Das Lemma von König oder das Unendlichkeitslemma von König sind ein Lehrsatz in der Graph-Theorie wegen Dénes Kőnig (1936). Es gibt eine genügend Bedingung für einen unendlichen Graphen, um einen ungeheuer langen Pfad zu haben. Die Berechenbarkeitsaspekte dieses Lehrsatzes sind von Forschern in der mathematischen Logik besonders in der Berechenbarkeitstheorie gründlich untersucht worden. Dieser Lehrsatz hat auch wichtige Rollen in der konstruktiven Mathematik und Probetheorie.

Behauptung des Lemmas

Wenn G ein verbundener Graph mit ungeheuer vielen solchen Scheitelpunkten ist, dass jeder Scheitelpunkt begrenzten Grad hat (d. h. jeder Scheitelpunkt ist neben nur begrenzt vielen anderen Scheitelpunkten) dann G enthält einen ungeheuer langen einfachen Pfad, d. h. einen Pfad ohne wiederholte Scheitelpunkte.

Ein allgemeiner spezieller Fall davon ist, dass jeder Baum, der ungeheuer viele Scheitelpunkte, jeder enthält, begrenzten Grad habend, mindestens einen unendlichen einfachen Pfad hat.

Bemerken Sie, dass die Scheitelpunkt-Grade begrenzt sein müssen, aber nicht begrenzt zu werden brauchen: Es ist möglich, einen Scheitelpunkt des Grads 10, ein anderer des Grads 100, ein Drittel des Grads 1000, und so weiter zu haben.

Beweis

Für den Beweis, nehmen Sie an, dass der Graph aus ungeheuer vielen Scheitelpunkten besteht und verbunden wird.

Fangen Sie mit jedem Scheitelpunkt v an. Jeder der ungeheuer vielen Scheitelpunkte von G kann von v mit einem einfachen Pfad erreicht werden, und jeder solcher Pfad muss mit einem der begrenzt vielen Scheitelpunkte neben v anfangen. Es muss einen jener angrenzenden Scheitelpunkte geben, durch die ungeheuer viele Scheitelpunkte erreicht werden können, ohne v durchzugehen. Wenn es nicht gäbe, dann würde der komplette Graph die Vereinigung von begrenzt vielen begrenzten Sätzen, und so begrenzt sein, der Annahme widersprechend, dass der Graph unendlich ist. Wir können so einen dieser Scheitelpunkte aufpicken und ihn v nennen.

Jetzt ungeheuer können viele Scheitelpunkte von G von v mit einem einfachen Pfad erreicht werden, der den Scheitelpunkt v nicht verwendet. Jeder solcher Pfad muss mit einem der begrenzt vielen Scheitelpunkte neben v anfangen. So ein Argument, das demjenigen über Shows ähnlich ist, dass es einen jener angrenzenden Scheitelpunkte geben muss, durch die ungeheuer viele Scheitelpunkte erreicht werden können; picken Sie ein auf und nennen Sie es v.

Auf diese Mode weitergehend, kann ein unendlicher einfacher Pfad durch die mathematische Induktion gebaut werden. An jedem Schritt stellt die Induktionsvoraussetzung fest, dass es ungeheuer viele Knoten gibt, die durch einen einfachen Pfad von einem besonderen Knoten erreichbar sind, der einen eines begrenzten Satzes von Scheitelpunkten nicht durchgeht. Das Induktionsargument ist, dass einer der Scheitelpunkte daneben die Induktionsvoraussetzung befriedigt, selbst wenn zum begrenzten Satz hinzugefügt wird.

Das Ergebnis dieses Induktionsarguments besteht darin, dass für den ganzen n es möglich ist, einen Scheitelpunkt v zu wählen, wie der Aufbau beschreibt. Der Satz von im Aufbau gewählten Scheitelpunkten ist dann eine Kette im Graphen, weil jeder gewählt wurde, um neben dem vorherigen zu sein, und der Aufbau versichert, dass derselbe Scheitelpunkt zweimal nie gewählt wird.

Dieser Beweis darf konstruktiv nicht betrachtet werden, weil an jedem Schritt er einen Beweis durch den Widerspruch verwendet, um festzustellen, dass dort ein angrenzender Scheitelpunkt besteht, von dem ungeheuer viele andere Scheitelpunkte erreicht werden können. Tatsachen über die rechenbetonten Aspekte des Lemmas weisen darauf hin, dass kein Beweis sein kann vorausgesetzt, dass konstruktiv von den Hauptschulen der konstruktiven Mathematik betrachtet würde.

Berechenbarkeitsaspekte

Die Berechenbarkeitsaspekte des Lemmas von König sind gründlich untersucht worden. Die Form des Lemmas von König am günstigsten ist für diesen Zweck diejenige, die dass jeder unendliche sich begrenzt verzweigende Subbaum dessen feststellt

Ein Subbaum dessen

Für jeden Subbaum T dessen

Es ist bekannt, dass sich dort berechenbare Subbäume dessen nichtbegrenzt verzweigen

Eine feinere Analyse ist für berechenbar begrenzte Bäume geführt worden. Ein Subbaum dessen

• Jeder solcher Baum hat einen Pfad, der von, kanonischer Turing ganzer Satz berechenbar ist, der das stockende Problem entscheiden kann.
• Jeder solcher Baum hat einen Pfad, der niedrig ist. Das ist als der niedrige Basislehrsatz bekannt.
• Jeder solcher Baum hat einen Pfad, der frei hypergeschützt ist. Das bedeutet, dass jede vom Pfad berechenbare Funktion durch eine berechenbare Funktion beherrscht wird.
• Für jede nichtberechenbare Teilmenge haben X des Baums einen Pfad, der X nicht rechnet.

Eine schwache Form des Lemmas von König, das feststellt, dass jeder unendliche binäre Baum einen unendlichen Zweig hat, wird verwendet, um das Subsystem WKL der Arithmetik der zweiten Ordnung zu definieren. Dieses Subsystem hat eine wichtige Rolle in der Rückmathematik. Hier ist ein binärer Baum derjenige, in dem jeder Begriff jeder Folge im Baum 0 oder 1 ist, der sagen soll, dass der Baum über die unveränderliche Funktion 2 berechenbar begrenzt wird. Die volle Form des Lemmas von König ist in WKL nicht nachweisbar, aber ist zum stärkeren Subsystem ACA gleichwertig.

Beziehung zur konstruktiven Mathematik und Kompaktheit

Der Anhänger-Lehrsatz von Brouwer, ist aus einem klassischen Gesichtspunkt, dem contrapositive einer Form des Lemmas von König. Eine Teilmenge S dessen

Das kann in einer klassischen Einstellung durch das Betrachten der Bar als eine offene Bedeckung des topologischen Kompaktraums bewiesen werden. Jede Folge in der Bar vertritt einen grundlegenden offenen Satz dieses Raums, und diese grundlegenden offenen Sätze bedecken den Raum durch die Annahme. Durch die Kompaktheit hat dieser Deckel einen begrenzten Subdeckel. Der N des Anhänger-Lehrsatzes kann genommen werden, um die Länge der längsten Folge zu sein, deren grundlegender offener Satz im begrenzten Subdeckel ist. Dieser topologische Beweis kann in der klassischen Mathematik verwendet werden, um zu zeigen, dass die folgende Form des Lemmas von König hält: für jede natürliche Zahl k, jeden unendlichen Subbaum des Baums

Beziehung mit dem Axiom der Wahl

Wie man

betrachten kann, ist das Lemma von König ein auserlesener Grundsatz; der erste Beweis illustriert oben die Beziehung zwischen dem Lemma und dem Axiom der abhängigen Wahl. An jedem Schritt der Induktion muss ein Scheitelpunkt mit einem besonderen Eigentum ausgewählt werden. Obwohl es bewiesen wird, dass mindestens ein passender Scheitelpunkt besteht, wenn es mehr als einen passenden Scheitelpunkt gibt, kann es keine kanonische Wahl geben.

Wenn der Graph zählbar ist, werden die Scheitelpunkte gut bestellt, und man kann den kleinsten passenden Scheitelpunkt kanonisch wählen. In diesem Fall ist das Lemma von König in der Arithmetik der zweiten Ordnung mit dem arithmetischen Verständnis, und, ein fortiori, in der ZF Mengenlehre (ohne Wahl) nachweisbar.

Das Lemma von König ist im Wesentlichen die Beschränkung des Axioms der abhängigen Wahl zu kompletten Beziehungen R solch dass für jeden x es gibt nur begrenzt viele solche z dass xRz. Obwohl das Axiom der Wahl im Allgemeinen, stärker ist als der Grundsatz der abhängigen Wahl, ist diese Beschränkung der abhängigen Wahl zu einer Beschränkung des Axioms der Wahl gleichwertig.

Insbesondere wenn das Ausbreiten an jedem Knoten auf einer begrenzten Teilmenge eines willkürlichen Satzes getan wird, der nicht angenommen ist, die Form des Lemmas von König zählbar zu sein, das sagt, "Jeder unendliche sich begrenzt verzweigende Baum hat einen unendlichen Pfad" ist zum Grundsatz gleichwertig, dass jeder zählbare Satz von begrenzten Sätzen eine auserlesene Funktion hat (Bruchband (1976:273); vergleichen Sie Levy (1979, Übung IX.2.18)). Diese Form des Axioms der Wahl (und folglich des Lemmas von König) ist in der ZF Mengenlehre nicht nachweisbar.

Siehe auch

• Baum von Aronszajn, für die mögliche Existenz von Gegenbeispielen, wenn man das Lemma zu höher cardinalities verallgemeinert.
• Drucken Sie Dover 2002, internationale Standardbuchnummer 0-486-42079-5 nach.

Links

• Enzyklopädie von Stanford der Philosophie: Konstruktive Mathematik
• Das Mizar-Projekt hat völlig formalisiert und automatisch den Beweis einer Version des Lemmas von König in der Datei TREES_2 überprüft.