In der Mathematik ist eine umgekehrte Funktion eine Funktion, die eine andere Funktion aufmacht: Wenn ein Eingang x in den Funktions-ƒ eine Produktion y erzeugt, dann erzeugt das Stellen y in die umgekehrte Funktion g die Produktion x, und umgekehrt. d. h., (x) ƒ =y, und g (y) =x. Mehr direkt, g ((x) ƒ) =x, g (x) zusammengesetzt mit (x) ƒ bedeutend, verlässt x unverändert.

Ein Funktions-ƒ, der ein Gegenteil hat, wird invertible genannt; die umgekehrte Funktion wird dann durch den ƒ einzigartig bestimmt und wird durch den ƒ angezeigt (lesen Sie f Gegenteil, um mit exponentiation nicht verwirrt zu sein).

Definitionen

Das Wortgegenteil ist mit dem umgekehrten Wortbogen verbunden, der bedeutet, um das Gegenteil zukehren, auf den Kopf zu stellen, zu tun.

Anstatt die Gegenteile für individuelle Eingänge und Produktionen zu denken, kann man an die Funktion als das Senden des ganzen Satzes von Eingängen, dem Gebiet, zu einer Reihe von Produktionen, der Reihe denken. Lassen Sie ƒ eine Funktion sein, deren Gebiet der Satz X ist, und dessen Reihe der Satz Y ist. Dann ist ƒ invertible, wenn dort eine Funktion g mit dem Gebiet Y und der Reihe X, mit dem Eigentum besteht:

:

Wenn ƒ invertible ist, ist die Funktion g einzigartig; mit anderen Worten kann es höchstens eine Funktion g geben, dieses Eigentum befriedigend. Diese Funktion g wird dann das Gegenteil von ƒ genannt, der durch den ƒ angezeigt ist.

Festgesetzt sonst ist eine Funktion invertible, wenn, und nur wenn seine umgekehrte Beziehung eine Funktion auf der Reihe Y ist, in welchem Fall die umgekehrte Beziehung die umgekehrte Funktion ist.

Nicht alle Funktionen haben ein Gegenteil. Für diese Regel, anwendbar zu sein, muss jedes Element y  Y nicht mehr als einem x  X entsprechen; ein Funktions-ƒ mit diesem Eigentum wird isomorph, oder Information bewahrend, oder eine Einspritzung genannt.

Beispiel: Inverse Betriebe, die zu umgekehrten Funktionen führen

Inverse Betriebe sind das Gegenteil von direkten Schwankungsfunktionen. Direkte Schwankungsfunktion basiert auf der Multiplikation; y = kx. Die entgegengesetzte Operation der Multiplikation ist Abteilung, und eine umgekehrte Schwankungsfunktion ist y = k/x.

Beispiel: Quadrieren und Quadratwurzel-Funktionen

Die Funktion können (x) ƒ = x oder können nicht invertible abhängig vom Gebiet sein.

Wenn das Gebiet die reellen Zahlen ist, dann würde jedes Element in Y zwei verschiedenen Elementen in X (±x) entsprechen, und deshalb würde ƒ nicht invertible sein. Genauer ist das Quadrat von x nicht invertible, weil es unmöglich ist, von seiner Produktion das Zeichen seines Eingangs abzuleiten. Solch eine Funktion wird non-injective oder Informationsverlieren genannt. Bemerken Sie, dass weder die Quadratwurzel noch die Hauptquadratwurzel-Funktion das Gegenteil von x sind, weil das erste, und der zweite Umsatz-x nicht einzeln geschätzt wird, wenn x negativ ist.

Wenn das Gebiet aus den nichtnegativen Zahlen besteht, dann ist die Funktion injective und invertible.

Gegenteile in der höheren Mathematik

Die Definition, die oben gegeben ist, wird in der Mengenlehre und Rechnung allgemein angenommen. In der höheren Mathematik, die Notation

:

bedeutet, dass "ƒ eine Funktion ist, die Elemente eines Satzes X zu Elementen eines Satzes Y kartografisch darstellt". Die Quelle, X, wird das Gebiet von ƒ genannt, und das Ziel, Y, wird den codomain genannt. Der codomain enthält die Reihe von ƒ als eine Teilmenge, und wird als ein Teil der Definition von ƒ betrachtet.

Wenn

man codomains verwendet, ist das Gegenteil einer Funktion erforderlich, Gebiet Y und codomain X zu haben. Für das Gegenteil, das auf allen Y zu definieren ist, muss jedes Element von Y im Rahmen des Funktions-ƒ liegen. Eine Funktion mit diesem Eigentum wird auf oder eine Surjektion genannt. So ist eine Funktion mit einem codomain invertible, wenn, und nur wenn es sowohl injective (isomorph) als auch surjective (darauf) ist. Solch eine Funktion wird eine isomorphe Ähnlichkeit oder eine Bijektion genannt, und hat das Eigentum, dass jedes Element genau einem Element entspricht.

Gegenteile und Zusammensetzung

Wenn ƒ eine Invertible-Funktion mit dem Gebiet X und der Reihe Y, dann ist

:

Diese Behauptung ist zum ersten von den obengenannten - gegeben Definitionen des Gegenteils gleichwertig, und es wird gleichwertig zur zweiten Definition, wenn Y mit dem codomain von ƒ zusammenfällt. Mit der Zusammensetzung von Funktionen können wir diese Behauptung wie folgt umschreiben:

:

wo id die Identitätsfunktion auf dem Satz X ist; d. h. die Funktion, die X unverändert abreist. In der Kategorie-Theorie wird diese Behauptung als die Definition eines Gegenteils morphism verwendet.

Wenn wir an Zusammensetzung als eine Art Multiplikation von Funktionen denken, sagt diese Identität, dass das Gegenteil einer Funktion einem multiplicative Gegenteil analog ist. Das erklärt den Ursprung des Notations-ƒ.

Zeichen auf der Notation

Die hochgestellte Notation für Gegenteile kann manchmal mit anderem Gebrauch von Exponenten, besonders wenn verwirrt sein, sich mit trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen befassend. Um diese Verwirrung zu vermeiden, werden die Notations-ƒ oder mit "" über dem ƒ manchmal verwendet.

Es ist wichtig zu begreifen, dass (x) ƒ nicht dasselbe als (x) ƒ sind. In (x) ƒ ist der Exponent "−1" nicht eine Hochzahl. Eine ähnliche Notation wird für wiederholte Funktionen verwendet. Zum Beispiel zeigt ƒ zwei Wiederholungen des Funktions-ƒ an; wenn, dann, der dazu vereinfacht. In Symbolen:

:

In der Rechnung zeigt ƒ, mit Parenthesen, die n-te Ableitung eines Funktions-ƒ an. Zum Beispiel:

:

In der Trigonometrie, aus historischen Gründen, bedeutet Sünde x gewöhnlich das Quadrat der Sünde x:

:

Jedoch vertritt die Ausdruck-Sünde x gewöhnlich das multiplicative Gegenteil nicht, um x, aber das Gegenteil der auf x angewandten Sinusfunktion zu sündigen (wirklich ein teilweises Gegenteil; sieh unten). Um Verwirrung zu vermeiden, wird eine umgekehrte trigonometrische Funktion häufig durch das Präfix "Kreisbogen" angezeigt. Zum Beispiel wird das Gegenteil der Sinusfunktion normalerweise die Arcsine-Funktion, schriftlich als arcsin genannt, der wie Sünde ist, herkömmlich angezeigt im römischen Typ und nicht in der Kursive (bemerken Sie, dass Softwarebibliotheken von mathematischen Funktionen häufig den Namen verwenden):

:

Die Funktion ist das multiplicative Gegenteil zum Sinus, und wird den cosecant genannt. Es wird gewöhnlich csc x angezeigt:

:

Hyperbelfunktionen benehmen sich ähnlich mit dem Präfix "ar", als in arsinh für die umgekehrte Funktion von sinh und csch x für das multiplicative Gegenteil von sinh x.

Eigenschaften

Einzigartigkeit

Wenn eine umgekehrte Funktion für einen gegebenen Funktions-ƒ besteht, ist es einzigartig: Es muss die umgekehrte Beziehung sein.

Symmetrie

Es gibt eine Symmetrie zwischen einer Funktion und seinem Gegenteil. Spezifisch, wenn ƒ eine Invertible-Funktion mit dem Gebiet X und der Reihe Y ist, dann hat sein umgekehrter ƒ Gebiet Y und Reihe X, und das Gegenteil von ƒ ist der ursprüngliche Funktions-ƒ. In Symbolen, für den ƒ eine Funktion mit dem Gebiet X und der Reihe Y und g eine Funktion mit dem Gebiet Y und der Reihe X:

:

&\\Text {Wenn} &g \circ f = \mathrm {id} _X\text {} \\

&\\Text {dann} &f \circ g = \mathrm {id} _Y\text {. }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das folgt aus der Verbindung zwischen Funktionsgegenteil und Beziehungsgegenteil, weil die Inversion von Beziehungen eine Involution ist.

Diese Behauptung ist eine offensichtliche Folge des Abzugs, dass für den ƒ, um invertible zu sein, es injective (die erste Definition des Gegenteils) oder bijektiv (die zweite Definition) sein muss. Das Eigentum der Symmetrie kann durch die folgende Formel kurz ausgedrückt werden:

:

Das Gegenteil einer Zusammensetzung von Funktionen wird durch die Formel gegeben

:

Bemerken Sie, dass die Ordnung von g und f umgekehrt worden ist; um von g gefolgten f aufzumachen, müssen wir zuerst g aufmachen und dann f aufmachen.

Lassen Sie zum Beispiel und lassen Sie. Dann ist die Zusammensetzung die Funktion, die zuerst um drei multipliziert und dann fünf beiträgt:

:

Um diesen Prozess umzukehren, müssen wir zuerst fünf Abstriche machen, und uns dann durch drei teilen:

:

Das ist die Zusammensetzung

.

Selbstgegenteile

Wenn X ein Satz ist, dann ist die Identitätsfunktion auf X sein eigenes Gegenteil:

:

Mehr allgemein ist eine Funktion seinem eigenen Gegenteil gleich, wenn, und nur wenn die Zusammensetzung id gleich ist. Solch eine Funktion wird eine Involution genannt.

Gegenteile in der Rechnung

Einzeln-variable Rechnung ist in erster Linie mit Funktionen beschäftigt, die reelle Zahlen zu reellen Zahlen kartografisch darstellen. Solche Funktionen werden häufig durch Formeln definiert wie:

:

Ein Funktions-ƒ von den reellen Zahlen bis die reellen Zahlen besitzt ein Gegenteil, so lange es, d. h. isomorph ist, so lange der Graph dessen hat, weil jeder mögliche y nur einen entsprechenden X-Wert schätzt, und so den horizontalen Linientest besteht.

Der folgende Tisch zeigt mehrere Standardfunktionen und ihre Gegenteile:

:

Formel für das Gegenteil

Eine Annäherung an die Entdeckung einer Formel für den ƒ, wenn es besteht, soll die Gleichung für x lösen. Zum Beispiel, wenn ƒ die Funktion ist

:

dann müssen wir die Gleichung für x lösen:

:

y & = (2x+8)^3 \\

\sqrt [3] {y} & = 2x + 8 \\

\sqrt [3] {y} - 8 & = 2x \\

\dfrac {\\sqrt [3] {y} - 8\{2} & = x.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

So wird der umgekehrte Funktions-ƒ durch die Formel gegeben

:

Manchmal kann das Gegenteil einer Funktion nicht durch eine Formel mit einer begrenzten Zahl von Begriffen ausgedrückt werden. Zum Beispiel, wenn ƒ die Funktion ist

:

dann ist ƒ isomorph, und besitzt deshalb einen umgekehrten Funktions-ƒ. Die Formel für dieses Gegenteil hat eine unendliche Zahl von Begriffen:

:

\displaystyle \sum_ {n=1} ^ {\\infty }\

{\\frac {y^ {\\frac {n} {3}}} {n!}} \lim_ {\theta \to 0} \left (

\frac {\\mathrm {d} ^ {\\, n-1}} {\\mathrm {d} \theta^ {\\, n-1}} \left (

\frac {\theta} {\sqrt [3] {\theta - \sin (\theta)}} ^n \right)

\right)

</Mathematik>

Graph des Gegenteils

Wenn ƒ und ƒ Gegenteile, dann der Graph der Funktion sind

:

ist dasselbe als der Graph der Gleichung

:

Das ist zur Gleichung identisch, die den Graphen von ƒ definiert, außer dass die Rollen von x und y umgekehrt worden sind. So kann der Graph von ƒ beim Graphen von ƒ durch die Schaltung der Positionen des x und der y Äxte erhalten werden. Das ist zum Reflektieren des Graphen über die Linie gleichwertig

.

Gegenteile und Ableitungen

Ein dauernder Funktions-ƒ ist isomorph (und folglich invertible), wenn, und nur wenn er entweder ausschließlich zunimmt oder (ohne lokale Maxima oder Minima) abnimmt. Zum Beispiel, die Funktion

:

ist invertible, seit der Ableitung

ist

immer positiv.

Wenn der Funktions-ƒ differentiable ist, dann wird der umgekehrte ƒ differentiable so lange sein. Die Ableitung des Gegenteils wird durch den umgekehrten Funktionslehrsatz gegeben:

:

Wenn wir untergehen, dann kann die Formel oben geschrieben werden

:

Dieses Ergebnis folgt aus der Kettenregel (sieh den Artikel über umgekehrte Funktionen und Unterscheidung).

Der umgekehrte Funktionslehrsatz kann zu Funktionen von mehreren Variablen verallgemeinert werden. Spezifisch ist eine Differentiable-Funktion invertible in einer Nachbarschaft eines Punkts p, so lange die Matrix von Jacobian von ƒ an p invertible ist. In diesem Fall ist Jacobian von ƒ am ƒ (p) das Matrixgegenteil von Jacobian von ƒ an p.

Wirkliche Beispiele

Lassen Sie zum Beispiel ƒ die Funktion sein, die eine Temperatur in Grad Celsius zu einer Temperatur in Grad Fahrenhei umwandelt:

:

dann wandelt seine umgekehrte Funktion Grad Fahrenhei zu Grad Celsius um:

:

seitdem

:

Oder, nehmen Sie an, dass ƒ jedes Kind in einer Familie sein Geburtsjahr zuteilt. Eine umgekehrte Funktion würde Produktion, welches Kind in einem gegebenen Jahr geboren gewesen ist. Jedoch, wenn die Familie Zwillinge (oder Drillinge) dann hat, kann die Produktion nicht bekannt sein, wenn der Eingang das allgemeine Geburtsjahr ist. Ebenso, wenn ein Jahr gegeben wird, in dem kein Kind dann geboren gewesen ist, kann ein Kind nicht genannt werden. Aber wenn jedes Kind in einem getrennten Jahr geboren gewesen ist, und wenn wir Aufmerksamkeit auf die drei Jahre einschränken, in denen ein Kind geboren gewesen ist, dann haben wir wirklich eine umgekehrte Funktion. Zum Beispiel,

:

f (\text {Allan}) &=2005, \quad & f (\text {Kopfloser Nagel}) &=2007, \quad & f (\text {Cary}) &=2001 \\

f^ {-1} (2005) &= \text {Allan}, \quad & f^ {-1} (2007) &= \text {Kopfloser Nagel}, \quad & f^ {-1} (2001) &= \text {Cary }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Generalisationen

Teilweise Gegenteile

Selbst wenn ein Funktions-ƒ nicht isomorph ist, kann es möglich sein, ein teilweises Gegenteil von ƒ durch das Einschränken des Gebiets zu definieren. Zum Beispiel, die Funktion

:ist

seitdem nicht isomorph. Jedoch wird die Funktion isomorph, wenn wir auf das Gebiet, in welchem Fall einschränken

:

(Wenn wir stattdessen auf das Gebiet einschränken, dann ist das Gegenteil die Verneinung der Quadratwurzel x.) Wechselweise, es gibt kein Bedürfnis, das Gebiet einzuschränken, wenn wir mit dem Gegenteil zufrieden sind, das eine mehrgeschätzte Funktion ist:

:

Manchmal wird dieses mehrgeschätzte Gegenteil das volle Gegenteil von ƒ genannt, und die Teile (wie x und  x) werden Zweige genannt. Der wichtigste Zweig einer mehrgeschätzten Funktion (z.B die positive Quadratwurzel) wird den Hauptzweig genannt, und sein Wert an y wird den Hauptwert von ƒ (y) genannt.

Für eine dauernde Funktion auf der echten Linie ist ein Zweig zwischen jedem Paar von lokalem extrema erforderlich. Zum Beispiel hat das Gegenteil einer Kubikfunktion mit einem lokalen Maximum und einem lokalen Minimum drei Zweige (sieh das Bild nach rechts).

Diese Rücksichten sind besonders wichtig, für die Gegenteile von trigonometrischen Funktionen zu definieren. Zum Beispiel ist die Sinusfunktion, seitdem nicht isomorph

:

für jeden echten x (und mehr allgemein für jede ganze Zahl n). Jedoch ist der Sinus auf dem Zwischenraum isomorph

, und das entsprechende teilweise Gegenteil wird den arcsine genannt. Das wird als der Hauptzweig des umgekehrten Sinus betrachtet, so ist der Hauptwert des umgekehrten Sinus immer zwischen -  und . Der folgende Tisch beschreibt den Hauptzweig jeder umgekehrten trigonometrischen Funktion:

:

Verlassen und richtige Gegenteile

Wenn ƒ: X  Y, ein linkes Gegenteil für den ƒ (oder Wiedertraktion von ƒ) ist eine solche Funktion dass

:

D. h. die Funktion g befriedigt die Regel

:

So muss g dem Gegenteil von ƒ auf der Reihe von ƒ gleichkommen, aber kann irgendwelche Werte für Elemente von Y nicht in der Reihe nehmen. Ein Funktions-ƒ hat ein linkes Gegenteil, wenn, und nur wenn es injective ist.

Ein richtiges Gegenteil für den ƒ (oder Abteilung von ƒ) ist eine solche Funktion dass

:

D. h. die Funktion h befriedigt die Regel

:

So h kann (y) einige der Elemente X dass Karte zu y unter dem ƒ sein. Ein Funktions-ƒ hat ein richtiges Gegenteil, wenn, und nur wenn es surjective ist (obwohl, solch ein Gegenteil bauend, verlangt im Allgemeinen das Axiom der Wahl).

Ein Gegenteil, das sowohl ein linkes als auch richtiges Gegenteil ist, muss einzigartig sein; sonst nicht. Ebenfalls, wenn g ein linkes Gegenteil für den ƒ ist, dann kann g oder kann kein richtiges Gegenteil für den ƒ sein; und wenn g ein richtiges Gegenteil für den ƒ ist, dann ist g nicht notwendigerweise ein linkes Gegenteil für den ƒ. Lassen Sie zum Beispiel ƒ:R&rarr; [0, ) zeigen die Quadrieren-Karte, solch an, dass (x) ƒ =x für den ganzen x in R, und g lassen: [0, ) &rarr;R zeigen die Quadratwurzel-Karte, solch dass g (x) = x für den ganzen x0 an. Dann ƒ (g (x)) =x für den ganzen x in [0, ); d. h. g ist ein richtiges Gegenteil zum ƒ. Jedoch ist g nicht ein linkes Gegenteil zum ƒ, seitdem, z.B, g (ƒ (-1)) =1 -1.

Vorimages

Wenn ƒ: X  Y sind jede Funktion (nicht notwendigerweise invertible), das Vorimage (oder umgekehrte Image) eines Elements sind der Satz aller Elemente X dass Karte zu y:

:

Vom Vorimage von y kann als das Image von y unter dem (mehrgeschätzten) vollen Gegenteil der Funktion f gedacht werden.

Ähnlich, wenn S eine Teilmenge von Y ist, ist das Vorimage von S der Satz aller Elemente X dass Karte zu S:

:

Nehmen Sie zum Beispiel einen Funktions-ƒ: R  R, wo ƒ: x  x. Diese Funktion ist nicht invertible aus besprochenen Gründen. Und doch können Vorimages für Teilmengen des codomain definiert werden:

:

Das Vorimage eines einzelnen Elements - ein Singleton ist untergegangen {y} - wird manchmal die Faser von y genannt. Wenn Y der Satz von reellen Zahlen ist, ist es üblich, sich auf den ƒ (y) als ein Niveau-Satz zu beziehen.

Siehe auch

• Umgekehrte trigonometrische Funktion
• Logarithmus
• Umgekehrter Funktionslehrsatz
• Umgekehrte Funktionen und Unterscheidung
• Umgekehrte Beziehung
• Umgekehrtes Element