Der Raumwinkel, Ω, ist der zweidimensionale Winkel im dreidimensionalen Raum, den ein Gegenstand an einem Punkt entgegensetzt. Es ist ein Maß dessen, wie groß, dass Gegenstand einem Beobachter erscheint, der von diesem Punkt schaut. Ein kleiner Gegenstand kann in der Nähe denselben Raumwinkel wie ein größerer Gegenstand weiter weg entgegensetzen (zum Beispiel, der kleine/nahe Mond kann die große/entfernte Sonne völlig verfinstern, weil, wie beobachtet, von einem Punkt auf der Erde, beide Gegenstände fast denselben Betrag des Himmels füllen). Ein Raumwinkel eines Gegenstands ist dem Gebiet des Segmentes des Einheitsbereichs (in den Mittelpunkt gestellt am Scheitelpunkt des Winkels) eingeschränkt durch den Gegenstand (diese Definition Arbeiten in jeder Dimension, einschließlich 1D gleich und 2.). Ein Raumwinkel kommt dem Gebiet eines Segmentes des Einheitsbereichs ebenso gleich ein planarer Winkel kommt der Länge eines Kreisbogens des Einheitskreises gleich.

Die SI-Einheiten des Raumwinkels sind Steradiant (hat "sr" abgekürzt). Aus dem Gesichtswinkel von der Mathematik und Physik ist ein Raumwinkel ohne Dimension und hat keine Einheiten, so könnte "sr" in wissenschaftlichen Texten ausgelassen werden. Der Raumwinkel eines Bereichs, der von einem Punkt in seinem Interieur gemessen ist, ist 4π sr, und der Raumwinkel, der am Zentrum eines Würfels durch eines seiner Gesichter entgegengesetzt ist, ist ein sechstes davon oder 2π/3 sr. Raumwinkel können auch in Quadratgraden (1 sr = Grad (des 180/π) Square) oder in Bruchteilen des Bereichs (d. h., Bruchgebiet), 1 sr = 1/4π Bruchgebiet gemessen werden.

In kugelförmigen Koordinaten gibt es eine einfache Formel als

:

Der Raumwinkel für eine willkürliche orientierte Oberfläche S entgegengesetzt an einem Punkt P ist dem Raumwinkel des Vorsprungs des gleich

erscheinen Sie S zum Einheitsbereich mit dem Zentrum P, der als das Oberflächenintegral berechnet werden kann:

:

wo die Vektor-Position eines unendlich kleinen Gebiets der Oberfläche in Bezug auf den Punkt P ist, und wo den Einheitsvektor vertritt, der dazu normal ist. Selbst wenn der Vorsprung auf dem Einheitsbereich zur Oberfläche S nicht isomorph ist, werden die vielfachen Falten gemäß der durch das Zeichen des Skalarprodukts beschriebenen Oberflächenorientierung richtig betrachtet.

Praktische Anwendungen

• Das Definieren der Leuchtintensität und Klarheit
• Das Rechnen kugelförmigen Übermaßes E eines kugelförmigen Dreiecks
• Die Berechnung von Potenzialen durch das Verwenden der Grenzelement-Methode (BEM)

Wenn Sie

• die Größe von ligands in Metallkomplexen bewerten, sieh ligand Kegel angeln.
• Das Rechnen der elektrischen magnetischen und Feldfeldkraft um den Anklage-Vertrieb.
• Das Abstammen des Gesetzes von Gauss.
• Das Rechnen emissive Macht und Ausstrahlen in der Wärmeübertragung.
• Das Rechnen böser Abteilungen in Rutherford, der sich zerstreut.
• Das Rechnen böser Abteilungen im Zerstreuen von Raman.
• Der Raumwinkel des Annahmekegels des Glasfaserleiters

Raumwinkel für allgemeine Gegenstände

Kegel, kugelförmige Kappe, Halbkugel

Der Raumwinkel eines Kegels mit dem Spitze-Winkel, ist das Gebiet einer kugelförmigen Kappe auf einem Einheitsbereich

:

(Das obengenannte Ergebnis wird durch die Computerwissenschaft des folgenden doppelten integrierten Verwendens des Einheitsoberflächenelements in kugelförmigen Koordinaten gefunden):

:

Vor mehr als 2200 Jahren hat Archimedes ohne den Gebrauch der Rechnung bewiesen, dass die Fläche einer kugelförmigen Kappe immer dem Gebiet eines Kreises gleich war, dessen Radius der Entfernung vom Rand der kugelförmigen Kappe zum Punkt gleich war, wo die Achse der Kappe der Symmetrie die Kappe durchschneidet. Im Diagramm gegenüber diesem Radius wird als gegeben:

:

Folglich für einen Einheitsbereich wird der Raumwinkel der kugelförmigen Kappe als gegeben:

:

Wenn die kugelförmige Kappe eine Halbkugel wird, die einen Raumwinkel 2π hat.

Der Raumwinkel der Ergänzung des Kegels (stellen eine Melone mit dem Kegel ausgeschnitten dar), ist klar:

:

Ein terran astronomischer an der Breite eingestellter Beobachter kann das viel vom himmlischen Bereich sehen, als die Erde, d. h. ein Verhältnis rotiert

:

Am Äquator sehen Sie den ganzen himmlischen Bereich, an jedem Pol nur eine Hälfte.

Ein Segment eines Kegels, der durch ein Flugzeug im Winkel von der Achse des Kegels geschnitten ist, kann durch die Formel berechnet werden:

:

\arccos \frac {\\Lohe \gamma} {\\Lohe \theta} \right). \,\</Mathematik>

Tetraeder

Lassen Sie OABC die Scheitelpunkte eines Tetraeders mit einem Ursprung an durch das Dreiecksgesichtsabc entgegengesetztem O sein, wo die Vektor-Positionen der Scheitelpunkte A, B und C sind. Definieren Sie den Scheitelpunkt-Winkel, um der Winkel BOC zu sein und entsprechend zu definieren. Lassen Sie, der zweiflächige Winkel zwischen den Flugzeugen zu sein, die die vierflächigen Gesichter OAC und OBC enthalten und entsprechend definieren. Der Raumwinkel am entgegengesetzten durch das Dreiecksoberflächenabc wird durch gegeben

:

Das folgt aus der Theorie des kugelförmigen Übermaßes, und es führt zur Tatsache, dass es einen analogen Lehrsatz zum Lehrsatz gibt, dass "Die Summe von inneren Winkeln eines planaren Dreiecks", für die Summe der vier inneren Raumwinkel eines Tetraeders wie folgt gleich ist:

:

wo Reihen über alle sechs des Dieders zwischen irgendwelchen zwei Flugzeugen angeln, die die vierflächigen Gesichter OAB, OAC, OBC und Abc enthalten.

Ein effizienter Algorithmus, für den Raumwinkel am entgegengesetzten durch das Dreiecksoberflächenabc zu berechnen, wo die Vektor-Positionen der Scheitelpunkte A, B und C sind, ist von Oosterom und Strackee gegeben worden:

:

\tan \left (\frac {1} {2} \Omega \right)

\frac {Alphabet + (\vec ein \cdot \vec b) c + (\vec ein \cdot \vec c) b + (\vec b \cdot \vec c)},

</Mathematik>

wo

:

zeigt die Determinante der Matrix an, die resultiert, wenn sie die Vektoren zusammen hintereinander z.B und so weiter schreibt — ist das auch zum dreifachen Skalarprodukt der drei Vektoren gleichwertig;

: ist die Vektor-Darstellung des Punkts A, während der Umfang dieses Vektoren (die Entfernung des Ursprung-Punkts) ist;

: zeigt das Skalarprodukt an.

Wenn das Einführen der obengenannten Gleichungssorge mit der Funktion genommen werden muss, negative oder falsche Raumwinkel zu vermeiden. Eine Quelle von potenziellen Fehlern ist, dass die Determinante negativ sein kann, wenn a, b, c das falsche Winden haben. Computerwissenschaft ist eine genügend Lösung, da kein anderer Teil der Gleichung vom Winden abhängt. Die andere Falle entsteht, wenn die Determinante positiv ist, aber der Teiler ist negativ. In diesem Fall gibt einen negativen Wert zurück, der dadurch beeinflusst werden muss.

von scipy importieren Punkt, arctan2, Pi

von scipy.linalg importieren Norm, det

def tri_projection (a, b, c):

" ""Gegeben drei 3 Vektoren, a, b, und c. """

determ = det ((a, b, c))

al = Norm (ein)

Fass = Norm (b)

Kl. = Norm (c)

div = al*bl*cl + Punkt (a, b) *cl + Punkt (a, c) *bl + Punkt (b, c) *al

an = arctan2 (determ, div)

wenn daran

Eine andere nützliche Formel, für den Raumwinkel des Tetraeders am Ursprung O zu berechnen, der rein eine Funktion der Scheitelpunkt-Winkel ist, wird durch gegeben

L' der Lehrsatz von Huilier als

:

\sqrt {\tan \left (\frac {\\theta_s} {2 }\\Recht) \tan \left (\frac {\\theta_s - \theta_a} {2 }\\Recht) \tan \left (\frac {\\theta_s - \theta_b} {2 }\\Recht) \tan \left (\frac {\\theta_s - \theta_c} {2 }\\Recht)} </Mathematik>

wo:

Pyramide

Der Raumwinkel einer vierseitigen richtigen rechteckigen Pyramide mit Spitze-Winkeln und (zweiflächige Winkel, die zu den Gegenseite-Gesichtern der Pyramide gemessen sind), ist

:

Wenn sowohl die Seitenlängen (α als auch der β) der Basis der Pyramide und der Entfernung (d) vom Zentrum des Grundrechtecks zur Spitze der Pyramide (das Zentrum des Bereichs) bekannt sind, dann kann die obengenannte Gleichung manipuliert werden, um zu geben

:

Der Raumwinkel eines Rechts n-gonal Pyramide, wo die Pyramide-Basis ein regelmäßiges n-sided Vieleck von circumradius (r) mit einem ist

Pyramide-Höhe (h) ist

:

Der Raumwinkel einer willkürlichen Pyramide, die durch die Folge von Einheitsvektoren definiert ist, die Ränder vertreten, kann effizient geschätzt werden durch:

:

\left (\left (s_ {j-1} s_j \right) \left (s_ {j} s_ {j+1} \right) - \left (s_ {j-1} s_ {j+1} \right) -

ich [s_ {j-1} s_j s_ {j+1}] \right)

</Mathematik>

wo Parenthesen Skalarprodukt sind und eckige Klammern ein dreifaches Skalarprodukt ist, und eine imaginäre Einheit ist. Indizes werden periodisch wiederholt: und.

Rechteck der Breite-Länge

Der Raumwinkel eines Rechtecks der Breite-Länge auf einem Erdball ist, wo und Nord- und Südlinien der Breite (gemessen vom Äquator in radians mit dem Winkel sind, der nordwärts zunimmt), und und Ost- und Westlinien der Länge sind (wo der Winkel in radians ostwärts zunimmt). Mathematisch vertritt das einen Kreisbogen des Winkels, der um einen Bereich durch radians gekehrt ist. Wenn Länge-Spannen 2π radians und Breite π radians abmessen, ist der Raumwinkel der eines Bereichs.

Ein Rechteck der Breite-Länge sollte mit dem Raumwinkel einer rechteckigen Pyramide nicht verwirrt sein. Alle vier Seiten einer rechteckigen Pyramide schneiden die Oberfläche des Bereichs in großen Kreiskreisbogen durch. Mit einem Rechteck der Breite-Länge sind nur Linien der Länge große Kreiskreisbogen; Linien der Breite sind nicht.

Sonne und Mond

Die Sonne und der Mond werden beide von der Erde an einem offenbaren Diameter von ungefähr 0.5 °, so sie jeder Deckel ein Raumwinkel von ungefähr 0.20 deg oder Quadratgraden, so sie jeder Deckel ein Bruchgebiet von etwa 0.00047 % des himmlischen Gesamtbereichs gesehen, der ungefähr 6 Steradiant ist.

Raumwinkel in willkürlichen Dimensionen

Der Raumwinkel, der durch die volle Oberfläche des EinheitsN-Bereichs (im Sinn des geometer) entgegengesetzt ist, kann in jeder Zahl von Dimensionen definiert werden. Man braucht häufig diesen Raumwinkel-Faktor in Berechnungen mit der kugelförmigen Symmetrie. Es wird durch die Formel gegeben

:

\Omega_ {d }\

\frac {2\pi^ {d/2}} {\\Gamma (\frac {d} {2}) }\

</Mathematik>

wo die Gammafunktion ist. Wenn eine ganze Zahl ist, kann die Gammafunktion ausführlich geschätzt werden. Hieraus folgt dass

:\Omega_ {d }\

\begin {Fälle }\

\frac {2\pi^ {d/2}} {\left (\frac {d} {2} \right)!} & d = 0\(mod\2) \\

\frac {2^d\left (\frac {d-1} {2} \right)!} {(d-1)!} \pi^ {(d-1)/2} & d \ne 0\(mod\2)

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Das gibt die erwarteten Ergebnisse 2π rad für den 2. Kreisumfang und 4π sr für den 3D-Bereich. Es wirft auch die ein bisschen weniger offensichtlichen 2 für 1D Fall, in dem die Ursprung - Einheit "Bereich" der Satz ist, der tatsächlich ein Maß 2 hat.

• Arthur P. Norton, Ein Sternatlas, Gall und Inglis, Edinburgh, 1969
• F. M. Jackson, Polytopes im Euklidischen N-Raum. Inst. Mathematik. Appl. Stier. (Das Vereinigte Königreich) 29, 172-174, November/Dez. 1993.
• M. G. Kendall, Ein Kurs in der Geometrie von N Dimensionen, Nr. 8 der Statistischen Monografien des Greifs & Kurse, Hrsg. M. G. Kendall, Charles Griffin & Co. Ltd, London, 1961