In der algebraischen Geometrie kann die Dimension einer algebraischen Vielfalt auf verschiedene gleichwertige Weisen definiert werden. Einige von ihnen sind der geometrischen Natur, während einiger anderer rein algebraisch ist und sich auf die Ersatzalgebra verlässt. Einige werden auf algebraische Varianten eingeschränkt, während andere auch für jeden algebraischen Satz gelten.

Lassen Sie V ein algebraischer Satz sein, der als der Satz der allgemeinen Nullen eines Ideales I in einem polynomischen Ring über Feld K definiert ist, und A=R/I die Algebra der Polynome mehr als V sein zu lassen. Dann ist die Dimension V:

• Die maximale Länge der Ketten von verschiedenen nichtleeren Subvarianten.
• Die Krull Dimension von A.
• Die maximale Dimension von Krull der lokalen Ringe an den Punkten V.
• Die maximale Dimension der Tangente-Vektorräume an den nicht einzigartigen Punkten V.
• Die maximale Länge einer regelmäßigen Folge in A.
• Die Zahl von Hyperflugzeugen in der allgemeinen Position, die erforderlich sind, um eine Kreuzung mit V zu haben, der auf eine begrenzte Zahl von Punkten reduziert wird.
• Der Unterschied zwischen n und der maximalen Länge der regelmäßigen Folgen in mir enthalten.
• Der Grad des Polynoms von Hilbert von A.
• Der Grad des Nenners der Reihe von Hilbert Eines
• Wenn ich ein Hauptideal bin (d. h. V ist eine algebraische Vielfalt), der Überlegenheitsgrad über K des Feldes von Bruchteilen von A.

Wenn V eine projektive Vielfalt ist, die durch ein homogenes Ideal I definiert ist, dann müssen die Werte, für die A oder ich ausführlich in vorherigen Definitionen erscheinen, von einem vermindert werden.

Definition durch den Überlegenheitsgrad

Für eine algebraische Vielfalt V über Feld K ist die Dimension V der Überlegenheitsgrad über K der Funktion Feld K (V) aller vernünftigen Funktionen auf V, mit Werten in K.

Für das Funktionsfeld, um sogar V definiert zu werden, muss hier ein nicht zu vereinfachender algebraischer Satz sein; in welchem Fall das Funktionsfeld (für eine affine Vielfalt) gerade das Feld von Bruchteilen des Koordinatenrings V ist. Mit polynomischen Gleichungen ist es leicht, Sätze zu definieren, die Dimension 'gemischt haben': eine Vereinigung einer Kurve und eines Flugzeugs im Raum, zum Beispiel. Diese scheitern, nicht zu vereinfachend zu sein.