In der Mathematik, spezifisch im Feld der begrenzten Gruppentheorie, sind die Lehrsätze von Sylow eine Sammlung von Lehrsätzen genannt nach dem norwegischen Mathematiker Ludwig Sylow (1872), die ausführliche Information über die Zahl von Untergruppen der festen Ordnung geben, die eine gegebene begrenzte Gruppe enthält. Die Lehrsätze von Sylow bilden einen grundsätzlichen Teil der begrenzten Gruppentheorie und haben sehr wichtige Anwendungen in der Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen.

Für eine Primzahl p ist eine P-Untergruppe von Sylow (manchmal p-Sylow Untergruppe') einer Gruppe G eine maximale P-Untergruppe von G, d. h., eine Untergruppe von G, der eine P-Gruppe ist (so dass die Ordnung jedes Gruppenelements eine Macht von p ist), und der nicht eine richtige Untergruppe jeder anderen P-Untergruppe von G ist. Der Satz aller P-Untergruppen von Sylow für einen gegebenen ersten p ist manchmal schriftlicher Syl (G).

Die Sylow Lehrsätze behaupten einen teilweisen gegenteiligen zum Lehrsatz von Lagrange, der für jede begrenzte Gruppe G die Ordnung (Zahl der Elemente) jeder Untergruppe von G die Ordnung von G teilt. Für jeden Hauptfaktor p der Ordnung einer begrenzten Gruppe G, dort besteht eine P-Untergruppe von Sylow von G. Die Ordnung einer P-Untergruppe von Sylow einer begrenzten Gruppe G ist p, wo n die Vielfältigkeit von p in der Ordnung von G ist, und jede Untergruppe des Auftrags p eine P-Untergruppe von Sylow von G ist. Die Sylow P-Untergruppen einer Gruppe (für festen Hauptp) sind zu einander verbunden. Die Zahl von P-Untergruppen von Sylow einer Gruppe für festen ersten p ist zu kongruent

Lehrsätze von Sylow

Sammlungen von Untergruppen, die jeder maximal in gewisser Hinsicht sind oder ist ein anderer in der Gruppentheorie üblich. Das überraschende Ergebnis hier besteht darin, dass im Fall von Syl (G) alle Mitglieder zu einander wirklich isomorph sind und die größtmögliche Ordnung haben: Wenn |G = Premierminister damit, wo p M nicht teilt, dann hat jede P-Untergruppe von Sylow P Ordnung |P = p. D. h. P ist eine P-Gruppe und gcd (|G:P, p) = 1. Diese Eigenschaften können ausgenutzt werden, um weiter die Struktur von G zu analysieren.

Die folgenden Lehrsätze wurden zuerst vorgeschlagen und von Ludwig Sylow 1872 bewiesen, und in Mathematische Annalen veröffentlicht.

Lehrsatz 1: Für jeden Hauptfaktor p mit der Vielfältigkeit n der Ordnung einer begrenzten Gruppe G, dort besteht eine P-Untergruppe von Sylow von G des Auftrags p.

Die folgende schwächere Version des Lehrsatzes 1 wurde zuerst von Cauchy bewiesen.

Folgeerscheinung: In Anbetracht einer begrenzten Gruppe G und einer Primzahl p das Teilen der Ordnung von G, dann dort besteht ein Element des Auftrags p in G.

Lehrsatz 2: In Anbetracht einer begrenzten Gruppe G und einer Primzahl p sind alle P-Untergruppen von Sylow von G zu einander verbunden, d. h. wenn H und K P-Untergruppen von Sylow von G sind, dann dort besteht ein Element g in G mit gHg = K.

Lehrsatz 3: Lassen Sie p ein Hauptfaktor mit der Vielfältigkeit n der Ordnung einer begrenzten Gruppe G sein, so dass die Ordnung von G als geschrieben werden kann, wo und p M nicht teilt. Lassen Sie n die Zahl von P-Untergruppen von Sylow von G sein. Dann hält der folgende:

• n teilt M, die der Index der P-Untergruppe von Sylow in G ist.
• n  1 mod p.
• n = G: N (P) wo P jede P-Untergruppe von Sylow von G und N ist, zeigt den normalizer an.

Folgen

Die Sylow Lehrsätze deuten an, dass für eine Primzahl p jede P-Untergruppe von Sylow von derselben Ordnung, p ist. Umgekehrt, wenn eine Untergruppe Auftrag p hat, dann ist es eine P-Untergruppe von Sylow, und ist so zu jeder anderen P-Untergruppe von Sylow isomorph. Wegen der maximality Bedingung, wenn H eine P-Untergruppe von G ist, dann ist H eine Untergruppe einer P-Untergruppe des Auftrags p.

Eine sehr wichtige Folge des Lehrsatzes 2 ist, dass die Bedingung n = 1 zum Ausspruch gleichwertig ist, dass die P-Untergruppe von Sylow von G eine normale Untergruppe ist

(es gibt Gruppen, die normale Untergruppen, aber keine normalen Untergruppen von Sylow, wie S haben).

Lehrsätze von Sylow für unendliche Gruppen

Es gibt eine Entsprechung der Lehrsätze von Sylow für unendliche Gruppen. Wir definieren eine P-Untergruppe von Sylow in einer unendlichen Gruppe, um eine P-Untergruppe zu sein (d. h. jedes Element darin hat P-Macht-Ordnung), der für die Einschließung unter allen P-Untergruppen in der Gruppe maximal ist. Solche Untergruppen bestehen durch das Lemma von Zorn.

Lehrsatz: Wenn K eine P-Untergruppe von Sylow von G ist, und n = |Cl (K) | begrenzt ist, dann ist jede P-Untergruppe von Sylow zu K und n  1 mod p verbunden, wo Kl. (K) die conjugacy Klasse von K anzeigt.

Beispiele

Eine einfache Illustration von Untergruppen von Sylow und den Lehrsätzen von Sylow ist die zweiflächige Gruppe des n-gon Für den seltsamen n, ist die höchste Macht von 2 Teilen der Ordnung, und so sind Untergruppen des Auftrags 2 Untergruppen von Sylow. Das sind die Gruppen, die durch ein Nachdenken erzeugt sind, dessen es n gibt, und sie alle unter Folgen verbunden sind; geometrisch führen die Äxte der Symmetrie einen Scheitelpunkt und eine Seite durch. Im Vergleich, wenn n sogar ist, dann 4 teilt die Ordnung der Gruppe, und das sind nicht mehr Untergruppen von Sylow, und tatsächlich fallen sie in zwei conjugacy Klassen, geometrisch gemäß, ob sie zwei Scheitelpunkte oder zwei Gesichter durchführen. Diese sind durch einen Außenautomorphism verbunden, der durch die Folge durch die Hälfte der minimalen Folge in der zweiflächigen Gruppe vertreten werden kann.

Beispiel-Anwendungen

Zyklische Gruppenordnungen

Einige Zahlen n sind solch, dass jede Gruppe des Auftrags n zyklisch ist. Man kann zeigen, dass n = 15 solch eine Zahl mit den Lehrsätzen von Sylow ist: Lassen Sie G eine Gruppe des Auftrags 15 = 3 sein · 5 und n, die Zahl von 3 Untergruppen von Sylow sein. Dann und. Der einzige Wert, der diese Einschränkungen befriedigt, ist 1; deshalb gibt es nur eine Untergruppe des Auftrags 3, und es muss normal sein (da es nicht verschieden hat, paart sich). Ähnlich muss sich n 3 teilen, und n muss 1 (mod 5) gleich sein; so muss es auch eine einzelne normale Untergruppe des Auftrags 5 haben. Seitdem 3 und 5 sind coprime, die Kreuzung dieser zwei Untergruppen ist trivial, und so muss G das innere direkte Produkt von Gruppen des Auftrags 3 und 5 sein, der die zyklische Gruppe des Auftrags 15 ist. So gibt es nur eine Gruppe des Auftrags 15 (bis zum Isomorphismus).

Kleine Gruppen sind nicht einfach

Ein komplizierteres Beispiel schließt die Ordnung der kleinsten einfachen Gruppe ein, die nicht zyklisch ist. Der pq Lehrsatz von Burnside stellt fest, dass, wenn die Ordnung einer Gruppe das Produkt von zwei Hauptmächten ist, dann ist es lösbar, und so ist die Gruppe nicht einfach, oder ist der Hauptordnung und zyklisch ist. Das schließt jede Gruppe bis zum Auftrag 30 aus (= 2 · 3 · 5).

Wenn G, und |G = 30 einfach ist, dann muss sich n 10 teilen (= 2 · 5), und muss n 1 (mod 3) gleich sein. Deshalb n = 10, seitdem weder 4 noch 7 teilt sich 10, und wenn n = 1 dann, als oben, G eine normale Untergruppe des Auftrags 3 haben würde und nicht einfach sein konnte. G hat dann 10 verschiedene zyklische Untergruppen des Auftrags 3, von denen jede 2 Elemente des Auftrags 3 (plus die Identität) hat. Das bedeutet, dass G mindestens 20 verschiedene Elemente des Auftrags 3 hat. Ebenso, n = 6, da muss sich n 6 teilen (= 2 · 3), und muss n 1 (mod 5) gleich sein. So G hat auch 24 verschiedene Elemente des Auftrags 5. Aber die Ordnung von G ist nur 30, so kann eine einfache Gruppe des Auftrags 30 nicht bestehen.

Dann nehmen Sie |G = 42 = 2 an · 3 · 7. Hier muss sich n 6 teilen (= 2 · 3) und muss n 1 (mod 7), so n = 1 gleich sein. Also, wie zuvor kann G nicht einfach sein.

Andererseits für |G = 60 = 2 · 3 · 5, dann n = 10 und n = 6 ist vollkommen möglich. Und tatsächlich ist die kleinste einfache nichtzyklische Gruppe A, die Wechselgruppe mehr als 5 Elemente. Es hat Auftrag 60, und hat 24 zyklische Versetzungen des Auftrags 5 und 20 des Auftrags 3.

Fusionsergebnisse

Das Argument von Frattini zeigt, dass eine Untergruppe von Sylow einer normalen Untergruppe einen factorization einer begrenzten Gruppe zur Verfügung stellt. Eine geringe als der Fusionslehrsatz von Burnside bekannte Generalisation stellt dass fest, wenn G eine begrenzte Gruppe mit der P-Untergruppe von Sylow P und den zwei Teilmengen A und durch P normalisierter B ist, dann sind A und B G-conjugate, wenn, und nur wenn sie N (P) - verbunden sind. Der Beweis ist eine einfache Anwendung des Lehrsatzes von Sylow: Wenn B=A, dann enthält der normalizer von B nicht nur P sondern auch P (da P im normalizer von A enthalten wird). Durch den Lehrsatz von Sylow sind P und P nicht nur in G, aber im normalizer von B verbunden. Folglich normalisiert gh P für einen h, der B, und dann = B = B normalisiert, so dass A und B N (P) - verbunden sind. Der Fusionslehrsatz von Burnside kann verwendet werden, um mehr Macht factorization zu geben, hat ein halbdirektes Produkt genannt: wenn G eine begrenzte Gruppe ist, deren P-Untergruppe von Sylow P im Zentrum seines normalizer enthalten wird, dann hat G eine normale Untergruppe K von der Ordnung coprime zu P, G = PK und PK = 1, d. h. G sind p-nilpotent.

Weniger triviale Anwendungen der Lehrsätze von Sylow schließen den im Brennpunkt stehenden Untergruppe-Lehrsatz ein, der die Kontrolle studiert, die eine P-Untergruppe von Sylow der abgeleiteten Untergruppe auf der Struktur der kompletten Gruppe hat. Diese Kontrolle wird in mehreren Stufen der Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen ausgenutzt, und definiert zum Beispiel die Fall-Abteilungen, die im Lehrsatz von Alperin-Brauer-Gorenstein verwendet sind, der begrenzte einfache Gruppen klassifiziert, deren 2-Untergruppen-Sylow eine quasizweiflächige Gruppe ist. Diese verlassen sich auf die Stärkung von J. L. Alperin des conjugacy Teils des Lehrsatzes von Sylow, um zu kontrollieren, welche Sorten von Elementen in der Konjugation verwendet werden.

Beweis der Lehrsätze von Sylow

Die Sylow Lehrsätze sind auf mehrere Weisen bewiesen worden, und die Geschichte der Beweise selbst ist das Thema von vielen Papieren einschließlich, und einigermaßen.

Ein Beweis der Lehrsätze von Sylow nutzt den Begriff der Gruppenhandlung auf verschiedene kreative Weisen aus. Die Gruppe G folgt sich oder auf dem Satz seiner P-Untergruppen auf verschiedene Weisen, und jede solche Handlung kann ausgenutzt werden, um einen der Lehrsätze von Sylow zu beweisen. Die folgenden Beweise basieren auf kombinatorischen Argumenten dessen. Im folgenden verwenden wir | b als Notation für "ein Teilen b" und einen b für die Ablehnung dieser Behauptung.

Lehrsatz 1: Eine begrenzte Gruppe G, dessen Ordnung |G durch eine Hauptmacht p teilbar ist, hat eine Untergruppe des Auftrags p.

Beweis: Lassen Sie |G = Premierminister = pu solch, dass p u nicht teilt, und Ω den Satz von Teilmengen von G der Größe p anzeigen lässt. G folgt Ω durch die linke Multiplikation. Die Bahnen

Gω = {gω g  G} des ω  Ω sind die Gleichwertigkeitsklassen unter der Handlung von G.

Für jeden ω  denken Ω seine Ausgleicher-Untergruppe G.

Für jedes feste Element α  ω die Funktion [g  gα] stellt G zu ω injectively kartografisch dar: Für irgendwelche zwei g h  G haben wir das gα = hα bezieht g = h ein, weil α  ω  G bedeutet, dass man rechts annullieren kann. Deshalb p = ω  |G.

Andererseits

:

M \prod_ {j

1\^ {P^ {k} - 1} \frac {p^ {k - \nu_p (j)} M - j/p^ {\\nu_p (j)}} {p^ {k - \nu_p (j)} - j/p^ {\\nu_p (j)}}

</Mathematik>

und keine Macht von p bleibt in einigen der Faktoren innerhalb des Produktes rechts.

Folglich ν (Ω) = ν (m) = r.

Lassen Sie R  Ω eine ganze Darstellung aller Gleichwertigkeitsklassen unter der Handlung von G sein. Dann,

:

So, dort besteht ein Element ω  R solch dass s: = ν

ν (|Ω |) = r. Folglich |Gω = pv, wo p v nicht teilt.

Durch den Bahn-Lehrsatz des Ausgleichers

wir haben

G = G / Gω = pu / v. Deshalb

p | |G, so p  |G und

G ist die gewünschte Untergruppe.

Lemma: Lassen Sie G eine begrenzte P-Gruppe sein, G einem begrenzten Satz Ω folgen lassen, und Ω den Satz von Punkten von Ω anzeigen lassen, die unter der Handlung von G befestigt werden. Dann | Ω |  | Ω mod p.

Beweis: Schreiben Sie Ω als eine zusammenhanglose Summe seiner Bahnen unter G. Jedes Element x  Ω nicht befestigt durch G wird in einer Bahn der Ordnung |G / | G liegen (wo G den Ausgleicher anzeigt), der ein Vielfache von p durch die Annahme ist. Das Ergebnis folgt sofort.

Lehrsatz 2: Wenn H eine P-Untergruppe von G ist und P eine P-Untergruppe von Sylow von G ist, dann dort besteht ein Element g in solchem G dass gHg  P. Insbesondere alle P-Untergruppen von Sylow von G sind zu einander verbunden (und deshalb isomorph), d. h. wenn H und K P-Untergruppen von Sylow von G sind, dann dort besteht ein Element g in G mit gHg = K.

Beweis: Lassen Sie Ω der Satz von linkem cosets von P in G sein und H Ω durch die linke Multiplikation folgen zu lassen. Das Lemma auf H auf Ω anwendend, sehen wir dass | Ω  | Ω | = [G: P] mod p. Jetzt p [G: P] definitionsgemäß so p | Ω, folglich insbesondere | Ω  0, also dort besteht ein gP  Ω. Hieraus folgt dass für einen g  G und  h  H wir hgP = gP so ghgP  P und deshalb gHg  P haben. Jetzt, wenn H eine P-Untergruppe von Sylow, |H = |P = |gPg so dass H = gPg für einen g  G ist.

Lehrsatz 3: Lassen Sie q die Ordnung jeder P-Untergruppe von Sylow einer begrenzten Gruppe G anzeigen. Dann n | |G/q und n  1 mod p.

Beweis: Durch den Lehrsatz 2, n = [G: N (P)], wo P jede solche Untergruppe ist, und zeigt N (P) den normalizer von P in G an, so ist diese Zahl ein Teiler von |G/q. Lassen Sie Ω der Satz aller P-Untergruppen von Sylow von G sein, und P Ω durch die Konjugation folgen zu lassen. Lassen Sie Q  Ω und bemerken Sie dass dann Q = xQx für den ganzen x  P so dass P  N (Q). Durch den Lehrsatz 2 sind P und Q in N (Q) verbunden, insbesondere und Q ist in N (Q), so dann P = Q normal. Hieraus folgt dass Ω = {P} so dass, durch das Lemma, | Ω |  | Ω = 1 mod p.

Algorithmen

Das Problem, eine Untergruppe von Sylow einer gegebenen Gruppe zu finden, ist ein wichtiges Problem in der rechenbetonten Gruppentheorie.

Ein Beweis der Existenz von P-Untergruppen von Sylow ist konstruktiv: Wenn H eine P-Untergruppe von G ist und der Index [G:H] durch p teilbar ist, dann ist der normalizer N = N (H) H in G auch solch, dass [N:H] durch p teilbar ist. Mit anderen Worten kann ein polyzyklisches Erzeugen-System einer P-Untergruppe von Sylow durch das Starten von jeder P-Untergruppe H (einschließlich der Identität) und die Einnahme von Elementen der P-Macht-Ordnung gefunden werden, die im normalizer von H, aber nicht in H selbst enthalten ist. Die algorithmische Version davon (und viele Verbesserungen) wird in der Lehrbuch-Form in einschließlich des Algorithmus beschrieben, der darin beschrieben ist. Diese Versionen werden noch im LÜCKE-Computeralgebra-System verwendet.

In Versetzungsgruppen ist es darin bewiesen worden dass eine P-Untergruppe von Sylow und sein normalizer in der polynomischen Zeit des Eingangs (der Grad der Gruppenzeiten die Zahl von Generatoren) gefunden werden können. Diese Algorithmen werden in der Lehrbuch-Form darin beschrieben, und werden jetzt praktisch, weil die konstruktive Anerkennung von begrenzten einfachen Gruppen eine Wirklichkeit wird. Insbesondere Versionen dieses Algorithmus werden im Magma-Computeralgebra-System verwendet.

Siehe auch

• Das Argument von Frattini
• Saal-Untergruppe
• Maximale Untergruppe

Zeichen

Beweise

Algorithmen