 0-486-43900-3.
• John B. Fraleigh. Eine Vorspeise in der Abstrakten Algebra. Die fünfte Ausgabe. Addison-Wesley, 1994. Internationale Standardbuchnummer 0-201-59291-6.
• Ian Stewart. Galois Theorie. Hausierer und Saal, 1973. Internationale Standardbuchnummer 0-412-10800-3.
• Der Unmöglichkeitslehrsatz von Abel an Everything2

Außenverbindungen

• - der erste Beweis auf 1824 in französischem
• - der zweite Beweis auf 1826 in französischem