In der Mathematik ist eine k-hyperperfect Zahl' eine natürliche Zahl n für der die Gleichheit n = 1 + k (σ (n) − n − 1) hält, wo σ (n) die Teiler-Funktion (d. h., die Summe aller positiven Teiler von n) ist. Eine hypervollkommene Zahl ist eine k-hyperperfect Zahl für eine ganze Zahl k. Hypervollkommene Zahlen verallgemeinern vollkommene Zahlen, die 1-hypervollkommen sind.

Die ersten paar Zahlen in der Folge von k-hyperperfect Zahlen sind 6, 21, 28, 301, 325, 496... mit den entsprechenden Werten von k 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12 zu sein.... Die ersten paar k-hyperperfect Zahlen, die nicht vollkommen sind, sind 21, 301, 325, 697, 1333....

Liste von hypervollkommenen Zahlen

Der folgende Tisch verzeichnet die ersten paar k-hyperperfect Zahlen für einige Werte von k, zusammen mit der Folge-Zahl in der Online-Enzyklopädie von Folgen der Ganzen Zahl (OEIS) der Folge von k-hyperperfect Zahlen:

</tr></Tisch>

Es kann gezeigt werden, dass, wenn k> 1 eine sonderbare ganze Zahl und p = (3k + 1) / 2 und q = 3k + 4 ist, Primzahlen sind, dann ist p²q k-hyperperfect; Judson S. McCranie hat 2000 vermutet, dass alle k-hyperperfect Zahlen für sonderbaren k> 1 dieser Form sind, aber die Hypothese ist bis jetzt nicht bewiesen worden. Außerdem kann es bewiesen werden, dass, wenn p  q sonderbare Blüte und k sind, eine solche ganze Zahl ist, dass k (p + q) = pq - 1, dann pq k-hyperperfect ist.

Es ist auch möglich, das zu zeigen, wenn k> 0 und p = k + 1, dann für den ganzen i> 1 solcher dass q = p &minus erst sind; p + 1 ist erst, n = ist pq k-hyperperfect. Der folgende Tisch verzeichnet bekannte Werte von k und entsprechende Werte von mir, für den n k-hyperperfect ist:

</Tisch>

Hypermangel

Das kürzlich eingeführte mathematische Konzept des Hypermangels ist mit den hypervollkommenen Zahlen verbunden.

Definition (Minoli 2010): Für jede ganze Zahl n und für die ganze Zahl k, -  (n) = n (k+1) + (k-1)-kσ (n)

Wie man

sagt, ist eine Nummer n k-hyperdeficient wenn δ (n)> 0.

Bemerken Sie, dass für k=1 man δ (n) = 2n-σ (n) bekommt, der die traditionelle Standarddefinition des Mangels ist.

Lemma: Eine Nummer n ist k-hyperperfect (einschließlich k=1) wenn und nur wenn der K-Hypermangel an n, δ (n) = 0.

Lemma: Eine Nummer n ist k-hyperperfect (einschließlich k=1) wenn und nur wenn für einen k, δ (n) =-δ (n) für mindestens einen j> 0.

Weiterführende Literatur

Artikel

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