In der Mathematik hat Klasse (Mehrzahlklassen) einige verschieden, aber nah verbunden, Bedeutungen:

Topologie

Oberfläche von Orientable

Die Klasse eines verbundenen, orientable Oberfläche ist eine ganze Zahl, die die maximale Zahl von Ausschnitten entlang dem Nichtschneiden geschlossener einfacher Kurven vertritt, ohne die resultierende getrennte Sammelleitung zu machen. Es ist der Zahl von Griffen darauf gleich. Wechselweise kann es in Bezug auf die Eigenschaft von Euler χ, über die Beziehung χ = 2  2g für geschlossene Oberflächen definiert werden, wo g die Klasse ist. Für Oberflächen mit b Grenzbestandteilen liest die Gleichung χ = 2  2g  b.

Zum Beispiel:

• Der Bereich S und eine Scheibe beide hat Klasse-Null.
• Ein Ring hat Klasse ein, wie die Oberfläche eines Kaffee-Bechers mit einem Griff tut. Das ist die Quelle des Witzes, dass "ein topologist jemand ist, der ihren Berliner abgesondert von ihrem Kaffee-Becher nicht erzählen kann."

Ein ausführlicher Aufbau von Oberflächen der Klasse g wird im Artikel über das grundsätzliche Vieleck gegeben.

File:Sphere gefüllter blauer svg|genus 0

File:Torus Illustration png|genus 1

File:Double Ring-Illustration png|genus 2

File:Triple Ring-Illustration png|genus 3

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In einfacheren Begriffen ist der Wert einer Klasse einer orientable Oberfläche der Zahl von "Löchern" gleich, die es hat.

Non-orientable Oberflächen

Die non-orientable Klasse, demigenus, oder Klasse von Euler eines verbundenen, non-orientable geschlossene Oberfläche ist eine positive ganze Zahl, die die Zahl von einem Bereich beigefügten Quer-Kappen vertritt. Wechselweise kann es für eine geschlossene Oberfläche in Bezug auf die Eigenschaft von Euler χ, über die Beziehung χ = 2  k definiert werden, wo k die non-orientable Klasse ist.

Zum Beispiel:

• Ein projektives Flugzeug hat non-orientable Klasse ein.
• Eine Flasche von Klein hat non-orientable Klasse zwei.

Knoten

Die Klasse eines Knotens K wird als die minimale Klasse aller Oberflächen von Seifert für K definiert. Eine Seifert Oberfläche eines Knotens ist jedoch eine Sammelleitung mit der Grenze die Grenze, die der Knoten ist, d. h.

homeomorphic zum Einheitskreis. Die Klasse solch einer Oberfläche wird definiert, um die Klasse des zwei-Sammelleitungen-zu sein, der durch das Kleben der Einheitsplatte entlang der Grenze erhalten wird.

Handlebody

Die Klasse eines 3-dimensionalen handlebody ist eine ganze Zahl, die die maximale Zahl von Ausschnitten entlang eingebetteten Platten vertritt, ohne die resultierende getrennte Sammelleitung zu machen. Es ist der Zahl von Griffen darauf gleich.

Zum Beispiel:

• Ein Ball hat Klasse-Null.
• Ein fester Ring hat Klasse ein.

Graph-Theorie

Die Klasse eines Graphen ist die minimale ganze Zahl n solch, dass der Graph gezogen werden kann, ohne sich auf einem Bereich mit N-Griffen (d. h. eine orientierte Oberfläche der Klasse n) zu bekreuzigen. So hat ein planarer Graph Klasse 0, weil es ein Bereich ohne Selbstüberfahrt angezogen werden kann.

Die non-orientable Klasse eines Graphen ist die minimale ganze Zahl n solch, dass der Graph gezogen werden kann, ohne sich auf einem Bereich mit n Quer-Kappen zu bekreuzigen (d. h. eine non-orientable Oberfläche (der non-orientable) Klasse n). (Diese Zahl wird auch die Klasse von Euler und den demigenus genannt.)

In der topologischen Graph-Theorie gibt es mehrere Definitionen der Klasse einer Gruppe. Arthur T. White hat das folgende Konzept eingeführt. Die Klasse einer Gruppe ist die minimale Klasse (verbunden, ungeleitet) Graph von Cayley dafür.

Das Graph-Klasse-Problem ist NP-complete.

Algebraische Geometrie

Es gibt zwei zusammenhängende Definitionen der Klasse jedes projektiven algebraischen Schemas X: die arithmetische Klasse und die geometrische Klasse. Wenn X eine algebraische Kurve mit dem Feld der Definition die komplexen Zahlen ist, und wenn X keine einzigartigen Punkte hat, dann stimmen beide dieser Definitionen zu und fallen mit der topologischen Definition zusammen, die auf die Oberfläche von Riemann X (seine Sammelleitung von komplizierten Punkten) angewandt ist. Die Definition der elliptischen Kurve von der algebraischen Geometrie wird nichtsinguläre projektive Kurve der Klasse 1 mit einem gegebenen vernünftigen Punkt darauf verbunden.

Siehe auch

• Graph von Cayley
• Gruppe
• Geometrische Klasse
• Arithmetische Klasse
• Klasse einer multiplicative Folge