In der Mathematik ist ein bestelltes Feld ein Feld zusammen mit einer Gesamteinrichtung seiner Elemente, die mit den Feldoperationen vereinbar ist. Historisch wurde der axiomatization eines bestellten Feldes allmählich von den reellen Zahlen, von Mathematikern einschließlich David Hilberts, Otto Hölders und Hans Hahns abstrahiert. 1926 ist das schließlich in die Artin-Schreier Theorie von bestellten Feldern und formell echten Feldern gewachsen.

Ein bestelltes Feld hat notwendigerweise Eigenschaft 0, d. h. die Elemente 0, 1, … sind alle verschieden. Das deutet an, dass ein bestelltes Feld notwendigerweise eine unendliche Zahl von Elementen enthält. Begrenzte Felder können nicht bestellt werden.

Jedes Teilfeld eines bestellten Feldes ist auch ein bestelltes Feld in der geerbten Ordnung. Jedes bestellte Feld enthält ein bestelltes Teilfeld, das zu den rationalen Zahlen isomorph ist. Jedes Dedekind-ganze bestellte Feld ist zu den reellen Zahlen isomorph. Quadrate sind in einem bestellten Feld notwendigerweise nichtnegativ. Das deutet an, dass die komplexen Zahlen nicht bestellt werden können, da das Quadrat der imaginären Einheit ich-1 bin. Jedes bestellte Feld ist ein formell echtes Feld.

Definition

Es gibt zwei gleichwertige Definitionen eines bestellten Feldes. Def 1 ist erst historisch geschienen und ist eine erste Ordnung axiomatization der Einrichtung  als ein binäres Prädikat. Artin und Schreier haben Def 2 1926, der axiomatizes die Subsammlung von nichtnegativen Elementen gegeben. Es Subsammlung wird positive Kegel (Def 2 unten) 1926 genannt. Obwohl Def 2 höherwertig ist, stellt das Ansehen positiver Kegel als maximale vorpositive Kegel einen größeren Zusammenhang zur Verfügung, in dem Feldeinrichtung extremal teilweise Einrichtung ist.

Def 1: Ein Gesamtbezug auf F

Ein Feld (F, +, *) zusammen mit einem Gesamtbezug  auf F ist ein bestelltes Feld, wenn die Ordnung die folgenden Eigenschaften befriedigt:

• wenn ein  b dann + c  b + c
• wenn 0  a und 0  b dann 0  ein b

Def 2: Ein positiver Kegel von F

Ein vorpositiver Kegel Feldes F ist eine Teilmenge P  F, der die folgenden Eigenschaften hat:

• Für x und y in P sind sowohl x+y als auch xy in P.
• Wenn x in F ist, dann ist x in P.
• Das Element −1 ist nicht in P.

Wenn außerdem die Teilmenge F die Vereinigung von P und −P ist, nennen wir P einen positiven Kegel von F.

Die Nichtnullelemente von P werden die positiven Elemente von F genannt.

Ein bestelltes Feld ist Feld F zusammen mit einem positiven Kegel P.

Gleichwertigkeit der zwei Definitionen

Lassen Sie F ein Feld sein. Es gibt eine Bijektion zwischen der Feldeinrichtung von F und den positiven Kegeln von F.

In Anbetracht eines Feldes, das  als in Def 1, die solche Elemente bestellt, dass x0 einen positiven Kegel von F bildet. Umgekehrt, in Anbetracht eines positiven Kegels P F als in Def 2, kann man eine Gesamteinrichtung  vereinigen, indem man xy veranlasst, y &minus zu bedeuten; x  P. Diese Gesamteinrichtung  befriedigt die Eigenschaften von Def 1.

Eigenschaften von bestellten Feldern

• Wenn x

• Quadrate sind nichtnegativ. 0  ein ² für alle in F. (Folgt durch ein ähnliches Argument für 1> 0)

Jedes Teilfeld eines bestellten Feldes ist auch ein bestelltes Feld (das Übernehmen der veranlassten Einrichtung). Das kleinste Teilfeld ist zum rationals (bezüglich jedes anderen Feldes der Eigenschaft 0) isomorph, und die Ordnung auf diesem vernünftigen Teilfeld ist dasselbe als die Ordnung des rationals selbst. Wenn jedes Element eines bestellten Feldes zwischen zwei Elementen seines vernünftigen Teilfeldes liegt, dann, wie man sagt, ist das Feld Archimedean. Sonst ist solches Feld ein non-Archimedean bestelltes Feld und enthält infinitesimals. Zum Beispiel bilden die reellen Zahlen ein Feld von Archimedean, aber jedes hyperechte Feld ist non-Archimedean.

Ein bestelltes Feld K ist das Feld der reellen Zahl, wenn es das Axiom von Archimedes befriedigt und jede Cauchyfolge von K innerhalb von K zusammenläuft.

Topologie durch die Ordnung veranlasst

Wenn F mit der Ordnungstopologie ausgestattet wird, die aus dem Gesamtbezug  entsteht, dann versichern die Axiome, dass die Operationen + und * dauernd sind, so dass F ein topologisches Feld ist.

Beispiele von bestellten Feldern

Beispiele von bestellten Feldern sind:

• die rationalen Zahlen
• die echten algebraischen Zahlen
• die berechenbaren Zahlen
• die reellen Zahlen
• das Feld von echten vernünftigen Funktionen, wo p (x) und q (x), ist Polynome mit echten Koeffizienten, kann in ein bestelltes Feld gemacht werden, wo das Polynom p (x) = x größer ist als jedes unveränderliche Polynom, durch das Definieren davon wann auch immer, dafür. Dieses bestellte Feld ist nicht Archimedean.
• Das Feld der formellen Reihe von Laurent mit echten Koeffizienten, wo x genommen wird, um unendlich kleiner und positiver zu sein
• echte geschlossene Felder
• superreelle Zahlen
• hyperreelle Zahlen

Die surrealen Zahlen bilden eine richtige Klasse aber nicht einen Satz, aber folgen sonst den Axiomen eines bestellten Feldes. Jedes bestellte Feld kann in die surrealen Zahlen eingebettet werden.

Welche Felder können bestellt werden?

Jedes bestellte Feld ist ein formell echtes Feld, d. h., 0 kann als eine Summe von Nichtnullquadraten nicht geschrieben werden.

Umgekehrt kann jedes formell echte Feld mit einem vereinbaren Gesamtbezug ausgestattet werden, der es in ein bestelltes Feld verwandeln wird. (Diese Ordnung wird häufig nicht einzigartig bestimmt.)

Begrenzte Felder können in bestellte Felder nicht verwandelt werden, weil sie Eigenschaft 0 nicht haben. Die komplexen Zahlen können auch in ein bestelltes Feld nicht verwandelt werden, weil −1 ein Quadrat (der imaginären Zahl i) ist und so positiv sein würde. Außerdem können die p-adic Zahlen nicht bestellt werden, da Q eine Quadratwurzel −7 enthält und Q (p> 2) eine Quadratwurzel 1 &minus enthält; p.

Siehe auch

• Bestellter Ring
• Bestellter Vektorraum