Der Baire Kategorie-Lehrsatz ist ein wichtiges Werkzeug in der allgemeinen Topologie und Funktionsanalyse. Der Lehrsatz hat zwei Formen, von denen jede genügend Bedingungen für einen topologischen Raum gibt, um ein Raum von Baire zu sein.

Der Lehrsatz wurde von René-Louis Baire seinen 1899 Doktorthese bewiesen.

Behauptung des Lehrsatzes

Ein Baire Raum ist ein topologischer Raum mit dem folgenden Eigentum: Für jede zählbare Sammlung von offenen dichten Sätzen U ist ihre Kreuzung  U dicht.

• (BCT1) Jeder ganze metrische Raum ist ein Raum von Baire. Mehr allgemein ist jeder topologische Raum, der homeomorphic zu einer offenen Teilmenge eines ganzen pseudometrischen Raums ist, ein Raum von Baire. So jeder völlig metrizable topologischer Raum ist ein Raum von Baire.
• (BCT2) Jeder lokal kompakte Raum von Hausdorff ist ein Raum von Baire. Der Beweis ist der vorhergehenden Behauptung ähnlich; das begrenzte Kreuzungseigentum nimmt die durch die Vollständigkeit gespielte Rolle.

Bemerken Sie, dass keine dieser Behauptungen den anderen einbezieht, da es ganze metrische Räume gibt, die nicht lokal kompakt sind (die irrationalen Zahlen mit dem metrischen, das unten definiert ist; auch, jeder Banachraum der unendlichen Dimension), und es gibt lokal kompakten Raum von Hausdorff, die nicht metrizable sind (zum Beispiel, ist jedes unzählbare Produkt von nichttrivialen Kompakträumen von Hausdorff solcher; auch mehrere Funktionsräume in der Funktionsanalyse verwendet; der unzählbare Fort-Raum). Sieh Steen und Seebach in den Verweisungen unten.

• (BCT3) Ein nichtleerer ganzer metrischer Raum ist NICHT die zählbare Vereinigung von nirgends dichten Sätzen (d. h., Sätze, deren Verschluss dichte Ergänzung hat).

Diese Formulierung ist eine Folge von BCT1 und ist manchmal in Anwendungen nützlicher. Auch: Wenn ein nichtleerer ganzer metrischer Raum die zählbare Vereinigung von geschlossenen Sätzen ist, dann hat einer dieser geschlossenen Sätze nicht leeres Interieur.

Beziehung zum Axiom der Wahl

Die Beweise von BCT1 und BCT2 für willkürliche ganze metrische Räume verlangen eine Form des Axioms der Wahl; und tatsächlich ist BCT1 über ZF zu einer schwachen Form des Axioms der Wahl genannt das Axiom von abhängigen Wahlen gleichwertig.

Die eingeschränkte Form des Kategorie-Lehrsatzes von Baire, in dem, wie man auch annimmt, der ganze metrische Raum trennbar ist, ist in ZF ohne zusätzliche auserlesene Grundsätze nachweisbar. Diese eingeschränkte Form gilt insbesondere für die echte Linie, der Raum von Baire ω und der Kantor-Raum 2.

Gebrauch des Lehrsatzes

BCT1 wird in der Funktionsanalyse verwendet, um den offenen kartografisch darstellenden Lehrsatz, den geschlossenen Graph-Lehrsatz und die Uniform boundedness Grundsatz zu beweisen.

BCT1 zeigt auch, dass jeder ganze metrische Raum ohne isolierte Punkte unzählbar ist. (Wenn X ein zählbarer ganzer metrischer Raum ohne isolierte Punkte ist, dann ist jeder Singleton {x} in X nirgends dicht, und so X ist der ersten Kategorie an sich.) Insbesondere beweist das, dass der Satz aller reellen Zahlen unzählbar ist.

BCT1 zeigt, dass jeder des folgenden ein Raum von Baire ist:

• Der Raum R reeller Zahlen
• Die irrationalen Zahlen, mit dem metrischen, das durch d (x, y) = 1 / (n + 1) definiert ist, wo n der erste Index ist, für den sich die fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerungen von x und y unterscheiden (ist das ein ganzer metrischer Raum)
• Der Kantor hat gesetzt

Durch BCT2 ist jede endlich-dimensionale Sammelleitung von Hausdorff ein Raum von Baire, da es lokal kompakt ist und Hausdorff. Das ist so sogar für den nichtparakompakten (folglich nonmetrizable) Sammelleitungen wie die lange Linie.

Beweis

Der folgende ist ein Standardbeweis, dass ein ganzer pseudometrischer Raum ein Raum von Baire ist.

Lassen Sie, eine zählbare Sammlung von offenen dichten Teilmengen zu sein. Wir wollen zeigen, dass die Kreuzung dicht ist. Eine Teilmenge ist dicht, wenn, und nur wenn jede nichtleere offene Teilmenge sie durchschneidet. So, um zu zeigen, dass die Kreuzung dicht ist, ist es genügend zu zeigen, dass jeder nichtleere offene Satz einen Punkt x genau wie ganzer hat. Seitdem ist dicht, schneidet sich; so gibt es einen Punkt und solch dass:

:.

(und zeigen Sie einen offenen Ball an, der an x mit dem Radius r und seinem Verschluss beziehungsweise in den Mittelpunkt gestellt ist.) Seitdem sind auf eine rekursive Weise dicht, wir finden ein Paar von Folgen und solch dass:

: sowie

Seitdem, wenn wir haben, der Cauchy ist, und läuft zu etwas Grenze durch die Vollständigkeit zusammen. Für irgendwelchen, durch closedness,

Folglich, und für alle.

Siehe auch

• Eigentum von Baire

Referenzen

• R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles. Ann. di Mat. 3:1-123, 1899.
• Blair, Charles E. (1977), "Bezieht der Baire Kategorie-Lehrsatz den Grundsatz von abhängigen Wahlen ein.", Stier. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Mathematik. Astronom. Phys. v. 25 n. 10, Seiten 933-934.
• Erhebung, Azriel (1979), Grundlegende Mengenlehre. Nachgedruckt durch Dover, 2002. Internationale Standardbuchnummer 0-486-42079-5
• Schechter, Eric, Handbuch von Analyse und seinen Fundamenten, Akademischer Presse, internationaler Standardbuchnummer 0-12-622760-8
• Lynn Arthur Steen und J. Arthur Seebach der Jüngere. Gegenbeispiele in der Topologie, dem Springer-Verlag, New York, 1978. Nachgedruckt durch Veröffentlichungen von Dover, New York, 1995. Internationale Standardbuchnummer 0 486 68735 X (Ausgabe von Dover).