In der Kategorie-Theorie, einem Zweig der Mathematik, gewinnt der abstrakte Begriff einer Grenze die wesentlichen Eigenschaften von universalen Aufbauten wie Produkte und umgekehrte Grenzen.

Der Doppelbegriff eines colimit verallgemeinert Aufbauten wie zusammenhanglose Vereinigungen, direkte Summen, coproducts, pushouts und direkte Grenzen.

Grenzen und colimits, wie die stark zusammenhängenden Begriffe von universalen Eigenschaften und adjoint functors, bestehen an einem hohen Niveau der Abstraktion. Um sie zu verstehen, ist es nützlich, zuerst die spezifischen Beispiele zu studieren, die diese Konzepte gemeint werden, um zu verallgemeinern.

Definition

Grenzen und colimits in einer Kategorie C werden mittels Diagramme in C definiert. Formell ist ein Diagramm des Typs J in C ein functor von J bis C:

:F: J → C.

Von der Kategorie J wird als Index-Kategorie gedacht, und vom Diagramm F wird als das Indexieren einer Sammlung von Gegenständen und morphisms in nach J gestaltetem C gedacht. Die wirklichen Gegenstände und morphisms in J sind der Weg größtenteils irrelevant-einzig, auf den sie zueinander in Beziehung gebrachte Sachen sind.

Man interessiert sich meistenteils für den Fall, wo die Kategorie J eine kleine oder sogar begrenzte Kategorie ist. Wie man sagt, ist ein Diagramm klein oder begrenzt, wann auch immer J ist.

Grenzen

Lässt F: J  C, ein Diagramm des Typs J in einer Kategorie C sein. Ein Kegel zu F ist ein Gegenstand N C zusammen mit einer Familie ψ: N  F (X) von morphisms, die durch die Gegenstände von J mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind, solch dass für jeden morphism f: X  Y in J, wir haben F (f) o ψ = ψ.

Eine Grenze des Diagramms F: J  ist C ein Kegel (L, φ) zu solchem F, dass für jeden anderen Kegel (N, ψ) zu F dort ein einzigartiger morphism u besteht: N  L solch dass φ o u = ψ für alle X in J.

Man sagt dass der Kegel (N, ψ) Faktoren durch den Kegel (L, φ) mit

der einzigartige factorization u. Der morphism u wird manchmal das Vermitteln morphism genannt.

Grenzen werden auch universale Kegel genannt, da sie durch ein universales Eigentum charakterisiert werden (sieh unten für mehr Information). Als mit jedem universalen Eigentum beschreibt die obengenannte Definition einen Gleichgewichtszustand der Allgemeinheit: Der Grenze-Gegenstand L muss allgemein genug sein, um jeden anderen Kegel dem Faktor dadurch zu erlauben; andererseits muss L genug spezifisch sein, so dass nur ein solcher factorization für jeden Kegel möglich ist.

Grenzen können auch als Endgegenstände in der Kategorie von Kegeln zu F charakterisiert werden.

Es ist möglich, dass ein Diagramm keine Grenze überhaupt hat. Jedoch, wenn ein Diagramm wirklich eine Grenze dann hat, ist diese Grenze im Wesentlichen einzigartig: Es ist bis zu einem einzigartigen Isomorphismus einzigartig. Aus diesem Grund spricht man häufig von der Grenze von F.

Colimits

Die Doppelbegriffe von Grenzen und Kegeln sind colimits und Co-Kegel. Obwohl es aufrichtig ist, um die Definitionen von diesen durch das Umkehren des ganzen morphisms in den obengenannten Definitionen zu erhalten, werden wir sie hier ausführlich festsetzen:

Ein Co-Kegel eines Diagramms F: J  ist C ein Gegenstand N C zusammen mit einer Familie von morphisms

:ψ: F (X)  N

für jeden Gegenstand X von J, solch dass für jeden morphism f: X  Y in J, wir haben ψ o F (f) = ψ.

Ein colimit eines Diagramms F: J  ist C ein Co-Kegel (L) solchen F, dass für jeden anderen Co-Kegel (N, ψ) F dort ein einzigartiger morphism u besteht: L  N solch dass u o = ψ für alle X in J.

Colimits werden auch universale Co-Kegel genannt. Sie können als anfängliche Gegenstände in der Kategorie von Co-Kegeln von F charakterisiert werden.

Als mit Grenzen, wenn ein Diagramm F einen colimit dann hat, ist dieser colimit bis zu einem einzigartigen Isomorphismus einzigartig.

Schwankungen

Grenzen und colimits können auch für Sammlungen von Gegenständen und morphisms ohne den Gebrauch von Diagrammen definiert werden. Die Definitionen sind dasselbe (bemerken Sie, dass in Definitionen oben wir nie Zusammensetzung von morphisms in J verwenden mussten). Diese Schwankung fügt jedoch keine neue Information hinzu. Jede Sammlung von Gegenständen und morphisms definiert (vielleicht groß) geleiteter Graph G. Wenn wir J die freie durch G erzeugte Kategorie sein lassen, gibt es ein universales Diagramm F: J  C, dessen Image G enthält. Die Grenze (oder colimit) dieses Diagramms ist dasselbe als die Grenze (oder colimit) der ursprünglichen Sammlung von Gegenständen und morphisms.

Schwache Grenze und schwacher colimits werden wie Grenzen und colimits definiert, außer dass das Einzigartigkeitseigentum des Vermittelns morphism fallen gelassen ist.

Beispiele

Grenzen

Die Definition von Grenzen ist allgemein genug, um mehrere in praktische Einstellungen nützliche Aufbauten unterzuordnen. Im folgenden werden wir die Grenze (L, φ) eines Diagramms F denken: J  C.

• Endgegenstände. Wenn J die leere Kategorie ist, gibt es nur ein Diagramm des Typs J: der leere (ähnlich der leeren Funktion in der Mengenlehre). Ein Kegel zum leeren Diagramm ist im Wesentlichen gerade ein Gegenstand von C. Die Grenze von F ist jeder Gegenstand, der einzigartig factored durch durch jeden anderen Gegenstand ist. Das ist gerade die Definition eines Endgegenstands.
• Produkte. Wenn J eine getrennte Kategorie dann ist, ist ein Diagramm F im Wesentlichen nichts als eine Familie von Gegenständen von C, der durch J mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist. Die Grenze L F wird das Produkt dieser Gegenstände genannt. Der Kegel φ besteht aus einer Familie von morphisms φ: L  F (X) hat die Vorsprünge des Produktes genannt. In der Kategorie von Sätzen, zum Beispiel, werden die Produkte durch Kartesianische Produkte gegeben, und die Vorsprünge sind gerade die natürlichen Vorsprünge auf die verschiedenen Faktoren.
• Mächte. Ein spezieller Fall eines Produktes ist, wenn das Diagramm F ein unveränderlicher functor zu einem Gegenstand X von C ist. Die Grenze dieses Diagramms wird die J Macht X genannt und hat X angezeigt.
• Equalizer. Wenn J eine Kategorie mit zwei Gegenständen und zwei Parallele morphisms vom Gegenstand 1 ist, um 2 dann zu protestieren, ist ein Diagramm des Typs J ein Paar der Parallele morphisms in C. Die Grenze L solch eines Diagramms wird einen Equalizer jener morphisms genannt.
• Kerne. Ein Kern ist ein spezieller Fall eines Equalizers, wo einer der morphisms eine Null morphism ist.
• Hemmnisse. Lassen Sie F ein Diagramm sein, das drei Gegenstände X, Y, und Z in C auswählt, wo die einzige Nichtidentität morphisms f ist: X  Z und g: Y  Z. Die Grenze L F wird ein Hemmnis oder ein Faser-Produkt genannt. Es kann als ein Ersatzquadrat nett vergegenwärtigt werden:
• Umgekehrte Grenzen. Lassen Sie J ein geleiteter poset sein (betrachtet als eine kleine Kategorie durch das Hinzufügen von Pfeilen i  j wenn und nur wenn ich  j), und lassen Sie F: J  C, ein Diagramm sein. Die Grenze von F wird (verwirrend) eine umgekehrte Grenze, projektive Grenze genannt, oder hat Grenze geleitet.
• Wenn J = 1, die Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand und morphism, dann ist ein Diagramm des Typs J im Wesentlichen gerade ein Gegenstand von C. Ein Kegel zu einem Gegenstand X ist gerade ein morphism mit codomain X. Ein morphism f: Y  X ist eine Grenze des Diagramms X, wenn, und nur wenn f ein Isomorphismus ist. Mehr allgemein, wenn J eine Kategorie mit einem anfänglichen Gegenstand i ist, dann hat jedes Diagramm des Typs J eine Grenze, nämlich jeder Gegenstand, der zu F (i) isomorph ist. Solch ein Isomorphismus bestimmt einzigartig einen universalen Kegel zu F.
• Topologische Grenzen. Grenzen von Funktionen sind ein spezieller Fall von Grenzen von Filtern, die mit kategorischen Grenzen wie folgt verbunden sind. In Anbetracht eines topologischen Raums X, zeigen Sie F der Satz von Filtern auf X, x  X ein Punkt, V (x)  F der Nachbarschaft-Filter von x, Ein  F ein besonderer Filter und der Satz von Filtern an, die feiner sind als A, und die zu x zusammenlaufen. Die Filter F werden eine kleine und dünne Kategorie-Struktur durch das Hinzufügen eines Pfeils Ein  B wenn und nur wenn Ein  B gegeben. Die Einspritzung wird ein functor, und die folgende Gleichwertigkeit hält:

:: x ist eine topologische Grenze, wenn, und nur wenn A eine kategorische Grenze von ist

Colimits

Beispiele von colimits werden durch die Doppelversionen der Beispiele oben angeführt:

• Anfängliche Gegenstände sind colimits von leeren Diagrammen.
• Coproducts sind colimits von durch getrennte Kategorien mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Diagrammen.
• Copowers sind colimits von unveränderlichen Diagrammen von getrennten Kategorien.
• Coequalizers sind colimits eines parallelen Paares von morphisms.
• Cokernels sind coequalizers eines morphism und einer parallelen Null morphism.
• Pushouts sind colimits eines Paares von morphisms mit dem allgemeinen Gebiet.
• Direkte Grenzen sind colimits von durch geleitete Sätze mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Diagrammen.

Eigenschaften

Existenz von Grenzen

Ein gegebenes Diagramm F: J  kann C oder kann keine Grenze (oder colimit) in C haben. Tatsächlich kann es keinen Kegel zu F ganz zu schweigen von einem universalen Kegel sogar geben.

Wie man

sagt, hat eine Kategorie C Grenzen des Typs J, wenn jedes Diagramm des Typs J eine Grenze in C hat. Spezifisch wird eine Kategorie C gesagt

• haben Sie Produkte, wenn es Grenzen des Typs J für jede kleine getrennte Kategorie J hat (es braucht große Produkte nicht zu haben),
• haben Sie Equalizer, wenn es Grenzen des Typs hat (d. h. jedes parallele Paar von morphisms einen Equalizer hat),
• haben Sie Hemmnisse, wenn es Grenzen des Typs hat (d. h. jedes Paar von morphisms mit allgemeinem codomain ein Hemmnis hat).

Eine ganze Kategorie ist eine Kategorie, die alle kleinen Grenzen (d. h. alle Grenzen des Typs J für jede kleine Kategorie J) hat.

Man kann auch die Doppeldefinitionen machen. Eine Kategorie hat colimits des Typs J, wenn jedes Diagramm des Typs J einen colimit in C hat. Eine cocomplete Kategorie ist diejenige, die den ganzen kleinen colimits hat.

Der Existenz-Lehrsatz für Grenzen stellt dass fest, wenn eine Kategorie C Equalizer und alle Produkte hat, die durch die Klassen Ob (J) und Hom (J) mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind, dann hat C alle Grenzen des Typs J. In diesem Fall, die Grenze eines Diagramms F: J  kann C als der Equalizer der zwei morphisms gebaut werden

:

gegeben (in der Teilform) durch

:

s &= \bigl (F (f) \circ\pi_ {F (\mathrm {dom} (f)) }\\bigr) _ {f\in\mathrm {Hom} (J)} \\

t &= \bigl (\pi_ {F (\mathrm {Kabeljau} (f)) }\\bigr) _ {f\in\mathrm {Hom} (J)}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Es gibt einen Doppelexistenz-Lehrsatz für colimits in Bezug auf coequalizers und coproducts. Beide dieser Lehrsätze geben genügend, aber nicht notwendige Bedingungen für die Existenz aller (co) Grenzen des Typs J.

Universales Eigentum

Grenzen und colimits sind wichtige spezielle Fälle von universalen Aufbauten. Lassen Sie C eine Kategorie sein und J eine kleine Index-Kategorie sein zu lassen. Die functor Kategorie C kann der Kategorie aller Diagramme des Typs J in C gedacht werden. Die Diagonale functor

:

ist der functor, der jeden Gegenstand N in C zum unveränderlichen functor Δ (N) kartografisch darstellt: J  C zu N. D. h. Δ (N) (X) = N für jeden Gegenstand X in J und Δ (N) (f) = id für jeden morphism f in J.

In Anbetracht eines Diagramms F: J  C (Gedanke als ein Gegenstand in C), eine natürliche Transformation ψ: Δ (N)  F (der gerade ein morphism in der Kategorie C ist) ist dasselbe Ding wie ein Kegel von N bis F. Die Bestandteile von ψ sind der morphisms ψ: N  F (X). Dually, eine natürliche Transformation ψ: F  Δ ist (N) dasselbe Ding wie ein Co-Kegel von F bis N.

Die Definitionen von Grenzen und colimits können dann in der Form neu formuliert werden:

• Eine Grenze von F ist ein universaler morphism von Δ bis F.
• Ein colimit von F ist ein universaler morphism von F bis Δ.

Adjunctions

Wie alle universalen Aufbauten, die Bildung von Grenzen und colimits ist functorial in der Natur. Mit anderen Worten, wenn jedes Diagramm des Typs J eine Grenze in C hat (für den J klein), dort besteht eine Grenze functor

:

der jedes Diagramm seine Grenze und jede natürliche Transformation η zuteilt: F  G der einzigartige morphism lim η: lim F  lim G, mit den entsprechenden universalen Kegeln pendelnd. Dieser functor ist richtiger adjoint zur Diagonale functor Δ: C  C.

Dieser adjunction gibt eine Bijektion zwischen dem Satz des ganzen morphisms von N bis lim F und dem Satz aller Kegel von N bis F

:

der in den Variablen N und F natürlich ist. Der counit dieses adjunction ist einfach der universale Kegel von lim F zu F. Wenn die Index-Kategorie J (und nichtleer) dann verbunden wird, ist die Einheit des adjunction ein Isomorphismus, so dass lim ein linkes Gegenteil von Δ ist. Das scheitert, wenn J nicht verbunden wird. Zum Beispiel, wenn J eine getrennte Kategorie ist, sind die Bestandteile der Einheit die Diagonale morphisms δ: N  N.

Doppel-, wenn jedes Diagramm des Typs J einen colimit in C hat (für den J klein), dort besteht ein colimit functor

:

der jedes Diagramm sein colimit zuteilt. Diesem functor wird adjoint zur Diagonale functor Δ verlassen: C  C, und hat man einen natürlichen Isomorphismus

:

Die Einheit dieses adjunction ist der universale cocone von F bis colim F. Wenn J (und nichtleer) dann verbunden wird, ist der counit ein Isomorphismus, so dass colim ein linkes Gegenteil von Δ ist.

Bemerken Sie, dass sowohl die Grenze als auch der colimit functors kovarianter functors sind.

Als Darstellungen von functors

Man kann Hom functors verwenden, um Grenzen und colimits in einer Kategorie C zu Grenzen im Satz, der Kategorie von Sätzen zu verbinden. Das, folgt teilweise, von der Tatsache kovariantem Hom functor Hom (N,-): C  Satz bewahrt alle Grenzen in C. Durch die Dualität muss kontravarianter Hom functor colimits in Grenzen bringen.

Wenn ein Diagramm F: J  hat C eine Grenze in C, der durch lim F angezeigt ist, es gibt einen kanonischen Isomorphismus

:

der in der Variable N natürlich ist. Hier ist functor Hom (N, F-) die Zusammensetzung von Hom functor Hom (N,-) mit F. Dieser Isomorphismus ist der einzigartige, der die Begrenzungskegel respektiert.

Man kann die obengenannte Beziehung verwenden, um die Grenze von F in C zu definieren. Der erste Schritt ist zu bemerken, dass die Grenze von functor Hom (N, F-) mit dem Satz aller Kegel von N bis F identifiziert werden kann:

:

Der Begrenzungskegel wird von der Familie von Karten π gegeben: Kegel (N, F)  Hom (N, FX) wo π (ψ) = ψ. Wenn man ein Gegenstand L C zusammen mit einem natürlichen Isomorphismus Φ gegeben wird: Hom (-, L)  Kegel (-, F), der Gegenstand L wird eine Grenze von F mit dem Begrenzungskegel sein, der durch Φ (id) gegeben ist. Auf der Fantasiesprache beläuft sich das auf den Ausspruch, dass eine Grenze von F eine Darstellung des functor Kegels (-, F) ist: C  Satz.

Doppel-, wenn ein Diagramm F: J  hat C einen colimit in C, hat colim F angezeigt, es gibt einen einzigartigen kanonischen Isomorphismus

:

der in der Variable N natürlich ist und die colimiting Kegel respektiert. Die Grenze von Hom (F-, N) mit dem Satz Cocone (F, N) identifizierend, kann diese Beziehung verwendet werden, um den colimit des Diagramms F als eine Darstellung von functor Cocone (F,-) zu definieren.

Austausch von Grenzen und colimits von Sätzen

Lassen Sie mich eine begrenzte Kategorie und J sein, eine kleine gefilterte Kategorie sein. Für jeden bifunctor

:F: Ich &times; J &rarr; Satz

es gibt einen natürlichen Isomorphismus

:

In Wörtern pendeln gefilterte colimits im Satz mit begrenzten Grenzen.

Functors und Grenzen

Wenn F: J  ist C ein Diagramm in C und G: C  ist D ein functor dann durch die Zusammensetzung (rufen Sie zurück, dass ein Diagramm gerade ein functor ist), erhält man ein Diagramm GF: J  D. Eine natürliche Frage ist dann:

: "Wie werden die Grenzen von GF mit denjenigen von F verbunden?"

Bewahrung von Grenzen

Ein functor G: C  veranlasst D eine Karte vom Kegel (F) zum Kegel (GF): Wenn Ψ ein Kegel von N bis F dann ist, ist GΨ ein Kegel von GN bis GF. Wie man sagt, bewahrt der functor G die Grenzen von F, wenn (GL, Gφ) eine Grenze von GF ist, wann auch immer (L, φ) eine Grenze von F. ist (Bemerken Sie dass, wenn die Grenze von F nicht besteht, dann bewahrt G ausdruckslos die Grenzen von F.)

Wie man

sagt, bewahrt ein functor G alle Grenzen des Typs J, wenn es die Grenzen aller Diagramme F bewahrt: J  C. Zum Beispiel kann man sagen, dass G Produkte, Equalizer, Hemmnisse usw. bewahrt. Ein dauernder functor ist derjenige, der alle kleinen Grenzen bewahrt.

Man kann analoge Definitionen für colimits machen. Zum Beispiel bewahrt ein functor G den colimits von F, wenn G (L, φ) ein colimit von GF ist, wann auch immer (L, φ) ein colimit von F ist. Ein cocontinuous functor ist derjenige, der den ganzen kleinen colimits bewahrt.

Wenn C eine ganze Kategorie, dann, durch den obengenannten Existenz-Lehrsatz für Grenzen, ein functor G ist: C  ist D dauernd, wenn, und nur wenn er (kleine) Produkte und Equalizer bewahrt. Doppel-ist G cocontinuous, wenn, und nur wenn es (kleinen) coproducts und coequalizers bewahrt.

Ein wichtiges Eigentum von adjoint functors besteht darin, dass jedes Recht adjoint functor dauernd ist und jeder linke adjoint functor cocontinuous ist. Seitdem adjoint bestehen functors in Hülle und Fülle, das führt zahlreiche Beispiele von dauernden und cocontinuous functors an.

Für ein gegebenes Diagramm F: J  C und functor G: C  D, wenn sowohl F als auch GF Grenzen angegeben haben, gibt es einen einzigartigen kanonischen morphism

:τ: G lim F  lim GF

der die entsprechenden Grenze-Kegel respektiert. Der functor G bewahrt die Grenzen von F, wenn und nur diese Karte ein Isomorphismus ist. Wenn die Kategorien C und D alle Grenzen des Typs J dann lim haben, ist ein functor, und der morphisms bilden τ die Bestandteile einer natürlichen Transformation

:τ: G lim  lim G.

Der functor G bewahrt alle Grenzen des Typs J, wenn, und nur wenn τ ein natürlicher Isomorphismus ist. In diesem Sinn, wie man sagen kann, pendelt der functor G mit Grenzen (bis zu einem kanonischen natürlichen Isomorphismus).

Die Bewahrung von Grenzen und colimits ist ein Konzept, das nur für kovarianten functors gilt. Für die Kontravariante functors die entsprechenden Begriffe würde ein functor sein, der colimits in Grenzen oder denjenigen bringt, der Grenzen zu colimits nimmt.

Das Heben von Grenzen

Ein functor G: C , wie man sagt, hebt D Grenzen für ein Diagramm F: J  C, wenn, wann auch immer (L, φ) eine Grenze von GF ist, dort eine Grenze besteht (L&prime; &prime) solchen F dass G (L&prime; &prime) = (L, φ). Ein functor G hebt Grenzen des Typs J, wenn es Grenzen für alle Diagramme des Typs J hebt. Man kann deshalb über das Heben von Produkten, Equalizern, Hemmnissen usw. sprechen. Schließlich sagt man, dass G Grenzen hebt, wenn er alle Grenzen hebt. Es gibt Doppeldefinitionen für das Heben von colimits.

Ein functor G hebt Grenzen einzigartig für ein Diagramm F, wenn es einen einzigartigen Vorbildkegel gibt (L&prime; &prime) solch dass (L&prime; &prime) ist eine Grenze von F und G (L&prime; &prime) = (L, φ). Man kann zeigen, dass G Grenzen einzigartig hebt, wenn, und nur wenn er Grenzen hebt und amnestic ist.

Das Heben von Grenzen ist klar mit der Bewahrung von Grenzen verbunden. Wenn G-Liftgrenzen für ein Diagramm F und GF eine Grenze haben, dann hat F auch eine Grenze, und G bewahrt die Grenzen von F. Hieraus folgt dass:

• Wenn G-Liftgrenzen des ganzen Typs J und D alle Grenzen des Typs J haben, dann hat C auch alle Grenzen von Konserven des Typs J und G diese Grenzen.
• Wenn G alle kleinen Grenzen hebt und D abgeschlossen ist, dann ist C auch abgeschlossen, und G ist dauernd.

Die Doppelbehauptungen für colimits sind ebenso gültig.

Entwicklung und Nachdenken von Grenzen

Lässt F: J  C, ein Diagramm sein. Ein functor G: C  wird D gesagt

• schaffen Sie Grenzen für F, wenn, wann auch immer (L, φ) eine Grenze von GF ist, dort ein einzigartiger Kegel besteht (L&prime; &prime) zu solchem F dass G (L&prime; &prime) = (L, φ), und außerdem, ist dieser Kegel eine Grenze von F.
• widerspiegeln Sie Grenzen für F, wenn jeder Kegel zu F, dessen Image unter G eine Grenze von GF ist, bereits eine Grenze von F ist.

Doppel-kann man Entwicklung und Nachdenken von colimits definieren.

Wie man

leicht sieht, sind die folgenden Behauptungen gleichwertig:

• Der functor G schafft Grenzen.
• Der functor G hebt Grenzen einzigartig und widerspiegelt Grenzen.

Es gibt Beispiele von functors, die Grenzen einzigartig heben, aber weder schaffen noch sie widerspiegeln.

Beispiele

• Für jede Kategorie C und Gegenstand C Hom functor Hom (A,-): C  Satz bewahrt alle Grenzen in C. Insbesondere Hom functors sind dauernd. Hom functors braucht colimits nicht zu bewahren.
• Jeder wiederpräsentable functor C  Festgelegte Konserve-Grenzen (aber nicht notwendigerweise colimits).
• Der vergessliche functor U: Grp  Satz schafft (und Konserven) alle kleinen Grenzen und gefilterten colimits; jedoch bewahrt U coproducts nicht. Diese Situation ist für algebraischen vergesslichen functors typisch.
• Der freie functor F: Satz  Grp (der jedem Satz S die freie Gruppe über S zuteilt) wird adjoint zu vergesslichem functor U verlassen und, ist deshalb, cocontinuous. Das erklärt, warum das freie Produkt von zwei freien Gruppen G und H die freie Gruppe ist, die von der zusammenhanglosen Vereinigung der Generatoren von G und H erzeugt ist.
• Die Einschließung functor Ab  Grp schafft Grenzen, aber bewahrt coproducts (der coproduct von zwei abelian Gruppen nicht, die die direkte Summe sind).
• Die vergessliche functor Spitze  Festgelegte Liftgrenzen und colimits einzigartig, aber schafft keinen.
• Lassen Sie Entsprochen die Kategorie von metrischen Räumen mit dauernden Funktionen für morphisms sein. Der vergessliche functor hebt Entsprochener -Satz begrenzte Grenzen, aber hebt sie einzigartig nicht.

Ein Zeichen auf der Fachsprache

Ältere Fachsprache hat Grenzen gekennzeichnet, weil "Gegenteil" oder "projektive Grenzen," und zu colimits als "direkte Grenzen" oder "induktive Grenzen beschränkt." Das ist die Quelle von viel Verwirrung gewesen.

Es gibt mehrere Weisen, sich an die moderne Fachsprache zu erinnern. Zuallererst,

• cokernels,
• coequalizers und
• codomains

sind Typen von colimits, wohingegen

• Kerne,
• Equalizer und
• Gebiete

sind Typen von Grenzen. Zweitens bezieht das Präfix "co" "die erste Variable" ein. Begriffe wie "cohomology" und "cofibration" haben alle eine ein bisschen stärkere Vereinigung mit der ersten Variable, d. h., der kontravarianten Variable des bifunctor.

Außenverbindungen

• Interaktive Webseite, die Beispiele von Grenzen und colimits in der Kategorie von begrenzten Sätzen erzeugt. Geschrieben von Jocelyn Paine.