Die Vermutung von Catalan (oder Mihăilescu's Lehrsatz) ist ein Lehrsatz in der Zahlentheorie, die vom Mathematiker Eugène Charles Catalan 1844 vermutet und 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen wurde.

2 und 3 sind zwei Mächte von natürlichen Zahlen, deren Werte 8 und 9 beziehungsweise aufeinander folgend sind. Die Vermutung stellt fest, dass das der einzige Fall von zwei Konsekutivmächten ist. Das heißt, dass die einzige Lösung in den natürlichen Zahlen von

:x  y = 1

für x, a, y, b > 1 ist x = 3, = 2, y = 2, b = 3.

Geschichte

Die Geschichte des Problems geht mindestens auf Gersonides zurück, der einen speziellen Fall der Vermutung 1343 bewiesen hat, wo x und y eingeschränkt wurden, um 2 oder 3 zu sein.

1976 hat Robert Tijdeman Methoden aus der Theorie von transzendenten Zahlen angewandt zu zeigen, dass es einen effektiv berechenbaren unveränderlichen C gibt, so dass die Hochzahlen aller Konsekutivmächte weniger sind als C. Weil die Ergebnisse mehrerer anderer Mathematiker insgesamt einen bestimmten für den Grundabhängigen nur auf den Hochzahlen, der Vermutung dieses aufgelösten Katalanen für alle außer einer begrenzten Zahl von Fällen gegründet hatten. Jedoch war die begrenzte Berechnung, die erforderlich ist, den Beweis des Lehrsatzes zu vollenden, dennoch zu zeitraubend, um zu leisten.

Die Vermutung des Katalanen wurde von Preda Mihăilescu im April 2002 bewiesen, so wird es jetzt manchmal Mihăilescu's Lehrsatz genannt. Der Beweis wurde in der Zeitschrift für veröffentlicht sterben reine und angewandte Mathematik, 2004. Es macht umfassenden Gebrauch der Theorie von cyclotomic Feldern und Modulen von Galois. Eine Ausstellung des Beweises wurde von Yuri Bilu in Séminaire Bourbaki gegeben.

Die Vermutung von Pillai

Die Vermutung von Pillai betrifft einen allgemeinen Unterschied von vollkommenen Mächten. Es stellt fest, dass jede positive ganze Zahl nur begrenzt oft als ein Unterschied von vollkommenen Mächten vorkommt. Es ist ein offenes Problem und wird für S. S. Pillai genannt.

Paul Erdős hat vermutet, dass es einen positiven unveränderlichen c solch das gibt, wenn d der Unterschied einer vollkommenen Macht n, dann d>n für genug großen n ist.

Siehe auch

• Der Lehrsatz von Tijdeman
• Der Lehrsatz von Størmer
• Fermat-katalanische Vermutung
• Die Vermutung von Beal
• Katalane, Eugene. (1844):

• Datiert Mihăilescu's Beweis zurück.

Links

• MathTrek von Ivars Peterson
• Jeanine Daems: Ein Cyclotomic Beweis der Vermutung des Katalanen