Das Postulat von Bertrand (wirklich ein Lehrsatz) stellt dass fest, wenn n> 3 eine ganze Zahl ist, dann dort immer besteht mindestens eine Primzahl p mit n

Seine Vermutung wurde von Tschebyscheff (1821-1894) 1850 völlig bewiesen, und so wird das Postulat auch den Lehrsatz von Bertrand-Chebyshev oder Tschebyscheffs Lehrsatz genannt. Ramanujan (1887-1920) fungieren verwendete Eigenschaften des Gammas, um einen einfacheren Beweis zu geben, aus dem das Konzept der Blüte von Ramanujan später entstehen würde, und Erdős (1913-1996) 1932 einen einfacheren Beweis mit der Funktion von Tschebyscheff ϑ, definiert als veröffentlicht hat:

wo p  x Blüte und die binomischen Koeffizienten durchgeht. Sieh Beweis des Postulates von Bertrand für die Details.

Der Lehrsatz von Sylvester

Das Postulat von Bertrand wurde für Anwendungen auf Versetzungsgruppen vorgeschlagen. Sylvester (1814-1897) hat es mit der Behauptung verallgemeinert: Das Produkt von k aufeinander folgenden ganzen Zahlen, die größer sind als k, ist durch eine Blüte teilbar, die größer ist als k.

Erdős's Lehrsätze

Erdős hat bewiesen, dass für jede positive ganze Zahl k es eine natürliche Zahl N solch dass für den ganzen n> N gibt, gibt es mindestens k Blüte zwischen n und 2n. Eine gleichwertige Behauptung war früher von Ramanujan bewiesen worden (sieh Ramanujan erst).

Der Primzahl-Lehrsatz (PNT) deutet an, dass die Zahl der Blüte bis zu x grob x/log (x), so ist, wenn wir x durch 2x dann ersetzen, sehen wir, dass die Zahl der Blüte bis zu 2x asymptotisch zweimal die Zahl der Blüte bis zu x ist (die Begriffe Klotz (2x) und Klotz (x) asymptotisch gleichwertig sind). Deshalb ist die Zahl der Blüte zwischen n und 2n grob n/log (n), wenn n groß ist, und also insbesondere es noch viele Blüte in diesem Zwischenraum gibt, als es durch das Postulat von Bertrand versichert wird. So ist das Postulat von Bertrand verhältnismäßig schwächer als der PNT. Aber PNT ist ein tiefer Lehrsatz, während das Postulat von Bertrand mehr denkwürdig festgesetzt und leichter bewiesen werden kann, und auch genaue Ansprüche darüber erhebt, was für kleine Werte von n geschieht. (Außerdem wurde Tschebyscheffs Lehrsatz vor dem PNT bewiesen und historisches Interesse auch.)

Das ähnliche und noch fragt die Vermutung des ungelösten Legendres, ob für jeden n> 1 es einen ersten p, solch dass n gibt. Wieder erwarten wir, dass es nicht nur eine, aber viele Blüte zwischen n geben wird und (n + 1), aber in diesem Fall hilft der PNT nicht: Die Zahl der Blüte bis zu x ist zu x/log (x) asymptotisch, während die Zahl der Blüte bis zu (x + 1) zu (x + 1) / Klotz asymptotisch ist ((x + 1)), der zur Schätzung auf der Blüte bis zu x asymptotisch ist. So verschieden vom vorherigen Fall von x und 2x bekommen wir keinen Beweis der Vermutung von Legendre sogar für den ganzen großen n. Fehlerschätzungen auf dem PNT sind nicht (tatsächlich, kann nicht sein) genügend, um die Existenz von sogar einem erstem in diesem Zwischenraum zu beweisen.

Bessere Ergebnisse

Es folgt aus dem Primzahl-Lehrsatz, dass für jeden echten k> 1, dort ein solcher n besteht, dass es immer eine Blüte zwischen n und kn für den ganzen n> n gibt: Es, kann zum Beispiel, das gezeigt werden

der andeutet, dass π (kn)  π (n) zur Unendlichkeit geht (und insbesondere größer ist als 1 für genug großen n).

Nichtasymptotische Grenzen sind auch gewesen worden hat sich erwiesen. 1952 hat Jitsuro Nagura bewiesen, dass für n  25 es immer eine Blüte zwischen n und (1 + ) n gibt.

1976 hat Lowell Schoenfeld gezeigt, dass für n  2010760 es immer eine Blüte zwischen n und (1 + ) n gibt. 1998 hat Pierre Dusart das Ergebnis in seiner Doktorthese verbessert, zeigend, dass für k  463 p  (1 + ) p, und insbesondere für x  3275, dort eine Primzahl zwischen x und (1 + ) x besteht. 2010 hat er sich erwiesen, dass für x  396738 es mindestens einen gibt, die zwischen x und (1 + ) x erst sind.

Generalisationen des Postulates von Bertrand sind auch durch elementare Methoden erhalten worden. (Im folgenden bohrt n den Satz von positiven ganzen Zahlen durch.) 2006 hat M El Bachraoui bewiesen, dass dort eine Blüte zwischen 2n und 3n besteht.. 2011 hat Andy Loo bewiesen, dass dort eine Blüte zwischen 3n und 4n besteht. Außerdem hat er bewiesen, dass weil n zur Unendlichkeit neigt, geht die Zahl der Blüte zwischen 3n und 4n auch zur Unendlichkeit, dadurch ERDőS Ergebnisse und Ramanujans verallgemeinernd (sieh die Abteilung auf Erdős' Lehrsätzen oben). Keiner dieser Beweise verlangt den Gebrauch von tiefen analytischen Ergebnissen.

Folgen

• Die Folge der Blüte, zusammen mit 1, ist eine ganze Folge; jede positive ganze Zahl kann als eine Summe der Blüte (und 1) geschrieben werden, jeden höchstens einmal verwendend.
• Die Nummer 1 ist die einzige ganze Zahl, die eine harmonische Zahl ist.

Siehe auch

• Die Vermutung von Oppermann

Referenzen

Bibliografie

• Chris Caldwell, das Postulat von Bertrand am Hauptseitenwörterverzeichnis.