Getrennte Mathematik ist die Studie von mathematischen Strukturen, die im Wesentlichen getrennt aber nicht dauernd sind. Im Gegensatz zu reellen Zahlen, die das Eigentum des Veränderns "glatt" haben, ändern sich die Gegenstände, die in der getrennten Mathematik - wie ganze Zahlen, Graphen und Behauptungen in der Logik studiert sind - glatt auf diese Weise nicht, aber haben verschiedene, getrennte Werte. Getrennte Mathematik schließt deshalb Themen in der "dauernden Mathematik" wie Rechnung und Analyse aus. Getrennte Gegenstände können häufig durch ganze Zahlen aufgezählt werden. Mehr formell ist getrennte Mathematik als der Zweig der Mathematik charakterisiert worden, die sich mit zählbaren Sätzen befasst (Sätze, die denselben cardinality wie Teilmengen der natürlichen Zahlen, einschließlich rationaler Zahlen, aber nicht reeller Zahlen haben). Jedoch, dort ist nicht, allgemein abgestimmt, Definition des Begriffes "getrennte Mathematik genau." Tatsächlich wird getrennte Mathematik weniger dadurch beschrieben, was eingeschlossen wird als dadurch, was ausgeschlossen wird: unaufhörlich unterschiedliche Mengen und verwandte Begriffe.

Der Satz von in der getrennten Mathematik studierten Gegenständen kann begrenzt oder unendlich sein. Begrenzte Mathematik des Begriffes wird manchmal auf Teile des Feldes der getrennten Mathematik angewandt, die sich mit begrenzten Sätzen, besonders jene für das Geschäft wichtigen Gebiete befasst.

Die Forschung in der getrennten Mathematik hat in der letzten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts teilweise wegen der Entwicklung von Digitalcomputern zugenommen, die in getrennten Schritten funktionieren und Daten in getrennten Bit versorgen. Konzepte und Notationen von der getrennten Mathematik sind im Studieren und Beschreiben von Gegenständen und Problemen in Zweigen der Informatik wie Computeralgorithmen nützlich, Programmiersprachen, Geheimschrift, haben Lehrsatz-Beweis und Softwareentwicklung automatisiert. Umgekehrt sind Computerdurchführungen in der Verwendung von Ideen von der getrennten Mathematik bis wirkliche Probleme, solcher als in der Operationsforschung bedeutend.

Obwohl die Hauptgegenstände der Studie in der getrennten Mathematik getrennte Gegenstände sind, werden analytische Methoden von der dauernden Mathematik häufig ebenso verwendet.

Großartige Herausforderungen, Vergangenheit und Gegenwart

Die Geschichte der getrennten Mathematik ist mit mehreren schwierigen Problemen verbunden gewesen, die Aufmerksamkeit innerhalb von Gebieten des Feldes gerichtet haben. In der Graph-Theorie wurde viel Forschung durch Versuche motiviert, den vier Farbenlehrsatz zu beweisen, hat zuerst 1852, aber nicht festgesetzt hat sich bis 1976 (durch Kenneth Appel und Wolfgang Haken, mit der wesentlichen Computerhilfe) erwiesen.

In der Logik sollte das zweite Problem auf der Liste von David Hilbert von offenen 1900 aufgeworfenen Problemen beweisen, dass die Axiome der Arithmetik entsprechen. Der zweite Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel, bewiesen 1931, hat gezeigt, dass das - mindestens nicht innerhalb der Arithmetik selbst nicht möglich war. Das zehnte Problem von Hilbert war zu bestimmen, ob eine gegebene polynomische Gleichung von Diophantine mit Koeffizienten der ganzen Zahl eine Lösung der ganzen Zahl hat. 1970 hat Yuri Matiyasevich bewiesen, dass das nicht getan werden konnte.

Das Bedürfnis, deutsche Codes im Zweiten Weltkrieg zu brechen, hat zu Fortschritten in der Geheimschrift und theoretischen Informatik mit dem ersten programmierbaren elektronischen Digitalcomputer geführt, der an Englands Bletchley Park wird entwickelt. Zur gleichen Zeit haben militärische Voraussetzungen Fortschritte in der Operationsforschung motiviert. Der Kalte Krieg hat bedeutet, dass Geheimschrift wichtig mit grundsätzlichen Fortschritten wie Geheimschrift des öffentlichen Schlüssels geblieben ist, die in den folgenden Jahrzehnten wird entwickelt. Operationsforschung ist wichtig als ein Werkzeug im Geschäfts- und Projektmanagement mit der kritischen Pfad-Methode geblieben, die in den 1950er Jahren wird entwickelt. Die Fernmeldeindustrie hat auch Fortschritte in der getrennten Mathematik, besonders in der Graph-Theorie und Informationstheorie motiviert. Die formelle Überprüfung von Behauptungen in der Logik ist für die Softwareentwicklung von sicherheitskritischen Systemen notwendig gewesen, und geht im automatisierten Lehrsatz vorwärts, der sich erweist, sind durch dieses Bedürfnis gesteuert worden.

Rechenbetonte Geometrie ist ein wichtiger Teil der Computergrafik gewesen, die in moderne Videospiele und computergestützte Designwerkzeuge vereinigt ist.

Mehrere Felder von getrennter Mathematik, besonders theoretischer Informatik, Graph-Theorie, und combinatorics, sind im Wenden des Herausforderns bioinformatics Probleme wichtig, die mit dem Verstehen des Baums des Lebens vereinigt sind.

Zurzeit ist eines der berühmtesten offenen Probleme in der theoretischen Informatik der P = NP Problem, das die Beziehung zwischen den Kompliziertheitsklassen P und NP einschließt. Das Tonmathematik-Institut hat einen US-Dollar-Preis von $ 1 Million für den ersten richtigen Beweis zusammen mit Preisen für sechs andere mathematische Probleme angeboten.

Themen in der getrennten Mathematik

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik schließt Gebiete der getrennten für die Computerwissenschaft wichtigen Mathematik ein. Es zieht schwer Graph-Theorie und Logik an. Eingeschlossen innerhalb der theoretischen Informatik ist die Studie von Algorithmen, um mathematische Ergebnisse zu schätzen. Berechenbarkeit studiert, was im Prinzip geschätzt werden kann, und nahe Bande zur Logik hat, während Kompliziertheit die von der Berechnung genommene Zeit studiert. Automaten-Theorie und formelle Sprachtheorie sind nah mit der Berechenbarkeit verbunden. Netze von Petri und Prozess-Algebra sind an Mustercomputersysteme gewöhnt, und Methoden von der getrennten Mathematik werden im Analysieren von VLSI elektronische Stromkreise verwendet. Rechenbetonte Geometrie wendet Algorithmen auf geometrische Probleme an, während Computerbildanalyse sie auf Darstellungen von Images anwendet. Theoretische Informatik schließt auch die Studie von verschiedenen dauernden rechenbetonten Themen ein.

Informationstheorie

Informationstheorie schließt die Quantifizierung der Information ein. Nah verbunden codiert Theorie, die verwendet wird, um effiziente und zuverlässige Datenübertragung und Lagerungsmethoden zu entwerfen. Informationstheorie schließt auch dauernde Themen ein wie: analoge Signale, das Analogcodieren, die analoge Verschlüsselung.

Logik

Logik ist die Studie der Grundsätze des gültigen Denkens und der Schlussfolgerung, sowie von der Konsistenz, Stichhaltigkeit und Vollständigkeit. Zum Beispiel in den meisten Systemen der Logik (aber nicht in der intuitionistic Logik) ist das Gesetz von Peirce (((PQ) P) P) ein Lehrsatz. Für die klassische Logik kann es mit einer Wahrheitstabelle leicht nachgeprüft werden. Die Studie des mathematischen Beweises ist in der Logik besonders wichtig, und hat Anwendungen auf den automatisierten Lehrsatz-Beweis und die formelle Überprüfung der Software.

Logische Formeln sind getrennte Strukturen, wie Beweise sind, die begrenzte Bäume bilden oder mehr allgemein acyclic Graph-Strukturen (mit jedem Interferenzschritt geleitet haben, der einen oder mehr Propositionszweige verbindet, um einen einzelnen Beschluss zu geben). Die Wahrheitswerte logischer Formeln bilden gewöhnlich einen begrenzten Satz, der allgemein auf zwei Werte eingeschränkt ist: Wahr und falsch, aber Logik kann auch, z.B, Fuzzy-Logik dauernd geschätzt werden. Konzepte wie unendliche Probebäume oder unendliche Abstammungsbäume sind auch, z.B infinitary Logik studiert worden.

Mengenlehre

Mengenlehre ist der Zweig der Mathematik, die Sätze studiert, die Sammlungen von Gegenständen, solcher als {blau, weiß, rot} oder der (unendliche) Satz aller Primzahlen sind. Teilweise bestellte Sätze und Sätze mit anderen Beziehungen haben Anwendungen in mehreren Gebieten.

In der getrennten Mathematik sind zählbare Sätze (einschließlich begrenzter Sätze) der Hauptfokus. Der Anfang der Mengenlehre als ein Zweig der Mathematik wird gewöhnlich durch die Arbeit von Georg Cantor gekennzeichnet, die zwischen verschiedenen Arten des unendlichen Satzes unterscheidet, der durch die Studie der trigonometrischen Reihe motiviert ist, und die weitere Entwicklung der Theorie von unendlichen Sätzen ist außerhalb des Spielraums der getrennten Mathematik. Tatsächlich macht die zeitgenössische Arbeit in der beschreibenden Mengenlehre umfassenden Gebrauch der traditionellen dauernden Mathematik.

Combinatorics

Combinatorics studiert den Weg, auf den getrennte Strukturen verbunden oder eingeordnet werden können.

Enumerative combinatorics konzentriert sich auf das Zählen der Zahl von bestimmten kombinatorischen Gegenständen - z.B der twelvefold Weg stellt ein vereinigtes Fachwerk zur Verfügung, um Versetzungen, Kombinationen und Teilungen aufzuzählen.

Analytischer combinatorics betrifft die Enumeration (d. h., die Zahl bestimmend), von kombinatorischen Struktur-Verwenden-Werkzeugen von der komplizierten Analyse und Wahrscheinlichkeitstheorie. Im Vergleich mit enumerative combinatorics, der ausführliche kombinatorische Formeln und erzeugende Funktionen verwendet, die Ergebnisse zu beschreiben, zielt analytischer combinatorics darauf, asymptotische Formeln zu erhalten.

Designtheorie ist eine Studie von kombinatorischen Designs, die Sammlungen von Teilmengen mit bestimmten Kreuzungseigenschaften sind.

Teilungstheorie studiert verschiedene Enumeration und asymptotische Probleme, die mit Teilungen der ganzen Zahl verbunden sind, und ist nah mit der Q-Reihe, den speziellen Funktionen und den orthogonalen Polynomen verbunden. Ursprünglich ein Teil der Zahlentheorie und Analyse, Teilungstheorie wird jetzt als ein Teil von combinatorics oder einem unabhängigen Feld betrachtet.

Ordnungstheorie ist die Studie teilweise bestellter Sätze, sowohl begrenzt als auch unendlich.

Graph-Theorie

Graph-Theorie, die Studie von Graphen und Netzen, wird häufig als ein Teil von combinatorics betrachtet, aber ist groß genug und verschieden genug mit seiner eigenen Art von Problemen gewachsen, um als ein Thema in seinem eigenen Recht betrachtet zu werden. Graphen sind einer der Hauptgegenstände der Studie in der getrennten Mathematik. Sie sind unter den allgegenwärtigsten Modellen sowohl von natürlichen als auch von Mensch-gemachten Strukturen. Sie können viele Typen von Beziehungen modellieren und Dynamik in physischen, biologischen und sozialen Systemen bearbeiten. In der Informatik können sie Netze der Kommunikation, Datenorganisation, rechenbetonten Geräte, des Flusses der Berechnung usw. vertreten. In der Mathematik sind sie in der Geometrie und den bestimmten Teilen der Topologie, z.B Knoten-Theorie nützlich. Algebraische Graph-Theorie hat nahe Verbindungen mit der Gruppentheorie. Es gibt auch dauernde Graphen, jedoch größtenteils Forschung in Graph-Theorie-Fällen innerhalb des Gebiets der getrennten Mathematik.

Wahrscheinlichkeit

Getrennte Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit Ereignissen, die in zählbaren Beispielräumen vorkommen. Zum Beispiel umfassen Beobachtungen der Zählung wie die Zahlen von Vögeln in Herden nur Werte der natürlichen Zahl {0, 1, 2...}. Andererseits umfassen dauernde Beobachtungen wie die Gewichte von Vögeln Werte der reellen Zahl und würden normalerweise durch einen dauernden Wahrscheinlichkeitsvertrieb solcher als das normale modelliert. Getrennter Wahrscheinlichkeitsvertrieb kann verwendet werden, um dauernden und umgekehrt näher zu kommen. Für hoch gezwungene Situationen wie werfende Würfel oder Experimente mit Decks von Karten, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnend, ist grundsätzlich enumerative combinatorics.

Zahlentheorie

Zahlentheorie ist mit den Eigenschaften von Zahlen im Allgemeinen, besonders ganze Zahlen beschäftigt. Es hat Anwendungen auf die Geheimschrift, cryptanalysis, und cryptology, besonders hinsichtlich der Modularithmetik, diophantine Gleichungen, geradlinige und quadratische Kongruenzen, Primzahlen und Primality-Prüfung. Andere getrennte Aspekte der Zahlentheorie schließen Geometrie von Zahlen ein. In der analytischen Zahlentheorie werden Techniken von der dauernden Mathematik auch verwendet. Themen, die getrennte Gegenstände übertreffen, schließen transzendente Zahlen, diophantine Annäherung, p-adic Analyse und Funktionsfelder ein.

Algebra

Algebraische Strukturen kommen sowohl als getrennte Beispiele als auch als dauernde Beispiele vor. Getrennte Algebra schließen ein: Boolean-Algebra, die in Logiktoren und Programmierung verwendet ist; Verwandtschaftsalgebra in Datenbanken verwendet; getrennte und begrenzte Versionen von Gruppen, Ringen und Feldern sind in der algebraischen Codiertheorie wichtig; getrennte Halbgruppen und monoids erscheinen in der Theorie von formellen Sprachen.

Rechnung von begrenzten Unterschieden, getrennte Rechnung oder getrennte Analyse

Eine auf einem Zwischenraum der ganzen Zahlen definierte Funktion wird gewöhnlich eine Folge genannt. Eine Folge konnte eine begrenzte Folge von einer Datenquelle oder eine unendliche Folge von einem getrennten dynamischen System sein. Solch eine getrennte Funktion konnte ausführlich durch eine Liste definiert werden (wenn sein Gebiet begrenzt ist), oder durch eine Formel für seinen allgemeinen Begriff, oder sie implizit durch eine Wiederauftreten-Beziehung oder Unterschied-Gleichung gegeben werden konnte. Unterschied-Gleichungen sind Differenzialgleichungen ähnlich, aber ersetzen Unterscheidung durch die Einnahme des Unterschieds zwischen angrenzenden Begriffen; sie können verwendet, um Differenzialgleichungen näher zu kommen, oder (öfter) in ihrem eigenen Recht studiert werden. Viele Fragen und Methoden bezüglich Differenzialgleichungen haben Kopien für Unterschied-Gleichungen. Zum Beispiel, wo dort integriert sind, verwandelt sich in der harmonischen Analyse, um dauernde Funktionen oder analoge Signale zu studieren, dort sind getrennt verwandelt sich für getrennte Funktionen oder Digitalsignale. Sowie die getrennten metrischen dort sind allgemeinere getrennte oder begrenzte metrische Räume und begrenzte topologische Räume.

Geometrie

Getrennte Geometrie und kombinatorische Geometrie sind über kombinatorische Eigenschaften von getrennten Sammlungen von geometrischen Gegenständen. Ein langjähriges Thema in der getrennten Geometrie deckt des Flugzeugs mit Ziegeln. Rechenbetonte Geometrie wendet Algorithmen auf geometrische Probleme an.

Topologie

Obwohl Topologie das Feld der Mathematik ist, die formalisiert und den intuitiven Begriff der "dauernden Deformierung" von Gegenständen verallgemeinert, verursacht es viele getrennte Themen; das kann teilweise dem Fokus auf topologischen invariants zugeschrieben werden, die selbst gewöhnlich getrennte Werte nehmen.

Sieh kombinatorische Topologie, topologische Graph-Theorie, topologischen combinatorics, rechenbetonte Topologie, getrennten topologischen Raum, begrenzten topologischen Raum, Topologie (Chemie).

Operationsforschung

Operationsforschung stellt Techniken zur Verfügung, um praktische Probleme im Geschäft und den anderen Feldern — Probleme wie das Zuteilen von Mitteln zu beheben, Gewinn oder Terminplanung von Projekttätigkeiten zu maximieren, um Gefahr zu minimieren. Operationsforschungstechniken schließen geradlinige Programmierung und andere Gebiete der Optimierung, Schlange stehenden Theorie ein, Theorie, Netztheorie planend. Operationsforschung schließt auch dauernde Themen wie dauernd-maliger Prozess von Markov, dauernd-malige Martingale, Prozessoptimierung und dauernde und hybride Steuerungstheorie ein.

Spieltheorie, Entscheidungstheorie, Dienstprogramm-Theorie, soziale auserlesene Theorie

Entscheidungstheorie ist mit dem Identifizieren der Werte, Unklarheiten und anderen Probleme beschäftigt, die in einer gegebenen Entscheidung, seiner Vernunft und der resultierenden optimalen Entscheidung wichtig sind.

Dienstprogramm-Theorie ist über Maßnahmen der Verhältniswirtschaftsbefriedigung von, oder Erwünschtheit, Verbrauch von verschiedenen Waren und Dienstleistungen.

Soziale auserlesene Theorie ist über die Abstimmung. Eine mehr Rätsel-basierte Annäherung an die Abstimmung ist Stimmzettel-Theorie.

Spieltheorie befasst sich mit Situationen, wo Erfolg von den Wahlen von anderen abhängt, der Auswahl des besten Kurses der Handlung komplizierter macht. Es gibt sogar dauernde Spiele, sieht Differenzialspiel. Themen schließen Versteigerungstheorie und schöne Abteilung ein.

Discretization

Discretization betrifft den Prozess, dauernde Modelle und Gleichungen in getrennte Kopien häufig zu den Zwecken zu übertragen, Berechnungen leichter durch das Verwenden von Annäherungen zu machen. Numerische Analyse stellt ein wichtiges Beispiel zur Verfügung.

Getrennte Entsprechungen der dauernden Mathematik

Es gibt viele Konzepte in der dauernden Mathematik, die getrennte Versionen, wie getrennte Rechnung, getrennter Wahrscheinlichkeitsvertrieb haben, verwandelt sich getrennter Fourier, getrennte Geometrie, getrennte Logarithmen, getrennte Differenzialgeometrie, getrennte Außenrechnung, getrennte Morsezeichen-Theorie, Unterschied-Gleichungen, getrennte dynamische Systeme und getrennte Vektor-Maßnahmen.

In der angewandten Mathematik ist das getrennte Modellieren die getrennte Entsprechung des dauernden Modellierens. Im getrennten Modellieren sind getrennte Formeln zu Daten passend. Eine übliche Methodik in dieser Form des Modellierens soll Wiederauftreten-Beziehungen verwenden.

Hybride getrennte und dauernde Mathematik

Die Rechnung des zeitlichen Rahmens ist eine Vereinigung der Theorie von Unterschied-Gleichungen mit dieser von Differenzialgleichungen, die Anwendungen auf Felder hat, die das gleichzeitige Modellieren von getrenntem und dauerndem verlangen

Siehe auch

• Umriss der getrennten Mathematik
• CyberChase, eine Show, die Getrennte Mathematik Kindern unterrichtet

Weiterführende Literatur

• Norman L. Biggs, Getrennte Mathematik 2. Hrsg.-Presse der Universität Oxford. Internationale Standardbuchnummer 0-19-850717-8 und dazugehörige Website einschließlich Fragen zusammen mit Lösungen.
• Ronald Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, konkrete Mathematik
• Donald E. Knuth, Die Kunst der internationalen Computerprogrammierstandardbuchnummer 978-0321751041.
• Kenneth H. Rosen, Handbuch der Getrennten und Kombinatorischen Mathematik CRC Presse. Internationale Standardbuchnummer 0-8493-0149-1.
• Richard Johnsonbaugh, Getrennte Mathematik 6. Hrsg. Macmillan. Internationale Standardbuchnummer 0-13-045803-1 und dazugehörige Website.
• John Dwyer & Suzy Jagger, Getrennte Mathematik für das Geschäft & die Computerwissenschaft, die 1. internationale Hrsg.-2010-Standardbuchnummer 978-1907934001.
• Kenneth H. Rosen, Getrennte Mathematik und Seine Anwendungen 6. Hrsg. McGraw Hill. Internationale Standardbuchnummer 0-07-288008-2 und dazugehörige Website.
• Ralph P. Grimaldi, Getrennte und Kombinatorische Mathematik: Eine Angewandte Einführung 5. Hrsg. Addison Wesley. Internationale Standardbuchnummer 0-20-172634-3
• Susanna S. Epp, Getrennte Mathematik mit Anwendungen Brooks Cole. Internationale Standardbuchnummer 978-0495391326
• Jiří Matoušek & Jaroslav Nešetřil, Einladung zur Getrennten Mathematik, OUP, internationalen Standardbuchnummer 978-0198502081.
• Mathematik-Archive, Getrennte Mathematik verbindet sich zu Auszügen, Tutorenkursen, Programmen usw.
• Andrew Simpson, Getrennte Mathematik durch das Beispiel McGraw Hill. Internationale Standardbuchnummer 0-07-709840-4