Autokorrelation ist die Quer-Korrelation eines Signals mit sich. Informell ist es die Ähnlichkeit zwischen Beobachtungen als eine Funktion der Zeittrennung zwischen ihnen. Es ist ein mathematisches Werkzeug, um sich wiederholende Muster wie die Anwesenheit eines periodischen Signals zu finden, das unter dem Geräusch oder dem Identifizieren der fehlenden grundsätzlichen Frequenz in einem durch seine harmonischen Frequenzen einbezogenen Signal begraben worden ist. Es wird häufig im Signal verwendet, das in einer Prozession geht, um Funktionen oder Reihe von Werten wie Zeitabschnitt-Signale zu analysieren.

Definitionen

Verschiedene Studienfächer definieren Autokorrelation verschieden, und nicht alle diese Definitionen sind gleichwertig. In einigen Feldern wird der Begriff austauschbar mit der Autokovarianz gebraucht.

Statistik

In der Statistik beschreibt die Autokorrelation eines Zufallsprozesses die Korrelation zwischen Werten des Prozesses an verschiedenen Punkten rechtzeitig als eine Funktion der zweimal oder vom Zeitunterschied. Lassen Sie X etwas Repeatable-Prozess und ich sein, ein Punkt rechtzeitig nach dem Anfang dieses Prozesses sein. (ich kann eine ganze Zahl für einen Prozess der diskreten Zeit oder eine reelle Zahl für einen dauernd-maligen Prozess sein.) Dann X ist der Wert (oder Verwirklichung) erzeugt durch einen gegebenen Lauf des Prozesses in der Zeit i. Nehmen Sie an, dass, wie man weiter bekannt, der Prozess Werte für Mittel-μ und Abweichung σ seit allen Zeiten i definiert hat. Dann ist die Definition der Autokorrelation inzwischen s und t

:

R (s, t) = \frac {\\operatorname {E} [(X_t - \mu_t) (X_s - \mu_s)]} {\\sigma_t\sigma_s }\\,

</Mathematik>

wo "E" der erwartete Wertmaschinenbediener ist. Bemerken Sie, dass dieser Ausdruck für alle Zeiten Reihe oder Prozesse nicht bestimmt ist, weil die Abweichung Null (für einen unveränderlichen Prozess) oder unendlich sein kann. Wenn die Funktion R bestimmt ist, muss sein Wert in der Reihe [&minus;1, 1], mit 1 anzeigender vollkommener Korrelation und &minus;1 das Anzeigen vollkommener Antikorrelation liegen.

Wenn X eine zweite Ordnung stationärer Prozess dann ist, sind der Mittel-μ und die Abweichung σ zeitunabhängig, und weiter hängt die Autokorrelation nur vom Unterschied zwischen t und s ab: Die Korrelation hängt nur von der Zeitentfernung zwischen dem Paar von Werten, aber nicht auf ihrer Position rechtzeitig ab. Das deutet weiter an, dass die Autokorrelation als eine Funktion des zeitlichen Abstandes ausgedrückt werden kann, und dass das sogar Funktion des Zeitabstandes τ = s &minus sein würde; t. Das gibt die vertrautere Form

:

R (\tau) = \frac {\\operatorname {E} [(X_t - \mu) (X_ {t +\tau} - \mu)]} {\\sigma^2}, \,

</Mathematik>

und die Tatsache, dass das sogar Funktion ist, kann als festgesetzt werden

:

R (\tau) = R (-\tau). \,

</Mathematik>

Es ist übliche Praxis in einigen Disziplinen, außer der Statistik und Zeitreihe-Analyse, um die Normalisierung durch σ fallen zu lassen und den Begriff "Autokorrelation" austauschbar mit "der Autokovarianz" zu gebrauchen. Jedoch ist die Normalisierung beide wichtig, weil die Interpretation der Autokorrelation als eine Korrelation ein Maß ohne Skalen der Kraft der statistischen Abhängigkeit zur Verfügung stellt, und weil die Normalisierung eine Wirkung auf die statistischen Eigenschaften der geschätzten Autokorrelationen hat.

Signalverarbeitung

In der Signalverarbeitung wird die obengenannte Definition häufig ohne die Normalisierung verwendet, d. h. ohne das bösartige abzuziehen und sich durch die Abweichung zu teilen. Wenn die Autokorrelationsfunktion durch den bösartigen und die Abweichung normalisiert wird, wird sie manchmal den Autokorrelationskoeffizienten genannt.

In Anbetracht eines Signals wird die dauernde Autokorrelation meistenteils als die dauernde Quer-Korrelation definiert, die mit sich im Zeitabstand integriert ist.

:

wo den Komplex verbunden vertritt und Gehirnwindung vertritt. Für eine echte Funktion.

Die getrennte Autokorrelation im Zeitabstand für ein getrenntes Signal ist

:

Die obengenannten Definitionen arbeiten für Signale, die quadratischer integrable oder Quadrat addierbar, d. h. von der begrenzten Energie sind. Signale, die "letzt für immer" stattdessen als Zufallsprozesse behandelt werden, in welchem Fall verschiedene Definitionen erforderlich, auf erwarteten Werten gestützt sind. Für den breiten Sinn stationäre Zufallsprozesse werden die Autokorrelationen als definiert

::

Für Prozesse, die nicht stationär sind, werden das auch Funktionen sein, oder.

Für Prozesse, die auch ergodic sind, kann die Erwartung durch die Grenze eines Zeitdurchschnitts ersetzt werden. Die Autokorrelation eines ergodischen Prozesses wird manchmal als definiert oder zu ausgeglichen

::

Diese Definitionen haben den Vorteil, dass sie vernünftige bestimmte Ergebnisse des einzelnen Parameters für periodische Funktionen geben, selbst wenn jene Funktionen nicht die Produktion von stationären ergodischen Prozessen sind.

Wechselweise können Signale, die für immer dauern, durch eine Kurzarbeit-Autokorrelationsfunktionsanalyse mit Integralen der endlichen Zeit behandelt werden. (Sieh Kurzarbeit, die Fourier für einen zusammenhängenden Prozess umgestaltet.)

Mehrdimensionale Autokorrelation wird ähnlich definiert. Zum Beispiel in drei Dimensionen würde die Autokorrelation eines quadrataddierbaren getrennten Signals sein

:

Wenn Mittelwerte von Signalen vor der Computerwissenschaft einer Autokorrelationsfunktion abgezogen werden, wird die resultierende Funktion gewöhnlich eine Autokovarianz-Funktion genannt.

Eigenschaften

Im folgenden werden wir Eigenschaften von eindimensionalen Autokorrelationen nur beschreiben, da die meisten Eigenschaften vom eindimensionalen Fall bis die mehrdimensionalen Fälle leicht übertragen werden.

• Ein grundsätzliches Eigentum der Autokorrelation ist Symmetrie, der leicht ist, sich aus der Definition zu erweisen. Im dauernden Fall,

:the-Autokorrelation ist sogar Funktion

:: wenn eine echte Funktion, ist

:and die Autokorrelation ist eine Funktion von Hermitian

:: wenn eine komplizierte Funktion ist.

• Die dauernde Autokorrelationsfunktion erreicht seine Spitze am Ursprung, wo es einen echten Wert, d. h. für jede Verzögerung nimmt. Das ist eine Folge der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz. Dasselbe Ergebnis hält im getrennten Fall.
• Die Autokorrelation einer periodischen Funktion ist selbst mit derselben Periode, periodisch.
• Die Autokorrelation der Summe von zwei völlig unkorrelierten Funktionen (ist die Quer-Korrelation Null für alle), ist die Summe der Autokorrelationen jeder Funktion getrennt.
• Da Autokorrelation ein spezifischer Typ der Quer-Korrelation ist, erhält sie alle Eigenschaften der Quer-Korrelation aufrecht.
• Die Autokorrelation eines dauernd-maligen weißen Geräuschsignals wird eine starke Spitze (vertreten durch eine Delta-Funktion von Dirac) daran haben und wird absolut 0 für alle anderer sein.
• Der Wiener-Khinchin Lehrsatz verbindet die Autokorrelationsfunktion mit der Macht, die die geisterhafte Dichte über den Fourier umgestaltet:

::

::

• Für reellwertige Funktionen hat die symmetrische Autokorrelationsfunktion einen echten symmetrischen verwandeln sich, so kann der Wiener-Khinchin Lehrsatz in Bezug auf echte Kosinus nur wiederausgedrückt werden:

::::

Effiziente Berechnung

Für als eine getrennte Folge ausgedrückte Daten ist es oft notwendig, die Autokorrelation mit der hohen rechenbetonten Leistungsfähigkeit zu schätzen. Die auf der Definition gestützte Methode der rohen Gewalt kann verwendet werden. Zum Beispiel, um die Autokorrelation zu berechnen, verwenden wir die übliche Multiplikationsmethode mit richtigen Verschiebungen:

2 3 1

× 2 3 1

____

2 3 1

6 9 3

4 6 2

_________

2 9 14 9 2

</Gedicht>

So ist die erforderliche Autokorrelation (2,9,14,9,2). In dieser Berechnung führen wir die Prolongationsoperation während der Hinzufügung nicht durch, weil der Vektor über ein Feld von reellen Zahlen definiert worden ist. Bemerken Sie, dass wir die Zahl von erforderlichen Operationen halbieren können, indem wir die innewohnende Symmetrie der Autokorrelation ausnutzen.

Während der Algorithmus der rohen Gewalt Ordnung ist, bestehen mehrere effiziente Algorithmen, der die Autokorrelation in der Ordnung schätzen kann. Zum Beispiel erlaubt der Wiener-Khinchin Lehrsatz, die Autokorrelation von den rohen Daten mit zwei Schnellem Fourier verwandelt Sich (FFT) zu schätzen:

::::::

wo IFFT anzeigt, dass sich der umgekehrte Schnelle Fourier verwandelt. Das Sternchen zeigt verbundenen Komplex an.

Wechselweise kann eine vielfache Korrelation durch das Verwenden der Berechnung der rohen Gewalt für niedrige Werte, und dann progressiv binning die Daten mit einer logarithmischen Dichte durchgeführt werden, um höhere Werte zu schätzen, auf dieselbe Leistungsfähigkeit, aber mit niedrigeren Speichervoraussetzungen hinauslaufend.

Bewertung

Für einen getrennten Prozess der Länge definiert als mit dem bekannten bösartig und Abweichung kann eine Schätzung der Autokorrelation als erhalten werden

:

für jede positive ganze Zahl

• Wenn und durch die Standardformeln für die Beispiel-Mittel- und Beispielabweichung ersetzt werden, dann ist das eine voreingenommene Schätzung.
• Eine mit Sitz in periodogram Schätzung ersetzt in der obengenannten Formel dadurch. Diese Schätzung wird immer beeinflusst; jedoch hat es gewöhnlich einen kleineren Mittelquadratfehler.
• Andere Möglichkeiten sind auf das Behandeln der zwei Teile von Daten und getrennt und das Rechnen getrennter Beispielmittel und/oder Beispielabweichungen für den Gebrauch im Definieren der Schätzung zurückzuführen.

Der Vorteil von Schätzungen des letzten Typs besteht darin, dass der Satz von geschätzten Autokorrelationen, als eine Funktion dessen, bilden dann eine Funktion, die eine gültige Autokorrelation im Sinn ist, dass es möglich ist, einen theoretischen Prozess zu definieren, der genau diese Autokorrelation hat. Andere Schätzungen können unter dem Problem leiden, dass, wenn sie verwendet werden, um die Abweichung einer geradlinigen Kombination 's zu berechnen, sich die berechnete Abweichung erweisen kann, negativ zu sein.

Regressionsanalyse

In der Regressionsanalyse mit Zeitreihe-Daten ist die Autokorrelation der Fehler ein Problem. Die Autokorrelation der Fehler, die selbst unbemerkt sind, kann allgemein entdeckt werden, weil sie Autokorrelation im erkennbaren residuals erzeugt. (Fehler sind auch bekannt als "Fehlerbegriffe" in econometrics.)

Autokorrelation verletzt die Annahme der gewöhnlich kleinsten Quadrate (OLS), dass die Fehlerbegriffe unkorreliert sind. Während es die OLS mitwirkenden Schätzungen nicht beeinflusst, neigen die Standardfehler dazu, unterschätzt zu werden (und die T-Hunderte überschätzt), wenn die Autokorrelationen der Fehler in niedrigen Zeitabständen positiv sind.

Der traditionelle Test auf die Anwesenheit der Autokorrelation der ersten Ordnung ist der Durbin-Watson statistisch oder, wenn die erklärenden Variablen eine isolierte abhängige Variable, Durbin h statistisch einschließen. Ein flexiblerer Test, Autokorrelation von höheren Ordnungen und anwendbar bedeckend, ob die regressors Zeitabstände der abhängigen Variable einschließen, ist der Test von Breusch-Godfrey. Das schließt ein Hilfsrückwärts Gehen ein, worin die residuals, die dabei erhalten sind, das Modell von Interesse zu schätzen, regressed auf (a) der ursprüngliche regressors und (b) k Zeitabstände des residuals sind, wo k die Ordnung des Tests ist. Die einfachste Version des von diesem statistischen Tests

Hilfsrückwärts Gehen ist TR, wo T die Beispielgröße ist und R der Koeffizient des Entschlusses ist. Laut der ungültigen Hypothese keiner Autokorrelation ist das statistisch

asymptotisch verteilt als mit k Graden der Freiheit.

Antworten auf die Nichtnullautokorrelation schließen ein hat kleinste Quadrate und den HAC Newey-Westvorkalkulatoren (Heteroskedasticity und Autocorrelation Consistent) verallgemeinert.

Anwendungen

• Eine Anwendung der Autokorrelation ist das Maß von optischen Spektren und das Maß von Lichtimpulsen "sehr kurze Dauer, die" durch Laser, beide verwendenden optischen autocorrelators erzeugt ist.
• Autokorrelation wird verwendet, um Dynamische leichte sich zerstreuende Daten zu analysieren, der namentlich ermöglicht, um den Partikel-Größe-Vertrieb von nanometer-großen Partikeln oder in einer Flüssigkeit aufgehobenem micelles zu bestimmen. Ein Laser, der in die Mischung scheint, erzeugt ein Fleck-Muster, das sich aus der Bewegung der Partikeln ergibt. Die Autokorrelation des Signals kann analyized in Bezug auf die Verbreitung der Partikeln sein. Davon, die Viskosität der Flüssigkeit wissend, können die Größen der Partikeln berechnet werden.
• Die Röntgenstrahl-Zerstreuen-Intensität des Kleinen Winkels eines nanostructured Systems ist der Fourier verwandeln sich von der Raumautokorrelationsfunktion der Elektrondichte.
• In der Optik geben normalisierte Autokorrelationen und Quer-Korrelationen den Grad der Kohärenz eines elektromagnetischen Feldes.
• In der Signalverarbeitung kann Autokorrelation Information über sich wiederholende Ereignisse wie Musical geben schlägt (zum Beispiel, um Tempo zu bestimmen), oder Pulsar-Frequenzen, obwohl es die Position in der Zeit des geschlagenen nicht erzählen kann. Es kann auch verwendet werden, um den Wurf eines Musiktons zu schätzen.
• In der Musik-Aufnahme wird Autokorrelation als ein Wurf-Entdeckungsalgorithmus vor der stimmlichen Verarbeitung als eine Verzerrungswirkung verwendet oder unerwünschte Fehler und Ungenauigkeiten zu beseitigen.
• Die Autokorrelation im Raum aber nicht Zeit, über die Funktion von Patterson, wird durch den Röntgenstrahl diffractionists verwendet, um zu helfen, die "Phase-Information von Fourier" über Atom-Positionen wieder zu erlangen, die durch die Beugung nicht verfügbar sind, allein.
• In der Statistik hilft die Raumautokorrelation zwischen Beispielpositionen auch einer Schätzung Mittelwertunklarheiten, wenn sie eine heterogene Bevölkerung probiert.
• Der SEQUEST Algorithmus, um Massenspektren zu analysieren, macht von der Autokorrelation in Verbindung mit der Quer-Korrelation Gebrauch, um die Ähnlichkeit eines beobachteten Spektrums zu einem idealisierten Spektrum einzukerben, das einen peptide vertritt.
• In der Astrophysik wird Autokorrelation verwendet, um den Raumvertrieb von Milchstraßen im Weltall und in Mehrwellenlänge-Beobachtungen von Niedrigen Massenröntgenstrahl-Dualzahlen zu studieren und zu charakterisieren.
• In Tafel-Daten bezieht sich Raumautokorrelation auf die Korrelation einer Variable mit sich durch den Raum.
• In der Analyse der Kette von Markov Daten von Monte Carlo muss Autokorrelation für den richtigen Fehlerentschluss in Betracht gezogen werden.

Siehe auch

• Autokorrelationstechnik
• Autocorrelator
• Korrelationsfunktion
• Correlogram
• Quer-Korrelation
• Das Problem von Galton
• Teilweise Autokorrelationsfunktion
• Fluoreszenz-Korrelationsspektroskopie
• Optische Autokorrelation
• Wurf-Entdeckungsalgorithmus
• Dreifache Korrelation
• Abweichung
• CUSUM
• Bewertung von Cochrane-Orcutt (Transformation für aufeinander autobezogene Fehlerbegriffe)
• Prais-Winsten Transformation
• Schuppige Korrelation

Links

• Autokorrelationsartikel im Setzer. DSP (DSP Usenet-Gruppe).
• GPU hat Berechnung der Autokorrelationsfunktion beschleunigt.