In der Mathematik ist die harmonische Reihe die auseinander gehende unendliche Reihe:

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Sein Name ist auf das Konzept von Obertönen oder Obertöne in der Musik zurückzuführen: Die Wellenlängen der Obertöne einer vibrierenden Schnur sind 1/2, 1/3, 1/4 usw. der grundsätzlichen Wellenlänge der Schnur. Jeder Begriff der Reihe nach dem ersten ist die der benachbarten Begriffe bösartige Harmonische; der Ausdruck harmonisch bösartig ist ebenfalls auf Musik zurückzuführen.

Geschichte

Die Tatsache, dass die harmonische Reihe abweicht, wurde zuerst im 14. Jahrhundert von Nicole Oresme bewiesen, aber dieses Zu-Stande-Bringen ist in die Zweideutigkeit gefallen. Beweise wurden im 17. Jahrhundert von Pietro Mengoli, Johann Bernoulli und Jacob Bernoulli gegeben.

Historisch haben harmonische Folgen eine bestimmte Beliebtheit mit Architekten gehabt. Das war so besonders in der Barocken Periode, als Architekten sie verwendet haben, um die Verhältnisse von Grundrissen Erhebungen zu gründen, und harmonische Beziehungen sowohl zwischen architektonischen als auch zwischen Innenaußendetails von Kirchen und Palästen herzustellen.

Paradoxe

Die harmonische Reihe ist Studenten gegenintuitiv, die darauf zuerst stoßen, weil es eine auseinander gehende Reihe ist, obwohl die Grenze des n-ten Begriffes als n zur Unendlichkeit geht, ist Null. Die Abschweifung der harmonischen Reihe ist auch die Quelle von einigen offenbaren Paradoxen. Ein Beispiel von diesen ist der "Wurm auf dem Gummiband". Nehmen Sie an, dass ein Wurm entlang einem 1-Meter-Gummiband kriecht und, nachdem jede Minute das Gummiband durch einen zusätzlichen 1 Meter gleichförmig gestreckt wird. Wenn das Wurm-Reisen 1 Zentimeter pro Minute, wird der Wurm jemals das Ende des Gummibandes erreichen? Die Antwort ist gegenintuitiv "ja", weil danach n Minuten das Verhältnis der Entfernung, die vom Wurm zur Gesamtlänge des Gummibandes gereist ist, ist

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Weil die Reihe willkürlich groß wird, weil n größer wird, schließlich muss dieses Verhältnis 1 zu weit gehen, der andeutet, dass der Wurm das Ende des Gummibandes erreicht. Der Wert von n, an dem das vorkommt, muss jedoch, ungefähr e, eine Zahl äußerst groß sein, die 10 zu weit geht. Obwohl die harmonische Reihe wirklich abweicht, tut sie so sehr langsam.

Ein anderes Beispiel ist: In Anbetracht einer Sammlung von identischen Dominos ist es klar möglich, sie am Rand eines Tisches aufzuschobern, so dass sie über den Rand des Tisches hängen. Das gegenintuitive Ergebnis besteht darin, dass man sie auf solche Art und Weise aufschobern kann, um das willkürlich große Überhängen zu machen, vorausgesetzt dass es genug Dominos gibt.

Abschweifung

Es gibt mehrere wohl bekannte Beweise der Abschweifung der harmonischen Reihe. Zwei von ihnen wird unten gegeben.

Vergleich-Test

Eine Weise, Abschweifung zu beweisen, soll die harmonische Reihe mit einer anderen auseinander gehenden Reihe vergleichen:

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\begin {richten }\aus

& 1 \; \; + \; \; \frac {1} {2} \; \; + \; \; \frac {1} {3} \, + \, \frac {1} {4} \; \; + \; \; \frac {1} {5} \, + \, \frac {1} {6} \, + \, \frac {1} {7} \, + \, \frac {1} {8} \; \; + \; \; \frac {1} {9} \, + \, \cdots \\[12pt]

> \; \; \; & 1 \; \; + \; \; \frac {1} {2} \; \; + \; \; \frac {1} {4} \, + \, \frac {1} {4} \; \; + \; \; \frac {1} {8} \, + \, \frac {1} {8} \, + \, \frac {1} {8} \, + \, \frac {1} {8} \; \; + \; \; \frac {1} {16} \, + \, \cdots.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Jeder Begriff der harmonischen Reihe ist größer oder gleich dem entsprechenden Begriff der zweiten Reihe, und deshalb muss die Summe der harmonischen Reihe größer sein als die Summe der zweiten Reihe. Jedoch ist die Summe der zweiten Reihe unendlich:

:\begin {richten }\aus

& 1 + \left (\frac {1} {2 }\\Recht) + \left (\frac {1} {4} + \frac {1} {4 }\\Recht) + \left (\frac {1} {8} + \frac {1} {8} + \frac {1} {8} + \frac {1} {8 }\\Recht) + \left (\frac {1} {16} + \cdots +\frac {1} {16 }\\Recht) + \cdots \\[12pt]

\; \; & 1 \; \; + \; \; \frac {1} {2} \; \; + \; \; \frac {1} {2} \; \; + \; \; \frac {1} {2} \; \; + \; \; \frac {1} {2} \; \; + \; \; \cdots \; \;

\; \; \infty.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Es folgt (durch den Vergleich-Test), dass die Summe der harmonischen Reihe ebenso unendlich sein muss. Genauer beweist der Vergleich oben das

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für jede positive ganze Zahl k.

Dieser Beweis, wegen Nicole Oresme, wird von einigen als ein Höhepunkt der mittelalterlichen Mathematik betrachtet. Es ist noch ein Standardbeweis, der in Mathematik-Klassen heute unterrichtet ist. Der Kondensationstest von Cauchy ist eine Generalisation dieses Arguments.

Integrierter Test

Es ist möglich zu beweisen, dass die harmonische Reihe durch das Vergleichen seiner Summe mit einem unpassenden Integral abweicht. Betrachten Sie spezifisch die Einordnung von Rechtecken als gezeigt in der Zahl nach rechts. Jedes Rechteck ist 1 Einheit breit und 1 / n Einheiten hoch, so ist das Gesamtgebiet der Rechtecke die Summe der harmonischen Reihe:

:

\begin {Reihe} {c }\

\text {Gebiet von }\\\

\text {Rechtecke }\

\end {ordnen }\

1 \, + \, \frac {1} {2} \, + \, \frac {1} {3} \, + \, \frac {1} {4} \, + \, \frac {1} {5} \, + \, \cdots.

</Mathematik>

Jedoch wird das Gesamtgebiet unter der Kurve y = 1 / x von 1 bis Unendlichkeit durch ein unpassendes Integral gegeben:

:\begin {Reihe} {c }\

\text {Gebiet unter }\\\

\text {biegen }\

\end {ordnen }\

\int_1^\\infty\frac {1} {x }\\, dx \;

\; \infty.

</Mathematik>

Da dieses Gebiet innerhalb der Rechtecke völlig enthalten wird, muss das Gesamtgebiet der Rechtecke ebenso unendlich sein. Genauer beweist das das

:

\sum_ {n=1} ^k \, \frac {1} {n} \;> \; \int_1^ {k+1} \frac {1} {x }\\, dx \; = \; \ln (k+1).

</Mathematik>

Die Generalisation dieses Arguments ist als der integrierte Test bekannt.

Rate der Abschweifung

Die harmonische Reihe weicht sehr langsam ab. Zum Beispiel ist die Summe der ersten 10 Begriffe weniger als 100. Das ist, weil die teilweisen Summen der Reihe logarithmisches Wachstum haben. In der besonderen Einzelheit,

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wo die Euler-Mascheroni Konstante und der ~ ist, der sich 0 nähert, als zur Unendlichkeit geht. Dieses Ergebnis ist wegen Leonhard Eulers. Er hat auch die bemerkenswertere Tatsache bewiesen, dass die Summe, die nur die Gegenstücke der Blüte bereits einschließt, abweicht, d. h.

:

Teilweise Summen

Die n-te teilweise Summe der abweichenden harmonischen Reihe,

:

wird die n-te harmonische Zahl genannt.

Der Unterschied zwischen der n-ten harmonischen Zahl und dem natürlichen Logarithmus von n läuft zur Euler-Mascheroni Konstante zusammen.

Der Unterschied zwischen verschiedenen harmonischen Zahlen ist nie eine ganze Zahl.

Keine harmonischen Zahlen sind ganze Zahlen, abgesehen von n = 1.

Zusammenhängende Reihe

Das Wechseln harmonischer Reihe

Die Reihe

:

\sum_ {n = 1} ^\\infty \frac {(-1) ^ {n + 1}} {n} \; = \; 1 \, - \, \frac {1} {2} \, + \, \frac {1} {3} \, - \, \frac {1} {4} \, + \, \frac {1} {5} \, - \, \cdots

</Mathematik>

ist als die harmonische Wechselreihe bekannt. Diese Reihe läuft durch den Wechselreihe-Test zusammen. Insbesondere die Summe ist dem natürlichen Logarithmus 2 gleich:

:

Diese Formel ist ein spezieller Fall der Reihe von Mercator, der Reihe von Taylor für den natürlichen Logarithmus.

Eine zusammenhängende Reihe kann aus der Reihe von Taylor für den arctangent abgeleitet werden:

:

\sum_ {n = 0} ^\\infty \frac {(-1) ^ {n}} {2n+1} \; \; = \; \; 1 \, - \, \frac {1} {3} \, + \, \frac {1} {5} \, - \, \frac {1} {7} \, + \, \cdots \; \; = \; \; \frac {\\Pi} {4}.

</Mathematik>

Das ist als die Formel von Leibniz für das Pi bekannt.

Allgemeine harmonische Reihe

Die allgemeine harmonische Reihe ist von der Form

:

wo und reelle Zahlen sind.

Durch den Vergleich-Test weichen alle allgemeinen harmonischen Reihen ab.

P-Reihe

Eine Generalisation der harmonischen Reihe ist die P-Reihe (oder hyperharmonische Reihe), definiert als:

:

für jede positive reelle Zahl p. Wenn p = 1, die P-Reihe die harmonische Reihe ist, die abweicht. Entweder der integrierte Test oder der Kondensationstest von Cauchy zeigen, dass die P-Reihe für den ganzen p> 1 zusammenläuft (in welchem Fall es die überharmonische Reihe genannt wird) und für den ganzen p  1 abweicht. Wenn p> 1 dann die Summe der P-Reihe ζ (p), d. h., der Riemann zeta an p bewertete Funktion ist.

&phi;-series

Für jede konvexe, reellwertige Funktion φ solch dass

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die Reihe ist konvergent.

Zufällige harmonische Reihe

Die zufällige harmonische Reihe

:

wo die s, identisch verteilte zufällige Variablen unabhängig sind, die die Werte +1 und &minus;1 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/2 nehmen, ist ein wohl bekanntes Beispiel in der Wahrscheinlichkeitstheorie für eine Reihe von zufälligen Variablen, die mit der Wahrscheinlichkeit 1 zusammenläuft. Die Tatsache dieser Konvergenz ist eine leichte Folge entweder des Lehrsatzes der drei Reihe von Kolmogorov oder des nah verwandten Kolmogorovs maximale Ungleichheit. Byron Schmuland von der Universität von Alberta hat weiter die Eigenschaften der zufälligen harmonischen Reihe untersucht und hat gezeigt, dass das konvergente eine zufällige Variable mit einigen interessanten Eigenschaften ist. Insbesondere die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion dieser zufälligen Variable, die an +2 oder an &minus;2 bewertet ist, übernimmt den Wert, sich von 1/8 durch weniger als 10 unterscheidend. Das Papier von Schmuland erklärt, warum diese Wahrscheinlichkeit so in der Nähe von, aber nicht genau, 1/8 ist. Der genaue Wert dieser Wahrscheinlichkeit wird durch das unendliche integrierte Kosinus-Produkt geteilt durch π gegeben.

Entleerte harmonische Reihe

Wie man

zeigen kann, läuft die entleerte harmonische Reihe, wohin alle Begriffe, in denen die Ziffer 9 überall im Nenner erscheint, entfernt werden, zusammen, und sein Wert ist weniger als 80. Tatsächlich, wenn Begriffe, die jede besondere Reihe von Ziffern enthalten, entfernt werden, läuft die Reihe zusammen.

Siehe auch

• Komplizierter Logarithmus
• Der Lehrsatz von Lagarias
• Harmonischer Fortschritt
• "Harmonische Reihe" an der Springer-Enzyklopädie der Mathematik

Links

• "Die Harmonische Reihe Weicht Immer wieder", Die AMATYC-Rezension, 27 (2006), Seiten 31-43 Ab. Viele Beweise der Abschweifung der harmonischen Reihe.