In der Mathematik ist ein ganzes Gitter ein teilweise bestellter Satz, in dem alle Teilmengen sowohl ein Supremum haben (schließen sich an) als auch ein infimum (treffen sich). Ganze Gitter erscheinen in vielen Anwendungen in der Mathematik und Informatik. Ein spezielles Beispiel von Gittern seiend, werden sie sowohl in der Ordnungstheorie als auch in universalen Algebra studiert.

Ganze Gitter müssen mit ganzen teilweisen Ordnungen (cpos) nicht verwirrt sein, die eine ausschließlich allgemeinere Klasse teilweise bestellter Sätze einsetzen. Spezifischere ganze Gitter sind ganze Algebra von Boolean und vollenden Algebra von Heyting (Schauplätze).

Formelle Definition

Ein teilweise bestellter Satz (L, ) ist ein ganzes Gitter, wenn jede Teilmenge L beide ein größter tiefer gebunden (der infimum, auch genannt das Entsprechen) und ein am wenigsten oberer gebunden (das Supremum, auch genannt die Verbindungslinie) in (L, ) hat.

Das Entsprechen wird durch, und die Verbindungslinie dadurch angezeigt.

Bemerken Sie, dass im speziellen Fall, wo A der leere Satz ist, das Entsprechen von A das größte Element von L sein wird. Ebenfalls gibt die Verbindungslinie des leeren Satzes kleinstes Element nach. Da die Definition auch versichert, dass sich die Existenz der Dualzahl trifft und sich anschließt, bilden ganze Gitter wirklich so eine spezielle Klasse von begrenzten Gittern.

Mehr Implikationen der obengenannten Definition werden im Artikel über Vollständigkeitseigenschaften in der Ordnungstheorie besprochen.

Ganze Halbgitter

In der Ordnungstheorie, willkürlich trifft sich kann in Bezug auf willkürliche Verbindungslinien und umgekehrt ausgedrückt werden (für Details, sieh Vollständigkeit (Ordnungstheorie)). Tatsächlich bedeutet das, dass es genügend ist, die Existenz zu verlangen, entweder von allem trifft sich, oder alles schließt sich an, um die Klasse aller ganzen Gitter zu erhalten.

Demzufolge gebrauchen einige Autoren die Begriffe ganzes Entsprechen-Halbgitter oder vollenden Anschließen-Halbgitter als eine andere Weise sich zu beziehen, um Gitter zu vollenden. Obwohl ähnlich, auf Gegenständen haben die Begriffe verschiedene Begriffe des Homomorphismus zur Folge, wie in unter der Abteilung auf morphisms erklärt wird.

Andererseits haben einige Autoren keinen Nutzen für diese Unterscheidung von morphisms (besonders, da die erscheinenden Konzepte des "ganzen Halbgitters morphisms" ebenso allgemein angegeben werden können). Folglich sind ganze Entsprechen-Halbgitter auch als jene Entsprechen-Halbgitter definiert worden, die auch ganze teilweise Ordnungen sind. Dieses Konzept ist wohl der "am meisten ganze" Begriff eines Entsprechen-Halbgitters, das noch nicht ein Gitter ist (tatsächlich, kann nur das Spitzenelement vermisst werden). Diese Diskussion wird auch im Artikel über Halbgitter gefunden.

Ganze Subgitter

Eine Subgitter-M eines ganzen Gitters L wird ein ganzes Subgitter von L genannt, wenn für jede Teilmenge der M die Elemente A und A, wie definiert, in L, wirklich in der M sind.

Wenn die obengenannte Voraussetzung vermindert wird, um nur nichtleer zu verlangen, treffen sich, und schließt sich an, um in L, das Subgitter zu sein, M wird ein geschlossenes Subgitter der M genannt.

Beispiele

• Der Macht-Satz eines gegebenen Satzes, der durch die Einschließung bestellt ist. Das Supremum wird von der Vereinigung und dem infimum durch die Kreuzung von Teilmengen gegeben.
• Der Einheitszwischenraum [0,1] und die verlängerte Linie der reellen Zahl, mit dem vertrauten Gesamtbezug und dem gewöhnlichen suprema und infima. Tatsächlich ist ein völlig bestellter Satz (mit seiner Ordnungstopologie) als ein topologischer Raum kompakt, wenn es als ein Gitter abgeschlossen ist.
• Die natürlichen Zahlen, die durch die Teilbarkeit bestellt sind. Kleinstes Element dieses Gitters ist die Nummer 1, da es jede andere Zahl teilt. Vielleicht überraschend ist das größte Element 0, weil es durch jede andere Zahl geteilt werden kann. Das Supremum von begrenzten Sätzen wird durch kleinstes Gemeinsames Vielfaches und den infimum durch den größten allgemeinen Teiler gegeben. Für unendliche Sätze wird das Supremum immer 0 sein, während der infimum gut größer sein kann als 1. Zum Beispiel hat der Satz aller geraden Zahlen 2 als der größte allgemeine Teiler. Wenn 0 von dieser Struktur entfernt wird, bleibt es ein Gitter, aber hört auf, abgeschlossen zu sein.
• Die Untergruppen jeder gegebenen Gruppe unter der Einschließung. (Während der infimum hier die übliche mit dem Satz theoretische Kreuzung ist, ist das Supremum von einer Reihe von Untergruppen die Untergruppe, die von der mit dem Satz theoretischen Vereinigung der Untergruppen, nicht der mit dem Satz theoretischen Vereinigung selbst erzeugt ist.), Wenn e die Identität von G ist, dann ist die triviale Gruppe {e} die minimale Untergruppe von G, während die maximale Untergruppe die Gruppe G selbst ist.
• Die Untermodule eines Moduls, das durch die Einschließung bestellt ist. Das Supremum wird durch die Summe von Untermodulen und dem infimum durch die Kreuzung gegeben.
• Die Ideale eines Rings, der durch die Einschließung bestellt ist. Das Supremum wird durch die Summe von Idealen und dem infimum durch die Kreuzung gegeben.
• Die offenen Sätze eines topologischen Raums, der durch die Einschließung bestellt ist. Das Supremum wird von der Vereinigung von offenen Sätzen und dem infimum durch das Interieur der Kreuzung gegeben.
• Die konvexen Teilmengen eines echten oder komplizierten Vektorraums, der durch die Einschließung bestellt ist. Der infimum wird durch die Kreuzung von konvexen Sätzen und dem Supremum durch den konvexen Rumpf der Vereinigung gegeben.
• Die Topologien auf einem Satz, der durch die Einschließung bestellt ist. Der infimum wird durch die Kreuzung von Topologien und das Supremum durch die von der Vereinigung von Topologien erzeugte Topologie gegeben.
• Das Gitter aller transitiven Beziehungen auf einem Satz.
• Das Gitter aller Submehrsätze eines Mehrsatzes.
• Das Gitter aller Gleichwertigkeitsbeziehungen auf einem Satz; wie man betrachtet, ist die Gleichwertigkeitsbeziehung ~ kleiner (oder "feiner") als , wenn x~y immer xy einbezieht.
• Jedes begrenzte Gitter ist trivial ein ganzes Gitter.

Morphisms von ganzen Gittern

Die traditionellen morphisms zwischen ganzen Gittern sind der ganze Homomorphismus (oder vollenden Sie Gitter-Homomorphismus). Diese werden als Funktionen charakterisiert, die alles bewahren, schließt sich an, und alles trifft sich. Ausführlich bedeutet das dass eine Funktion f: LM zwischen zwei ganzen Gittern L und M ist ein ganzer Homomorphismus wenn

• und

für alle Teilmengen L. Solche Funktionen sind automatisch monotonisch, aber die Bedingung, ein ganzer Homomorphismus zu sein, ist tatsächlich viel spezifischer. Deshalb kann es nützlich sein, schwächere Begriffe von morphisms zu denken, die nur erforderlich sind zu bewahren, trifft sich alles, oder alles schließt sich an, die tatsächlich inequivalent Bedingungen sind. Dieser Begriff kann als ein Homomorphismus von ganzen Entsprechen-Halbgittern oder ganzen Anschließen-Halbgittern beziehungsweise betrachtet werden.

Außerdem morphisms, die alles bewahren, werden Verbindungslinien als tiefer adjoint ein Teil einer einzigartigen Verbindung von Galois gleichwertig charakterisiert. Jeder von diesen bestimmt einen einzigartigen oberen adjoint in der umgekehrten Richtung, die bewahrt, trifft sich alles. Folglich ganze Gitter mit dem ganzen Halbgitter denkend, läuft morphisms auf das Betrachten von Verbindungen von Galois als morphisms hinaus. Das gibt auch die Scharfsinnigkeit nach, dass die eingeführten morphisms wirklich gerade zwei verschiedene Kategorien von ganzen Gittern grundsätzlich beschreiben: Ein mit dem ganzen Homomorphismus und ein mit entsprechen bewahrenden Funktionen (oberer adjoints), Doppel-zu demjenigen mit dem anschließen bewahrenden mappings (senken adjoints).

Freier Aufbau und Vollziehung

Freie "ganze Halbgitter"

Wie gewöhnlich hängt der Aufbau von freien Gegenständen von der gewählten Klasse von morphisms ab. Lassen Sie uns zuerst Funktionen denken, die alles bewahren, schließt sich (d. h. tiefer adjoints Verbindungen von Galois) an, da dieser Fall einfacher ist als die Situation für den ganzen Homomorphismus. Mit der oben erwähnten Fachsprache konnte das ein freies ganzes Anschließen-Halbgitter genannt werden.

Mit der Standarddefinition von der universalen Algebra ist ein freies ganzes Gitter über ein Erzeugen untergegangen S ist ein ganzes Gitter L zusammen mit einer Funktion i:SL, solch, dass jede Funktion f von S bis den zu Grunde liegenden Satz von einem ganzen Gitter M factored einzigartig durch einen morphism f ° von L bis M sein kann. Festgesetzt verschieden für jedes Element s S finden wir, dass f (s) = f ° (ich (s)), und dass f ° der einzige morphism mit diesem Eigentum ist. Diese Bedingungen belaufen sich grundsätzlich auf den Ausspruch, dass es einen functor von der Kategorie von Sätzen und Funktionen zur Kategorie von ganzen Gittern und anschließen bewahrenden Funktionen gibt, dem adjoint zum vergesslichen functor von ganzen Gittern bis ihre zu Grunde liegenden Sätze verlassen wird.

Freie ganze Gitter in diesem Sinn können sehr leicht gebaut werden: Das ganze Gitter, das durch einen Satz S erzeugt ist, ist gerade der powerset 2, d. h. der Satz aller Teilmengen von S, der durch die Teilmenge-Einschließung bestellt ist. Die erforderliche Einheit i:S2 stellt jedes Element s S zum Singleton-Satz-{s} kartografisch dar. In Anbetracht eines kartografisch darstellenden f als oben wird die Funktion f °:2M durch definiert

:f ° (X) = {f (s) |s in X}.

Es ist offensichtlich, dass f ° Vereinigungen in suprema umgestaltet und so sich Konserven anschließen.

Unsere Rücksichten geben auch einen freien Aufbau für morphisms nach, die wirklich bewahren, trifft sich statt Verbindungslinien (d. h. oberer adjoints von Verbindungen von Galois). Tatsächlich haben wir bloß zu dualize, was oben gesagt wurde: Freie Gegenstände werden als powersets bestellt durch die Rückeinschließung, solch gegeben, dass gesetzte Vereinigung die entsprechen Operation zur Verfügung stellt, und die Funktion f ° in Bezug darauf definiert wird, trifft sich statt Verbindungslinien. Das Ergebnis dieses Aufbaus konnte ein freies ganzes Entsprechen-Halbgitter genannt werden. Man sollte auch bemerken, wie diese freien Aufbauten diejenigen erweitern, die verwendet werden, um freie Halbgitter zu erhalten, wo wir nur begrenzte Sätze denken müssen.

Freie ganze Gitter

Die Situation für ganze Gitter mit dem ganzen Homomorphismus ist offensichtlich komplizierter. Tatsächlich bestehen freie ganze Gitter allgemein nicht. Natürlich kann man ein Wortproblem formulieren, das demjenigen für den Fall von Gittern ähnlich ist, aber die Sammlung aller möglichen Wörter (oder "Begriffe") würde in diesem Fall eine richtige Klasse sein, weil sich willkürlich trifft und sich anschließt, umfassen Operationen wegen Argument-Sätze jedes cardinality.

Dieses Eigentum ist an sich nicht ein Problem: Als der Fall von freien ganzen Halbgittern über Shows kann es gut sein, dass die Lösung des Wortproblems nur eine Reihe von Gleichwertigkeitsklassen verlässt. Mit anderen Worten ist es möglich, dass richtige Klassen der Klasse aller Begriffe dieselbe Bedeutung haben und so im freien Aufbau identifiziert werden. Jedoch sind die Gleichwertigkeitsklassen für das Wortproblem von ganzen Gittern "zu klein", solch, dass das freie ganze Gitter noch eine richtige Klasse sein würde, der nicht erlaubt wird.

Jetzt könnte man noch hoffen, dass es einige nützliche Fälle gibt, wo der Satz von Generatoren für ein freies ganzes Gitter genug klein ist, um zu bestehen. Leider ist die Größe-Grenze sehr niedrig, und wir haben den folgenden Lehrsatz:

: Das freie ganze Gitter auf drei Generatoren besteht nicht; es ist richtig eine richtige Klasse.

Ein Beweis dieser Behauptung wird von Johnstone gegeben; das ursprüngliche Argument wird Hales zugeschrieben; sieh auch den Artikel über freie Gitter.

Vollziehung

Wenn ein ganzes Gitter von einem gegebenen poset frei erzeugt wird, der im Platz des Satzes von Generatoren verwendet ist, die oben betrachtet sind, dann spricht man von einer Vollziehung des poset. Die Definition des Ergebnisses dieser Operation ist der obengenannten Definition von freien Gegenständen ähnlich, wo "Sätze" und "Funktionen" durch "posets" und "Eintönigkeit mappings" ersetzt werden. Ebenfalls kann man den Vollziehungsprozess als ein functor von der Kategorie von posets mit Eintönigkeitsfunktionen zu einer Kategorie von ganzen Gittern mit passendem morphisms beschreiben, dem adjoint zum vergesslichen functor in der gegenteiligen Richtung verlassen wird.

So lange man in Betracht zieht, treffen sich - oder anschließen bewahrende Funktionen als morphisms, das kann durch die so genannte Dedekind-MacNeille Vollziehung leicht erreicht werden. Für diesen Prozess werden Elemente des poset zu (Dedekind-) Kürzungen kartografisch dargestellt, die dann zum zu Grunde liegenden posets von willkürlichen ganzen Gittern auf die ziemlich gleiche Weise, wie getan, für Sätze und freie abgeschlossen (halb-) Gitter oben kartografisch dargestellt werden können.

Das oben erwähnte Ergebnis, dass freie ganze Gitter nicht bestehen, hat zur Folge, dass gemäß dem freien Aufbau von einem poset auch nicht möglich ist. Das wird durch das Betrachten posets mit einer getrennten Ordnung leicht gesehen, wo sich jedes Element nur auf sich bezieht. Das ist genau der freie posets auf einem zu Grunde liegenden Satz. Würde dort ein freier Aufbau von ganzen Gittern von posets sein, dann konnten beide Aufbauten zusammengesetzt werden, der dem negativen Ergebnis oben widerspricht.

Darstellung

Es gibt verschiedene andere mathematische Konzepte, die verwendet werden können, um ganze Gitter zu vertreten. Ein Mittel des Tuns ist so die Dedekind-MacNeille Vollziehung. Wenn diese Vollziehung auf einen poset angewandt wird, der bereits ein ganzes Gitter ist, dann ist das Ergebnis ein ganzes Gitter von Sätzen, das zum ursprünglichen isomorph ist. So finden wir sofort, dass jedes ganze Gitter zu einem ganzen Gitter von Sätzen isomorph ist.

Eine andere Darstellung wird durch die Anmerkung erhalten, dass das Image jedes Verschluss-Maschinenbedieners auf einem ganzen Gitter wieder ein ganzes Gitter ist (hat sein Verschluss-System genannt). Da die Identitätsfunktion ein Verschluss-Maschinenbediener auch ist, zeigt das, dass die ganzen Gitter genau die Images von Verschluss-Maschinenbedienern auf ganzen Gittern sind. Jetzt kann die Dedekind-MacNeille Vollziehung auch in einen Verschluss-Maschinenbediener geworfen werden: Jeder Satz von Elementen wird zum am wenigsten niedrigeren (oder ober) Kürzung von Dedekind kartografisch dargestellt, die diesen Satz enthält. Solch eine kleinste Kürzung besteht wirklich tatsächlich, und man hat einen Verschluss-Maschinenbediener auf dem powerset Gitter aller Elemente. In der Zusammenfassung kann man sagen, dass jedes ganze Gitter zum Image eines Verschluss-Maschinenbedieners auf einem powerset Gitter isomorph ist.

Das wird der Reihe nach in der formellen Konzeptanalyse verwertet, wo man binäre Beziehungen verwendet (hat formelle Zusammenhänge genannt), solche Verschluss-Maschinenbediener zu vertreten.

Weitere Ergebnisse

Außer den vorherigen Darstellungsergebnissen gibt es einige andere Behauptungen, die über ganze Gitter gemacht werden können, oder die eine besonders einfache Form in diesem Fall annehmen. Ein Beispiel ist der Lehrsatz von Knaster-Tarski, der feststellt, dass der Satz von gehefteten Punkten einer Eintönigkeitsfunktion auf einem ganzen Gitter wieder ein ganzes Gitter ist. Wie man leicht sieht, ist das eine Generalisation der obengenannten Beobachtung über die Images von Verschluss-Maschinenbedienern, da das genau die Sätze von festen Punkten solcher Maschinenbediener sind.

Referenzen

Sieh das Artikel-Gitter (Ordnung).