Die Fermi Energie ist ein Konzept in der Quant-Mechanik, die sich gewöhnlich auf die Energie des höchsten besetzten Quant-Staates in einem System von fermions bei der absoluten Nulltemperatur bezieht.

Verwirrend wird der Begriff "Energie von Fermi" häufig gebraucht, um ein verschiedenes, aber nah zusammenhängendes Konzept zu beschreiben, das Niveau von Fermi (hat auch chemisches Potenzial genannt). Die Fermi Energie und das Niveau von Fermi sind dasselbe an der absoluten Null, aber unterscheiden sich bei anderen Temperaturen, wie beschrieben, unten.

Einführung

Zusammenhang

In der Quant-Mechanik folgt eine Gruppe von Partikeln bekannt als fermions (zum Beispiel, Elektronen, Protone und Neutronen) dem Ausschluss-Grundsatz von Pauli. Das stellt fest, dass zwei fermions denselben (ein-Partikel-)-Quant-Staat nicht besetzen können. Die Staaten werden durch eine Reihe von Quantenzahlen etikettiert. In einem System, das viele fermions (wie Elektronen in einem Metall) enthält, wird jeder fermion einen verschiedenen Satz von Quantenzahlen haben. Um die niedrigste Energie zu bestimmen, kann ein System von fermions haben, wir gruppieren zuerst die Staaten in Sätze mit der gleichen Energie, und bestellen diese Sätze, indem wir Energie vergrößern. Mit einem leeren System anfangend, fügen wir dann Partikeln einer nach dem anderen hinzu, aufeinander folgend die freien Quant-Staaten mit der niedrigsten Energie voll füllend. Als alle Partikeln darin gestellt worden sind, ist die Energie von Fermi die Energie des höchsten besetzten Staates.

Was das bedeutet, ist, dass, selbst wenn wir die ganze mögliche Energie aus einem Metall herausgezogen haben, indem wir es zu fast der absoluten Nulltemperatur (0 kelvin) abkühlen, sich die Elektronen im Metall noch bewegen. Die schnellsten bewegen sich an einer Geschwindigkeit entsprechend einer kinetischen der Energie von Fermi gleichen Energie. Das ist die Geschwindigkeit von Fermi. Die Fermi Energie ist eines der wichtigen Konzepte der kondensierten Sache-Physik. Es wird zum Beispiel verwendet, um Metalle, Isolatoren und Halbleiter zu beschreiben. Es ist eine sehr wichtige Menge in der Physik von Supraleitern, in der Physik von Quant-Flüssigkeiten wie niedriges Temperaturhelium (sowohl normal als auch Superflüssigkeit Er), und es ist für die Kernphysik ziemlich wichtig und die Stabilität von weißen Zwergsternen gegen den Gravitationskollaps zu verstehen.

Fortgeschrittener Zusammenhang

Die Fermi Energie (E) eines Systems aufeinander nichtzuwirken ist fermions die Zunahme in der Boden-Zustandenergie, wenn genau eine Partikel zum System hinzugefügt wird. Es kann auch als die maximale Energie eines individuellen fermion in diesem Boden-Staat interpretiert werden. Das chemische Potenzial bei der Nulltemperatur ist der Energie von Fermi gleich.

Illustration des Konzepts für ein dimensionales Quadrat gut

Ein dimensionales unendliches Quadrat gut der Länge L ist ein Modell für einen dimensionalen Kasten. Es ist ein Standardmustersystem in der Quant-Mechanik, für die die Lösung für eine einzelne Partikel weithin bekannt ist. Die Niveaus werden durch eine einzelne Quantenzahl n etikettiert, und die Energien werden durch gegeben

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Denken Sie, jetzt wo statt einer Partikel in diesem Kasten wir N Partikeln im Kasten haben, und dass diese Partikeln fermions mit der Drehung 1/2 sind. Dann können nur zwei Partikeln dieselbe Energie haben, d. h. zwei Partikeln können die Energie haben, oder zwei Partikeln können Energie und so weiter haben. Der Grund, dass zwei Partikeln dieselbe Energie haben können, besteht darin, dass eine Partikel eine Drehung von 1/2 (Drehung) oder eine Drehung von-1/2 (Drehung unten) haben kann, zu zwei Staaten für jedes Energieniveau führend. In der Konfiguration, für die die Gesamtenergie (der Boden-Staat) am niedrigsten ist, werden alle Energieniveaus bis zu n=N/2 besetzt, und alle höheren Niveaus sind leer. Die Fermi Energie ist deshalb

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Alternative Methode, um Fermi-Energie zu berechnen

Berechnen Sie die Dichte von Staaten mit der Boden-Zustandenergie eigenstate für eine freie Partikel

wo die dirac Delta-Funktion ist

Bemerken Sie, dass wir zwei Delta-Funktionen brauchen, da es zwei Wurzeln zu gibt

wo und.

Das Integral der Dichte von Staaten bis zur Fermi-Energie gibt die Zahl von Partikeln nach

Der dreidimensionale Fall

Der dreidimensionale isotropische Fall ist als der Bereich von Fermi bekannt.

Lassen Sie uns jetzt einen dreidimensionalen kubischen Kasten denken, der eine Seitenlänge L hat (sieh unendliches Quadrat gut). Das erweist sich, eine sehr gute Annäherung zu sein, um Elektronen in einem Metall zu beschreiben.

Die Staaten werden jetzt durch drei Quantenzahlen n, n, und n etikettiert. Die einzelnen Partikel-Energien sind

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:: n, n, sind n positive ganze Zahlen.

Es gibt vielfache Staaten mit derselben Energie zum Beispiel. Wollen jetzt wir N stellen, der fermions der Drehung 1/2 in diesen Kasten aufeinander nichtwirkt. Um die Energie von Fermi zu berechnen, schauen wir auf den Fall, wo N groß ist.

Wenn wir einen Vektoren dann einführen, entspricht jeder Quant-Staat einem Punkt im 'N-Raum' mit der Energie

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Die Zahl von Staaten mit der Energie weniger als E ist der Zahl von Staaten gleich, die innerhalb eines Bereichs des Radius im Gebiet des N-Raums liegen, wo n, n, n positiv sind. Im Boden stellen fest, dass diese Zahl der Zahl von fermions im System gleichkommt.

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der Faktor zwei ist wieder, weil es zwei Drehungsstaaten gibt, ist der Faktor von 1/8, weil nur 1/8 des Bereichs im Gebiet liegt, wo alle n positiv sind.

Wir finden

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so wird die Energie von Fermi durch gegeben

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Der auf eine Beziehung zwischen der Energie von Fermi und der Zahl von Partikeln pro Volumen hinausläuft (wenn wir L durch V ersetzen):

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Die Gesamtenergie eines Bereichs von Fermi von fermions wird durch gegeben

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Deshalb wird durch die durchschnittliche Energie eines Elektrons gegeben:

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Alternative Methode, für die Fermi-Energie zu berechnen

Berechnen Sie die Dichte von Staaten mit der Boden-Zustandenergie eigenstate für eine freie Partikelwo die dirac Delta-Funktion istwo und.Das Integral der Dichte von Staaten bis zur Fermi-Energie gibt die Zahl von Partikeln nach

Zusammenhängende Mengen

Eine zusammenhängende Menge ist Temperatur von Fermi, definiert als, wo der unveränderliche Boltzmann ist. Andere in diesem Zusammenhang definierte Mengen sind Schwung von Fermi, und Geschwindigkeit von Fermi, der Schwung und die Geschwindigkeit beziehungsweise eines fermion an der Oberfläche von Fermi. (Diese Mengen sind in Fällen nicht bestimmt, wo die Oberfläche von Fermi nichtkugelförmig ist). Im Fall vom Bereich von Fermi wird durch sie gegeben:

::

wo die Masse des Elektrons ist.

Der Fermi Schwung kann auch als beschrieben werden, wo der Radius des Bereichs von Fermi ist und den Welle-Vektoren von Fermi genannt wird.

Typische Fermi Energien

Kern

Ein anderes typisches Beispiel ist das der Partikeln in einem Kern eines Atoms. Der Radius des Kerns ist grob:

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:where A ist die Zahl von Nukleonen.

Die Zahl-Dichte von Nukleonen in einem Kern ist deshalb:

::

Jetzt, da die Energie von Fermi nur für fermions desselben Typs gilt, muss man diese Dichte in zwei teilen. Das ist, weil die Anwesenheit von Neutronen die Energie von Fermi der Protone im Kern, und umgekehrt nicht betrifft.

So ist die Energie von Fermi eines Kerns über:

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Der Radius des Kerns lässt Abweichungen um den Wert zu, der oben erwähnt ist, so ist ein typischer Wert für die gewöhnlich gegebene Energie von Fermi 38 MeV.

Siehe auch

• Fermi-Dirac Statistik
• Benzin von Fermi
• Fermi Quasiniveau
• Thermodynamik
• Halbleiter
• Tisch von Energien von Fermi, Geschwindigkeiten und Temperaturen für verschiedene Elemente.